四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

高26届 高三上期 9月开学考试 数学试题 一、单选题 1．，则 A． B． C． D． 2．已知复数，表示z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 3．设向量，，且，则实数（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．已知，，则（  ） A．1 B． C． D． 5．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：cm），且长与宽之比都相等，已知，，则（  ） A．64 B．100 C．128 D．132 6. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（ ）. A． B．2 C． D．4 7. 若、是两个不重合的平面， ①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则； ②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则； ③若外一条直线与内的一条直线平行，则. 以上说法中成立的有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 8. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，；③.则下列选项不成立的是（  ） A． B．若，则或 C．，使得 D．若，则 二、多选题 9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（  ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 10．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（  ） A． B． C． D． 11．已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（   ） A． B．有且只有一个极小值，且极小值等于 C．的值域是 D．若，则恒成立 三、填空题 12．展开式中的常数项为 . 13. 已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于____________. 14. 如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为 ． 四、解答题 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求B； (2)若，且的面积为，求b. 16．已知为等比数列， 是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17.已知三棱锥 ，平面 平面 . (1)求证: ; (2)求直线 DB与平面 所成角的正弦值； (3)求点 到平面 的距离. 18.已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 19. 已知函数. (1)求的极值； (2)设. （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围. 高26届 高三上期 9月入学考试 数学试题 参考答案 一、单选题 1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6.B 7.C 8. D 【详解】由①，可得函数为偶函数；②，当时，，可得在为减函数； 对于A中，因为函数在为减函数，所以，所以A正确； 对于B中，由不等式，可得或，解得或，所以B正确；对于C中，由为上的偶函数，且在为减函数；在在为增函数，又因为的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，所以，，使得成立，所以C正确. 对于D中，由，可得，若，则或，解得或，所以D错误； 二、多选题 9．【答案】AC 10.【答案】BD 【详解】由，，得：；对于A，（当且仅当，即，），A错误； 对于B，（当且仅当，即，时取等号），B正确； 对于C， （当且仅当，即，时取等号），，解得：（当且仅当，时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，即，时取等号），由C知：（当且仅当，时取等号），（当且仅当，时取等号），D正确. 11．【答案】ABD 【详解】由，则， 则，即，故A正确；此时，， 令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则时，取得极小值，故B正确； 又，，所以的值域不是，故C错误； 因为，则时，，而，则恒成立，故D正确. 三、填空题 12．【答案】 13.【答案】 14.【答案】 【详解】由，得，即，，E，F三点共线， ，当且仅当，时取等号，所以的最小值为 四、解答题 15．【详解】（1），由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因为，所以. （2）由（1）得，所以的面积为，得，由及正弦定理，得，所以. 由余弦定理，得，所以. 16．【详解】（1）设的公比为，因为为，的等差中项， 所以，即，则，解得，所以. （2）设的前项和为，又，，①，②                                     ①②得，所以. 17.【详解】（1）如图，取中点 ，连接 . . 为等腰直角三角形，为中点. .为中点，. 平面POB，， 面OBP. 面OBP，   （2）平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC， 面 两两垂直 如图，以为原点， 为轴正向， 为轴正向， 为轴正向 建立空间直角坐标系，则 . . . 则，. 令平面的法向量为 ，则 ，可取. 则直线 DB与平面 所成角的正弦值. （3）由（2），. 令平面的法向量为， 则 ，可取. 则点到平面 的距离.   18.【详解】（1）依题意，，且，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则，周长，当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，，， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 19.【详解】（1）因为的定义域为，所以， 令，解得，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以在处取得极大值，无极小值. （2） （i）函数的定义域为，则. 当时，由，解得或；由，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得或；由，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得函数在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无减区间； 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为. （ii）在上恒成立可转化为在上恒成立， 设，，则， 令，则，所以函数在上单调递减， 又，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，得，则， 所以，即实数的取值范围为. ( 8 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$