学案19 两点间的距离公式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

null新知应用 1.(一1，一2)[直线方程化简为2x一mx+2my+y+3m+。 =0,即(2x+y十4)十m(一x十2y十3)=0， 3 。解得x=-1,y■一2， 所以直线恒过定点（一1，一2）.门 2.解：设直线1的方程为2x一3y一3十A(x十y十2)=0（其中A 为常数)， 即(a+2)x+(a-3)y+2x-3=0.① 11 又直线1的针率为一3，则士子二一3，解得入党 将X=号代入①式并整理， 得15x十5y十16=0，即为所求直线1的方程. 课堂达标 3 1.D[由-3y+3=0得z=2, 2x+y-5=0 1y=2, 即1与2的交点坐标为（是，2），故选D.] 2.A[当a=-1时，l1:x-y十4=0， 此时11：，不满足题意； 当a≠一1时，解方程组ar十y二4=0， 1x-y-2=0, 6 4-2a 得x=a十1=4+1 6 由题意知 a+1>0, 解得-1<a<2, >o, 即实数a的取值范圈为（一1,2），故选A.] 3.B[直线kx-y-2k=0,即(x-2)k一y=0, ◆化 y=0, 所以直线x一y一2=0恒过定点(2,0).故选B.] 4.C[由3xty一=0可得两直战交点P(-1,4), x+2y-7=0, 由3江十y一1=0的斜率为一3，得所求直线的斜率k-3》 所来直线的方程为y-4=3红+1)，即工-3)十13=0. 故选C.] {m×2+4×(-5)=0, m=10, 5.B[由题意可知{m十4p一2=0， n=-12, 2-5p十n=0 b=-2, 故月一m一p=一20，故选B.] 62x+y-0或x+2y-3-0[联立任+y-1=0: 2x-y+4=0, 解得任=。1故交点坐标为(-1,2)， y=2, 当在x轴上的戴距与在y轴上的戴距均为0时， 设直线L的方程为y=是x, 将点（一1,2）代入得一k=2,解得k=一2， 故直线1的方程为2x十y=0: 当在x轴上的载距与在y轴上的戴距不为0时， 设直线1的方程为玩十子-1， 将点（一1,2四代入得云+号-1，解得6-受 128 故克线1的方程为号+兰=1，即x+2y-3=0, 33 所以直线1的方程为2x+y=0或x十2y一3=0.门 7.解：)解方程组2红十十3=0得仁=-1. x-2y-1=0, y=-1, 所以直线11与【，相交， 交点坐标为（一1，一1）. (2)解方程组任+y+2=0, 得1=0，矛盾，方程组无解。 12x+2y+3=0, 所以直线l1与2无公共点，即11 亿红一y十3-0解得任- 8.解：1)由3r-y+2=0, y=5, 即两直线的交点坐标为(1,5) 直线经垃点1,5)和2,3)，由两点式方程得，二二号 化简得所求直线方程为2x十y一7=0. (2)由3x十y一1-0可得直线的斜率为-3， 故平行于直线3x十y一1=0的直线的斜率为一3， 结合(1)可得两条直线2x一y十3=0与3x一y十2=0的交点 坐标为(1,5)， 由点斜式方程得，y一5=一3(x一1)， 化简得所求查线方程为3x十y一8=0. 学案19两点间的距离公式 课堂活动 活动一 掌握两点间的距离公式及其应用 新知导学 问题提示：当P,P,与坐标轴不平 行时，如图， rtP( 0(xz.yi) 在Rt△PQP2中，|P,P,P= P,Q+1QP2,所以|PP, Paxy) =√/(x-x1)+(y1-y1). 0 即两点P,(x1y:),P,(xgy) 闲的距离P:P,=√(x-x)十(y?-y)了 新知应用 1.B[由题设知D(-1,1), 别|BD|=√/(3+1)+(4-1)=5.故选B.] 2.C[由题意可得|AB|=√3+(4-a)7=5→a=0我a=8. 故选C.门] 3.D[由已知可得|AB|= √(-3-3)+(0+2)=2√/10， |AC|=√(-3+1)+(0-2)=2√2， 1BC1=√/(3+1)+(-2-2)=42， 所以，|AB=|AC12+|BCI. 因此，△ABC为直角三角形.故速D.] 活动二掌握坐标法的应用 新知应用 1[证明]设BC边所在直线为x轴， 以D为原点，建立平面直角坐标系， 如图所示， 设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0) 因为AB12=(a十b)2十c, lAC2-(a-b)2+c2,lAD12-6+c2, B 0(D)C DC=, 所以|AB2+lAC2=2(a2+b2+c2), 1ADf2+1DC12=a2+b2+c2, 所以lAB|2+lAC2=2(AD|3+DC|2). 2.[证明]如图，以A为原点，边AB所 在直线为工轴建立平面直角坐标系，其 中D,E分别为边AC和BC的中点. 设A(0,0),B(c,0,C(m,), 则|AB|-|c. 又由中点坐标公式，得D(受，)）， (”,） DE-生-引-|引DE-AB, 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一丰 课堂达标 1.D[AC=4g.1CB=2区，故合品=2起n] 2.A[设B(x,y),直线AC,BC的斜率分别为kAC,kc,由题 3-4.y-3=-1, 意可得传中0· BC=ACI, √(x-3)2+(y-3)=/10, y=6, 所以点B的坐标可能是(2,0)或(4,6).故速A.] 3c[因为后g中8a: ly=3, 所以交点坐标为(2,3)， 所以原点0到交点的距离为√(2-0)+(3-0)一√3. 故选C.] 4.C[直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2), 直线(2a-1)z+5ay-1=0过定点B(-1,号） 由两点间的宠离公式，得AB=号故选C] 5.1或-5[由两点间距离公式得（一2-a)+(-1-3)2=52, 所以(a十2)2=3， 所以a十2=土3，即a=1或a=-5.门 6.(10,0)或(0,0)[设Q(x。,0),则有13=√/(5-xa)+12, 得x。=0我x。=10.] 7.解：由题易知a0,直线ax十2y一1■0中 令y=0,有=日则A(日0小 令x=0,有y=则B(0,）, 故线镜AB的中点坐标为（品）》， ?线段AB的中点到原点的距高为号。 “-0+(合-0-解得a=±2 8.解：(1)如图所示，△ABC为直角三角形，证明如下： 法-：，|AB|=√(-1-1)+[3-(-1)]了=25， |AC|=√(3-1)+[0-(-1DJ=5, 1BC|=√(0-3)+3-(-1)]F=5, ∴.|AB|+ACI2=|BCI2, 即△ABC是以A为走角顶点的查角三角形. 法=w3=-2w-0=分 3-12 kABkAC=-1,∴.AB⊥AC △ABC是以A为直角顶点的直角三角形。 (2)由(1)中法一得AB1=25,AC=5. 又'∠A=90°， ∴SAe-2AB11AC=×25X5=5, 学案20点到直线的距离公式 课堂活动 活动一掌握点到直线的距离公式 新知导学 问题提示：应用了求两直线的交点坐标和两，点闲的距离公式， 新知生成 (1)垂足 (2A虹+By,+C A=0B=0 √A+B 新知应用 1.A[点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离为 Bx2-X3二里-号故满A] √3+(-4) 2.C[:点(x。,ya)为直战x十2y十6=0上任意一点， 又√(x。十1)+y的几何意义为直线上的点到（一1,0）的 距离， 故最小值为点（一1,0）到直线的距离， 5 即最小值为 =√5.故选C.] √2+1下 活动二点到直线的距离公式的简单应用 新知应用 1.C[当直线1的针率不存在时，直线【的方程为x=1, 点A(2,3)与点B(0,一5)到x=1的距离为1，特合题意： 当直线的针率存在时， 设直线1的方程为y一2=k(x一1)，即x一y一是十2=0， 由于点A(2,3)与点B(0,一5)到走线1的距离相等， 则2谈-3-+21=15一是+2，解得k=4, 故直线1的方程为4x一y一2=0， 综上所述，直线1的方程为4红一y一2=0戏x=1.故选C] 2.A[由题可知，直线【的斜率存在，设直线【的斜率为k, 别直线1的方程为y一3=k(x一3)，即x-y+3-3k=0, 根据点A(一2,2)，B(4,一2)到直线1的距离相等， 得一26-2+3-31=14k+2+3-36 √R+1 +I 解得长-2长=一子 故直线1的方程为3x一2y一3=0或2x十3y一15=0. 故选A,] 291