学案20 点到直线的距离公式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.[证明]如图，以A为原点，边AB所 在直线为工轴建立平面直角坐标系，其 中D,E分别为边AC和BC的中点. 设A(0,0),B(c,0,C(m,), 则|AB|-|c. 又由中点坐标公式，得D(受，)）， (”,） DE-生-引-|引DE-AB, 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一丰 课堂达标 1.D[AC=4g.1CB=2区，故合品=2起n] 2.A[设B(x,y),直线AC,BC的斜率分别为kAC,kc,由题 3-4.y-3=-1, 意可得传中0· BC=ACI, √(x-3)2+(y-3)=/10, y=6, 所以点B的坐标可能是(2,0)或(4,6).故速A.] 3c[因为后g中8a: ly=3, 所以交点坐标为(2,3)， 所以原点0到交点的距离为√(2-0)+(3-0)一√3. 故选C.] 4.C[直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2), 直线(2a-1)z+5ay-1=0过定点B(-1,号） 由两点间的宠离公式，得AB=号故选C] 5.1或-5[由两点间距离公式得（一2-a)+(-1-3)2=52, 所以(a十2)2=3， 所以a十2=土3，即a=1或a=-5.门 6.(10,0)或(0,0)[设Q(x。,0),则有13=√/(5-xa)+12, 得x。=0我x。=10.] 7.解：由题易知a0,直线ax十2y一1■0中 令y=0,有=日则A(日0小 令x=0,有y=则B(0,）, 故线镜AB的中点坐标为（品）》， ?线段AB的中点到原点的距高为号。 “-0+(合-0-解得a=±2 8.解：(1)如图所示，△ABC为直角三角形，证明如下： 法-：，|AB|=√(-1-1)+[3-(-1)]了=25， |AC|=√(3-1)+[0-(-1DJ=5, 1BC|=√(0-3)+3-(-1)]F=5, ∴.|AB|+ACI2=|BCI2, 即△ABC是以A为走角顶点的查角三角形. 法=w3=-2w-0=分 3-12 kABkAC=-1,∴.AB⊥AC △ABC是以A为直角顶点的直角三角形。 (2)由(1)中法一得AB1=25,AC=5. 又'∠A=90°， ∴SAe-2AB11AC=×25X5=5, 学案20点到直线的距离公式 课堂活动 活动一掌握点到直线的距离公式 新知导学 问题提示：应用了求两直线的交点坐标和两，点闲的距离公式， 新知生成 (1)垂足 (2A虹+By,+C A=0B=0 √A+B 新知应用 1.A[点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离为 Bx2-X3二里-号故满A] √3+(-4) 2.C[:点(x。,ya)为直战x十2y十6=0上任意一点， 又√(x。十1)+y的几何意义为直线上的点到（一1,0）的 距离， 故最小值为点（一1,0）到直线的距离， 5 即最小值为 =√5.故选C.] √2+1下 活动二点到直线的距离公式的简单应用 新知应用 1.C[当直线1的针率不存在时，直线【的方程为x=1, 点A(2,3)与点B(0,一5)到x=1的距离为1，特合题意： 当直线的针率存在时， 设直线1的方程为y一2=k(x一1)，即x一y一是十2=0， 由于点A(2,3)与点B(0,一5)到走线1的距离相等， 则2谈-3-+21=15一是+2，解得k=4, 故直线1的方程为4x一y一2=0， 综上所述，直线1的方程为4红一y一2=0戏x=1.故选C] 2.A[由题可知，直线【的斜率存在，设直线【的斜率为k, 别直线1的方程为y一3=k(x一3)，即x-y+3-3k=0, 根据点A(一2,2)，B(4,一2)到直线1的距离相等， 得一26-2+3-31=14k+2+3-36 √R+1 +I 解得长-2长=一子 故直线1的方程为3x一2y一3=0或2x十3y一15=0. 故选A,] 291 活动三点到直线距离公式的综合应用 新知应用 1,-1[直线mx一y+1一2m=0可化为y-1=m(x-2). 由直线，点针式方程可知直线但过定点Q(2,1)且斜乘为m, 结合图象（图略）可知当PQ与直线mx一y十1一2m=0垂直 时，点P到直线的距离最大，此时m· 3-2-1, 解得m=一1.] 2.解：当直线【的针率不存在时，直线！的方程为x=2,符合 题意： 当直线1的外率存在时，设直线！的方程为y十1■(x一2)， 即kx一y一2k一1=0， 由点到支线的距离公式得二2-2，解得=是 √1+区 所以直线1的方程为3x-4y-10=0. 故直线1的方程为x=2或3x一4y一10=0. 母题变式：(1)x十2=0或5x十12y-26=0[当直线1的针率 不存在时，直线1的方程为x■一2，特合题意： 当直级1的针率存在时， 授所求直线（的方程为y一3=(x十2）， 即kx一y十2k十3=0， 由原点到直战1的距离d=25+3=2, 1+k 5 得k=一2，即直线1的方程为5江+12y一26=0， 综上，直线1的方程为x十2=0或5x十12y-26=0.] (2)解：设原点为O,连接OP(图略》， 易知过点P且与原点距离最大的直线【是过点P且与PO 垂直的直线。 1=2 由1山OP,得kkm=-1,所以k,=一 所以直线1的方程为y十1=2(x一2)，即2x-y一5=0， 即直线2x一y一5=0是过点P且与原点距离最大的直线， 最大距离为-后」 √5 课堂达标 1C[原点到直线上的点的距离的最小值为原点到直战的 距离， 由点到直线的距离公式可得原点到直线3x一4y一5√5■0 的距离d=-551 =√5 √3+(-4) 所以|OM引的最小值为5.故速C.] 2.A[由题意可如BC的中点D(2,1), 则边BC上的中线AD所在直线的方程为号号 即2x-y-3=0,|AD|=25, 又点B(3,0)到贞线AD的距离d= 16-0-31_35 √2+(-1D厅5 故SaAm=2ADIXd=-3.故选A.] 3.D[点P(4,a)到直线4红-3y=1的距离 d=4x4-3a-1山_5-3a≤3. +3 5 解得0≤a≤10.故选D.] 130 4.C[显然直线l的斜牵存在， 故设直线1的方程为y一2=k(x一1)，即是x一y一k十2=0， 则2张-3-A+2_14k+5-+2 √+I √+I 解得k=一4或k=一立 3 直线1的方程为4x十y-6=0或3x+2y-7=0.故选C.] 5.22[因为A(4,3),B(3,2),所以kA-4-3-1, 所以直线AB的方程为x一y一1=0， 又C,-4D到直线AB的拒离d=14-=22, √/+T 所以△ABC的高CD的长为2√2.] 6.25[√m+(m-1)=√(m-0)+(m-1)F, 可转化为点P(m,n)与定点A(0,1)的距离， 国为点P(m,n)为直线x一2y一8=0上的动点， 剥点A0,1D到直线工-2y-8-0的距离d-2X1-8-25. √1+(-2 所以√m十(m-1)的最小值为25.] 7.解：(1)易得AB的中点坐标为(4,6)，k=1, .所求直线斜率为一1， 故线段AB垂直平分线所在克线的方程为 y-6=-(x-4),即x十y-10=0. (2)当直线【的钟率不存在时，直线1为x=一1，显然不持合 题意，舍去： 当直线1的针率存在时，设直线（为y-=k(x+1), 即kx一y十k=0, ”成A,B到直线1的距高相等，：126-3_8跳-91 /+1√R+1 解得k-1或k一5， 6 .直线1的方程为x一y十1=0或6x一5y十6=0. 1+3 1-43 8.解：10ka=-2会0=-2，kc=-2-2-子 1 AB边上的高所在直线斜率k1=乞，AC边上的高所在直 黄针华：=一子，BC边上的高所在直线外率点，=一号 5AB道上的高所在直钱方程为y一个一号红一2)， 即x-2y+6=0: 4 AC边上的高所在直线方程为y■一3工一3， 即4r十3y+9=0: BC边上的高所在直线方程为y一1=一号(c+2, 即2x+7y-3=0. (2),AB所在克线方程为y=一2x一3，即2x+y+3=0, 六点C到直线AB的距离d=4牛4十3到=115 2+1下5 又|AB|-√(0+2)+(-3-1)T-25, Sac=2AB1d=×25x5=1n. 5null