精品解析：吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期期初考试数学试题

四平市实验中学2025-2026学年上学期期初考试 高二年级数学 命题人：李玉峰 审题人：王月 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，6，1，则这组数据的极差和方差分别为（ ） A. 8， B. 6， C. 8，7 D. 8，6 【答案】A 【解析】 【分析】将6个数据排序后可得极差，再根据方差公式可求方差. 【详解】6个数据由小到大为：1，5，6，7，8，9， 故极差为， 而个数的平均数为， 故方差为. 故选: A 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可求解． 【详解】， 因为，所以，则，即， 故选：C． 5. 在正方形中，，设则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形根据平面向量的线性运算法则即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由可得，由可得； 则， 因此. 故选：C 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的运算以及正六边形的性质求得正确答案. 【详解】A选项，，A选项错误. B选项，设，则是的中点， 则，B选项错误. C选项，与的夹角为锐角，与的夹角为钝角， 所以，C选项错误. D选项，设正六边形的中心为，则， 所以，D选项正确. 故选：D 8. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 定义复数运算：，已知复数，w满足，则（ ） A. w可以是 B. 的最小值为 C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D. 的实部是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，则由题设条件可得，据此利用反证法判断AC，取特例判断B，利用复数的乘法计算后判断D. 【详解】设，则， 整理得，故即， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B成立； 对于C，若在复平面内对应的点位于第二象限，则， 此时不成立，故在复平面内对应的点不可能位于第二象限， 故C正确； 对于D，，故的实部是5， 故D正确. 故选：BCD. 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案. 【详解】对于A：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故A正确； 对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故C正确； 对于D：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项B的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】在中，， 由余弦定理得：，解得. 故答案为： 13. 某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可. 【详解】设男生的平均身高为，则根据题目条件知， 即，所以. 故答案为：. 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理：， 则，即. 因为，所以， 根据得：. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 16. 已知，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用展开计算； （2）利用公式计算即可； （3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 所以，又， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 因为向量与平行， 所以存在实数使， 所以，解得. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. （1）证明：平面平面； （2）当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦即得答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，， 因，则，即， 由，，，得， 则，即， 又，平面，于是平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，， 即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则， 又，则，解得， 而，则，， 因，可得， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面， 则，而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 在中，，故，而为锐角，故. 即直线BD与平面所成的角为. 18. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数、平均数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 【答案】（1）； （2）中位数，平均数77 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形面积之和为1求得； （2）根据频率分布直方图中中位数、平均数的计算方法求解； （3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解. 【小问1详解】 依题意，得，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在间， 设为，则，解得. 平均数. 【小问3详解】 依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2， 按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人， 依次分别记为，，，，， 对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件， 设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个， 所以. 19. 中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； 【小问2详解】 （i）证明：中，由正弦定理得①， 同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市实验中学2025-2026学年上学期期初考试 高二年级数学 命题人：李玉峰 审题人：王月 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，6，1，则这组数据的极差和方差分别为（ ） A. 8， B. 6， C. 8，7 D. 8，6 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正方形中，，设则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 定义复数运算：，已知复数，w满足，则（ ） A. w可以是 B. 的最小值为 C. 在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D. 的实部是5 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 11. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，，，则_______. 13. 某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为______. 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比__________. 四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求面积的最大值. 16. 已知，且与夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. （1）证明：平面平面； （2）当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 18. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数、平均数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 19. 中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $