学案35 圆锥曲线中的综合问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

人教A版数学选择性必修第一册 学案35 圆锥曲线中的综合问题 记 学习任务 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用.（数学运算） 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题.（数学运算） 课堂活动 「方法总结」 求圆锥曲线中最值（范围）的两种 方法 话动一求解圆锥曲线中的最值（范围）问题 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何 今新知应用 图形的特征及意义，则考虑利用图形性质来解决 (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确 1.过双曲线C:写-y”=1的右焦点F的直线与 的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数 的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、 C的右支交于A,B两点，O为坐标原点，线段 判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. OM的中点与线段AB的中点重合，则四边形 话动二求解圆锥曲线中的定值、定点问题 OAMB面积的取值范围是 y 2.已知椭圆C:F1(@>6>0)的左、右焦 新知应用 点分别为F(一5,0)和F2(3,0),长轴长 L已知双曲线-1(a>0,6>0)的离心率 为4. 为2，实轴的两个端点为A,B,点P为双曲线 (1)求椭圆C的方程： 上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的 (2)设P为椭圆C上一点，M(1,0).若存在实 斜率之积为 数λ使得|PF,I+PF,|=APM|,求入的取 2.已知椭圆C,号+若=1a>6>0)的右焦点为 值范围. F(1,0),A,B分别是椭圆C的左、右顶点，P 为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为√瓦】 (1)求椭圆C的方程： (2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的 两点M,N,点Q(2,0),若直线MQ的斜率与 直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线I过 定点 ■1106 圆锥曲线中的综合问题学案35 「方法总结」解析几何中的定点和定值问题需 定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方 听 要合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态儿何对 程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存 象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质 在：否则元素（点、直线、曲线或参数）不存在， 笔 (定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简 (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的 化运算中的作用. 方法。 活动三求解圆锥曲线中的探索性问题 课堂小结 新知应用 圆锥曲线中的最值（范围问题 1.若点Mxy)在椭圆C:十=1(a>b 圆锥曲线中的定点、定值问题 应用 圆锥曲线中的探索性间题 0)上，则称点N悟，)为点M的一个“椭 课堂达标 点”.已知直线l:y= √3 x十+m与椭圆C: 1.已知椭圆C:。+y 4=1,则椭圆C上的点到直！ 片1相交于A,B两点，且A,B两点的”椭 线l:x+2y一25=0的距离的最大值为( 点”分别为P,Q,以线段PQ为直径的圆经过 A.35 B.45 C.55 D.65 坐标原点O,则m的值为 y y2 2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),P为 已知椭圆E,,+装=1(ab>0)的左、右 双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条 点分别为F,F,M是椭圆的上顶点，且 渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c △MF,F:是面积为1的等腰直角三角形. 的取值范围是 ( ) (1)求椭圆E的方程； A.(0,1) B.(1,2] (2)已知直线：x一√2y十1=0与椭圆E交于 C.(0,2] D.[2,+∞) A,B两点，判断椭圆E上是否存在点P,使得 3.已知抛物线y2=4x上两点A,B满足OA· 四边形OAPB恰好为平行四边形，若存在，求 OB=5(O为坐标原点)，且A,B分别处于对 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 称轴的两侧，则直线AB过定点 ( A.(5,0) B.(1,0) C.(3,0) D.(2,0) 4.在平面直角坐标系Oxy中，M为双曲线x2一 y2=4右支上的一个动点，若点M到直线x一 y十2=0的距离大于m恒成立，则实数m的最 大值为 ( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 ,已知椭圆十之三1上的两个动点P,Q, P(x1y1),Q(x2y),且x1十x2=2.线段PQ 的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为 ( 「方法总结」(1)探索性问题通常采用“肯定顺 推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满 A(侵 B.(1,0) 足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待 C.(2,0) D.(-1,0) 1071 人教A版数学选择性必修第一册 6设A,B是焦点在：辅上椭圆C写+片-1长 9.已知双曲线C,。一y2=1(a>0)的一条渐近 笔 轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB 1 =120°，则m的取值范围为 线方程为y=22,点P1,0). 7.过点(1,0)的直线L与抛物线y2=x交于A,B (1)若t=3,O为坐标原点，过点P且斜率为1 两点，则OA·OB= .(O为坐标原点) 的直线L与双曲线C交于A,B两点，求 8.在平面直角坐标系Oxy中，已知点F(0,1),直 △OAB的面积； 线1：y=一1.P是平面上的动点，过点P作直 (2)若点Q(x,y)是双曲线C上任意一点，当且 线l的垂线，垂足为Q,且满足QP·QF-FP 仅当Q为双曲线的顶点时，PQ取得最小值， ·FQ. 求实数t的取值范围. (1)求点P的轨迹方程； (2)记点P的轨迹为曲线C,过点F作直线m, 与曲线C交于A,B两点，求证：OA·OB为 定值 课后反思 请完成《分层作业（二十九）》 提标 《章末综合测评（三）】 《模块综合测评》 11108可得二当8 五+为 8 可得=枕二解得北=一1或k=2, 联立方程组P=红一2整理得kx-4十8r十4=0 y2=8x, 由△=(4k十8)3-16k=64k十64>0，解得k>一1， 所以是=2.门 5.AC[由=4；→x-6x+1=0,解得工=3士22. y=x-1 不粉设A(3十22,2十2√2)，B(3-2√2,2一2√2)， 则|AB|=(4√2)+(42)=8，所以选项A正确 ka·kcw 2+2v22-22 =一4≠一1， 3+2√23-2√2 所以OA,OB不垂直，选项B错误； 点0,0)到直线y=x一1的矩离为|一1 √/+(-1) =2 所以△108的面表为号×8X号-2，送预C正精。 因为线段AB的中点的横坐标为 3+22+3-22=3, 2 所以线段AB的中点到y釉的距离为3，选项D错误.故 选AC.] 6.AC[将A(1,2)代入y2=2px中，可得 4=2p,故p=2,F(1,0),故A正确，B 错误； 因为k加=1，则直线AQ的方程为y=x 十1，联立/=x+1, x1-2x+1=0, ly=4r △一0，故克线AQ与抛物线相初，C正确： 四为AF⊥x轴，所以AF⊥AQ不成立， 故D错谋.故选AC.] 7.(一∞，0)U(0,1)[由题意得直线1的方程为y=k红十1， 联立虹+1攀理得+2k-4》z十1=0. y2=4x, :直线（与抛物线y2=4x交于不同的两点， 达0r作i8+16eo 解得<1，且k≠0. 14>0. .斜奉k的取值范围是（一∞，0）U(0,1).] 8号[联立6垫理得-2红一26=0， 3 l=2y, 设直线y-x十b与抛物线x-2y的交点为A(x1y1), B(xy:）, 可得△=(-2)2+86>0，解得6>-2 且x1十x=2,x1x2=-2b. 由孩长公式，可得|AB|=√1+1下|x:一x:|=2· VG+-4石=E·V4牛5=4i,解得6=2] 9.解：(1)由题意知F1,0),p=2,设P(任) 南能物我定又可PF-苦+号=5， 解得y=4或y=一4（舍）. 所以P点坐标为(4,4)。 (2)设初线方程为x=m(y一4)十4， 154 x■m(y一4)+4， 与抛物战方程联立 y2=4x, 得y2-4my十16m-16=0, 由切线与排物线相切，得△=16m2-4X(16m一16)=0， 即(m-2)3=0,得m=2, 所以切线方程为x一2y十4=0. 10.解：(1)设C(x,y),动周C过定点F(1,0),且与直线l1: x=一1相切， ,./(x-1)十y=|x+1,整理得y2=4x, 故动，点C的航连方程为y2一4x. (2)设A(x1y),B(x4y2): 直线l2的方程为y=√3(x一2)， 联立，5红-2)，整理得3x2-16红+12=0,4>0， y2=4x, 16 x1十x=3 x1x2=4. :8w7 |AB|=√1+(W3)'√x,+x)-4xx:=3 学案35圆锥曲线中的综合问题 课堂活动 活动一求解圆锥曲线中的最值（范围）问题 新知应用 1[+回)[由题意得Pe.0 因为点A,B在双曲线C的右支上， 所以直线AB的斜率不为0， 所以设直线AB的方程为x=my+2(|m|<3) 与写-y=1联立，得(m3-3)y2+4my+1=0,4>0, 设A(my1+2,y1),B(my2+2,y:), 到+3 1 所以|AB|=√小+m·|y:一y生 =件m·+-4-250+m2 3一m 2 易知点O到直线AB的距离d= √1+m7 由线段OM的中点与线段AB的中点重合，得四边彩OAMB 是平行四边形， m+1 共面积S=dAB|=43·√8-m可' 令t=m2一3，则t∈[一3,0)， 厚-4层+-4vm 共中-u(←0，- 又y=w十在（的，号]上单调递减.所以5a ≥g 3 当=一子中阳=0时取等号打 e=3, 1a=2 2.解：(1)由题知(2a=4, 解得(6=1， a2=b2+c2, c=5, 所以精圈C的方程为号十y-1 (2)由椭圆的定义可知PF1十|PF:|=4, 设点P共中+-1 型-1草 所以|PM=(x。-1)2+y8 --2+2 =-)+ 周为-2，<2，片以号<1PM<0,p<1PM<a, 当且仅当=音时，PM- 3x6=-2时，PM1=3, 图为1PF:+PF,-APM,WA=1PF+IPF PM 所以ae[合26] 综上所遂，以的取值范周是[台，26 活动二求解圆锥曲线中的定值、定点问题 新知应用 1.3[设点P(x,y),y≠0，x2≠a, 后若-1-6（-小 直线PA,PB的斜率之积Am一十。‘之。之司 :-a 后=1+停=2=，p号=3所以a=] 又e- 62 2.解：(1)由题知c=1,A(一a,0),B(a,0),P(0,b), 由△PAB的面积为W2,得ab=√2， 又a2=b2十c2,代入可得a=2,b2=1, 1满国C的方框为号+y=1 y=kx十m, (2)证明：联立x, 2+y=1, 得(2k2+1)x°+4kmx十2m2-2 =0,△=16k2-8m2+8>0,即2k2-m2+1>0, 设M(x1,y1),N(xyz), 一4表m 2m2-2 可得1十：2中122次+i 由题如kg十k0一0， 产7授 即： _2红x+m-2xtx）-4m=0. (x1-2)(x1-2) 即2x1x:+(m一2k)(x1十x:）-4m=0,解得是=一m, 。直线1的方程为y=(x一1)，故直线1饭垃定点(1,0). 活动三求解圆锥曲线中的探索性问题 新知应用 女疗[由着周C号+苦-1将a=26=, 夜A(x1y1),B(x2y), 则A,B商点的满点生标会射为P(学岩).Q学治》 又以线段PQ为克径的圆经过坐标原点O, 所a号×号十着×滑-0南3+=0.0 y-2z+m. 联立 (4+3=1, 整理得6x5+4V3mx十4m2-12=0, 4=48m2-24(4m3-12)=288-48m>0, 六-5<m<6,所以，十，=-2m,-2m5 3 3 所以y1y= 停+(停+） 3 2m红，+名)+m-m2-3 2 2m2-6 把x1工红= 3y1二m23代入方程①整理得m2一3， 所以m■士3.门 2.解：(1)由已知得F,(一c,0),F:(c,0),M(0,b) :△MF,F,是面积为1的等腰直角三角形， b=c=1,a=2, 横国E的方框为写十y=L (2)由题意可设A(x1y1),B(x2y:). 1 联立 2+y2=1, 整理得4y2-22y-1=0,则4>0. x-2y+1=0, 根据报与系数的关系得 y1+y:=2' 1 y1y=一 假设存在点P满足四边形OAPB恰好为平行四边形， 所以O-OA+O求. 所以三：+-号， xn=x1+x=2y1-1+2y:-1=2(y1十y)-2=-1, 中P(←1) 将点P(-1,受)R入精国E的方程，得号十号-1， 所以点P在椭国E上， 2 所以椭图E上存在点P(一1， ),使得四边形OAPB是平 行四边形. 551 课堂达标 1.D[设椭图C上的点为P(3cos0,2sin0), 则点P到直线！的距离为 l3cos0+4n0-25-51sn0+p）-5引，共中anp-是 由sin(0+e)∈[-1,1门，故椭圆C上的点到直线1的距离的 最大值为6√5.] 2.D[由双曲线的标准方程可如该双曲线的渐近线方程为 即6x-ay=0,bz+ay=0,设P(xoya), 有导--1-（- 国为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1， 所以有2-a.+a=1c=6x-(a)1, √a+b √a+b 起=6（怎-）我入化商得， -a6=ab<≤写>2故选n] 2 3A[设a(件)小B(件) 则1产(y-y+ 4 尊产y学，又调为耐.成-老+-5 4 解得yy:-4(舍)或y1y:■一20，则直线过点(5,0).故 选A] 4.B[由点M到直线x一y+2=0的距离大于m恒成立，可得 点M到直线x一y十2=0的最小距离大于m,图为双曲线的 一条渐近线方程为y=x,则y■x与x一y十2■0的距离d =2=2,即为最小距离，则m≤巨，甲mm=.] 2 5A[周方P.0点精国营+号-1上 且x1十x=2,当x1≠x:时，由 +- 得二当=-上.十出=一 1 爱线度PQ的中点为N10,所以一要-云 1 所以线段PQ的垂直平分线的方程为y一n=2n(x一1)， 即y=2n(-）,该直线恤这定点（侵o小： 当1=：时，线段PQ的垂直平分线也过定点（侵，0） 故线段PQ的叠直平分线恒过定点（侵，0）] 6.0,】[由于样国c号+片=1 的焦点在x轴上，所以0<m<3, 如图， 当M位于上项点时，∠AMB取 得最大值， 所以要使C上存在点M满足∠AMB=120°， 156 对∠AMO≥60，am∠AM0=≥an60=5. √m 解得0<m≤1.] 7.0[依题意，直线1的斜率不为0， 设直线1的方程为x=y十1， ,任一y+1消去工并整理得y-y-1=04>0 li=z. 设A(y,y:),B(yy),则y1y=-1, 所以OA·0求=yiy+y1y:=(-1)-1=0.] 8.解：(1)设P(x,y),则Q(x,一1)，且F(0,1), 因为Q妒.Q萨=Fp·F戒， 所以0·(-x)+2(y+1)=x2-2(y-1),即x2=4y, 所以点P的轨连方程为x■4y,是以F(0,1)为焦点开口向 上的抛物线。 (2)证明：过点F作直线m,与曲线C交于A,B两点，显然直 线m的斜单存在， 且F(0,1),设直线m的方程为y=kx十1， A(),B(z::), 剥=4=4y,联立方程组{r=4y, y=kx十1， 得x2-4kx-4=0, △=16k9十16>0，所以x1十x2=4k,x1x2=一4， OA.0B=+=- x1x)2 -4+ =-3. 16 故01.0市为定值-3. 9解：)由超感得日一弓，所以。=2， 所以双询线C的标准方程为行一y =1, 直线AB的方程为y■x一3， 设A(x1y1),B(x2y), y=x-3, 联立方程姐x2 -y=1,2 ,消去y整理得3x3-24x十40=0， △=242-4×3X40=96>0, x1十x:=8, 40 x1x2=3' 所以5m=10P113- -2×a+-西-26 所以△OAB的面积为2√6， （②周为号y1,所以-号 -10, 所以x≤一2或x≥2， 所以PQ=(红-)+y=(红-)+子-1 --2+-1 所以去数：的取位地周为[受，引