学案17 直线的一般式方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

脚元+名=1，将A80代入.可得元+合-1 34 好释6一号因4-山 则直线方程为后十音-1，化简可得x十2y一1=0， 2 嫁上，直找方程为4x-3y=0或x+2y一11=0. (2)点A关于y轴的对称点为A'(一3,4)， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点A'(一3,4)与 B(0,1), 4-】 所以反射光线所在的直线的斜单为=二3一0一1， 则反射先线所在的直线方程为y=一x十1，即x十y一1=0. 学案17直线的一般式方程 课堂活动 活动一掌握直线的一般式方程 新知导学 问题1提示：y=2x十1可以化成2x一y十1=0的形式，可以 化为二元一次方程，2x-y十3=0可以化为y=2x十3，可以 表示一条直线 新知生成 1.Ax十By十C=0不同时为0 新知应用 1.B[将一般式化为斜藏式，斜率为一 3的有B,C两项. 又C项y=一31十14过点(0,14)，即直线过第一象限， 所以只有B项满足要求.故选B.] 2.D[令y=0,则x--35.故选D.] 3.解：(1)由点斜式，得直线方程为y一3=3(x一5)， 即3x-y-5w3+3=0. (2)由斜式，得直线方程为y=4x一2，即4x一y一2=0. 6)由两点式，得重线方程为已-专二品 即2x+y-3=0. ()由藏距式，得直线方程为二十号-1，即x+3y+3-0, (5)y-2=0. 活动二掌握利用直线的一般式方程 研究直线平行、垂直的方法 新知应用 1解：当a-1时山4=34y=-号故14 当4≠1时，直线4的斜单k1=一户aa气 a-a 直线4的斜率k2=2, 3 由，-1将马号-1，解得a=-3 综上所遂，当a=1戎a=一3时，l1上L2, 2.解：(1)法-：因为直线1的斜率k=一音，且1L, 3 所以直线（的针率=一是 所以由点针式得y一3=一子红十1，中3江十4y一9=0， 126 法二：因为， 所以设直线1'的方程为3x十4y十m=0(m≠一12)， 又因为点(-1,3)在直线上，所以代入3x十4y十m=0, 可得m=一9， 所以直线'的方程为3x十4y一9=0. （②)法-，直线1的斜年表=-子，且PL山 刻直线I的外单数-音 设直线1的方程为y=合十6：由y=0得=一子， 由=0得y=:6=4得6-号。 所以6士智， 414√6 所以直线1的方程为y■32土3，即4红一3y士46-0. 法二：因为1”⊥【，所以设直线1的方程为4x一3y十#=0， 由y=0得x=一冬由x=0得y=分 因为三房将的面款为：所以宁·一受引·皆引4， 得n3=96,即n=士4v6, 所以直线1'的方程为4红一3y士46=0. 活动三直线一般式方程的综合应用 新知应用 4 1.[2,十o∞)[当a-2=0,即a=2时，方程为x=5: 此直线不过第二象限，持合题意： 当a-2≠0时，将直线l:(a-2)y=(3a-1)x-4化为斜藏 3a-14 式方程为y=。-21一a一2 f3a-1 由于直线不过第二象限，所以 a2>0, 解得a>2, 综上a≥2，故4的敢值范图为[2，十∞)，门 2.解：(1)当工，y的系数不网时为本时，方程表示一条直线. 令m一2m一3=0，解得m=一1或m=3: 1 令2m2十m一1=0，解得m=-1我m=之· 所以x,y的系餐同时为零时，m■一1， 故若方程表示一条直线，则m≠一1， 即实数m的取值范围为{mm≠一1}， (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由0)知当m=之时，2m+m-1-0且m-2m-3≠0， 方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x一4=0. (3)易知m≠一1且m≠3时，直线在x轴上的裁距存在， ，依题意，今y=0,得直线在工轴上的藏距为m一2m一3 =一3，解得m= 5（(m=3含去， 所以实数m的值为一了 5 母题变式：解：易知m≠一1且m≠号时，直线的特单存在， 方程即为y■ _7m2-2m-3 6-2m 2m2+m-1z2m+m-1 (m∈R), 故斜率为一 m3-2m-3 m2+m一1" 因为直线的领斜角是45°，所以其斜率为1， 所以 二-20二子-1解得m-分m-1合去 2m2+m-1 所以实数m的值为 4 课堂达标 3,5 1.A[由xt5y十1=0，得y=一3-3， 所以直线工十B+1=0的钟率是-故选A] 2.0[直线3x+y-2-0,即y-子+ 故直钱的鲜率为一子，在y轴上的藏距为宁：截选C] 3.C[:直线(3a+2)x十ay+6=0和直线ax-y十3=0 平行， .一(3a十2)-a=0,解得a=一2或a=一1， 当4=一2时，两条直线重合 当a=一1时，两条直线平行 综上，a=-1.故选C,] 4.B[与直线2x-y十1=0垂直的直线方粒可设为x+2y +C=0, 将点(0,1)代入可得2十C=0,解得C=一2， 故过点(0,1)且与直线2x一y十1一0垂直的直线方程为工+ 2y一2=0.故选B.] 5.D[由题意得，克线过点(0，一4)， 则-4(m-9)+3m2=0,则m2=36, 解得m■士6，故速D.] 、6.BC[直线13x一3y-1=0变形得y=x一 3 行率一又直我候计扇的花周方D0,故板件角为管 A错误，B正确： 令x=0,得y=一3· 中直线1在了轴上的我矩为一了C正确： 又直线工一5y=0的鲜单为 故与直线l:V3x一3y一1=0平行，D错误.故选BC.门 7.x+2y-4=0[设A(x,0),B(0,y), 由M(2,1)是线段AB的中点，可得A(4,0),B(0,2), 故直线AB的裁苑式方程为子十学-1，即工十2y一4=0.门 [把点(3,0)代入已知方程，得(a+2)×3-2a=0, a=-6, 直线方程为-4红+5y十12=0，◆x=0,得y=一高] 9.解：(1)图为A(1,2),C(-1,3), 所以0=吕=宁 1 由点斜式可得直线AC的方程为y一2=一2（红一1） 1 0-2 (2)国为k一2-1 =-2, 所以所求直线的斜率为表=一k一乞' 1 1 又因为所求直线过点C(一1,3) 1 所以由点斜式可得y-3=2G十1)，整理得工一2y十7=0. 学案18两条直线的交点坐标 课堂活动 活动一会求两条直线的交点坐标 新知导学 问题1提示：把点(1,4)的坐标代入直线方程x十y一5=0，若 满足该方程，则点在查线上，否则不在直线上 问题2提示：解两直线方程所组成的方程组，斌方程组的解就 是点P的坐标 新知应用 /3x-4y+5=0 7 1.B[联立 。解得=3， y=3, 所以两直线的交点坐标为（行3）故选且] 2.A[解方程组一2红十4“得直线y-一2红十4与直线 y=x+2, y=红中2的交点全标是（号号）： 袋题志，号-号，解得-4发达人门 y=07 .直线过点(2,5)和(1,1)， ∴所泉的克线方程为号-号中红-y一3=0] 活动二利用两直线的交点个数判断 两直线的位置关系 新知导学 问题3提示：1个，0个，无数个. 新知生成 无解无数个相交平行 新知应用 2红二)-70的解为任=3， 解：()方程组3x十2y-7=0 y=-1. 因此直线1和l2相交，交点坐标为(3，一1). (2)方程组/2x-6y+4=0,① 4x-12y+8=0,② ①×2得4x-12y+8=0. ①和②可以化为同一个方程， 即①和②表示同一条直线，l1与：重合，不相交 (3)方程纽 4红十2y十4=0无解， y=-2x+3 这表明直线1和：没有公共点，敝【1儿：，不相交， 活动三掌握直线系过定，点问题的求解方法 新知导学 问题4提示：当斜率存在时，y一1=是(x一4)(k∈R):当斜奉 不存在时，x=4. 271人教A版数学选择性必修第一册 听 课 学案17直线的一般式方程 记 昆学习任务 1.掌握直线的一般式方程.（数学抽象） 2.理解关于x,y的二元一次方程Ax十By十C=0(A,B不同时为0)都表示直线.（数学抽象） 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.（数学运算） 课堂活动 3根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一 般式方程： 活动一掌握直线的一般式方程 (1)斜率是√3，且经过点A(5,3): 阄新知导学 (2)斜率为4，在y轴上的截距为一2： (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点； 阅读教材第64,65页，完成下列问题. (4)在x轴，y轴上的截距分别为一3，一1： 问题1直线y=2x十1可以化成二元一次方程 (5)经过点B(4,2),且平行于x轴. 吗？方程2x一y+3=0表示一条直线吗？ 后新知生成 1.直线的一般式方程 关于x,y的二元一次方程 (其中A,B )叫做直线的一 般式方程，简称一般式 2.直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化 「方法总结」求直线一般式方程的策略 关系 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常 用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求 点斜式 斜截式 B≠0 Y-Yo=k(x-x0) 一般式 y=kx+b 方程，然后转化为一般式 Ax+By+C=0 活动二掌握利用直线的一般式方程 两点式 (A+B≠0 截距式 y-y--利 ABC-0 +=1ab≠0 研究直线平行、垂直的方法 今新知应用 今新知应用 1.若直线l1:a.x+(1-a)y-3=0与l2:(a-1)x 一3y一2=0互相垂直，求a的值. 1.下列直线中，斜率为 3,且不经过第一象限的 是 ( A.3x十4y+7=0 B.4x+3y+7=0 C.4x+3y-42=0 D.3x+4y-42=0 2.直线√3x一5y十9=0在x轴上的截距等于 A.5 B.-5 c号 D.-33 1152 直线的一般式方程学案17 2.已知直线1的方程为3x+4y一12=0，求直线 2.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m一1)y+6 听 '的方程，使 -2m=0(m∈R). (1)1'与1平行，且过点(-1,3)： (1)求该方程表示一条直线的条件； 笔 (2)'与1垂直，且1'与两坐标轴围成的三角形 (2)当m为何实数时，方程表示的直线的斜率 的面积为4. 不存在？求出这时的直线方程： (3)已知方程表示的直线在x轴上的截距为 一3，求实数m的值. 母题变式：在第2题中，若方程表示的直线的倾斜！ 「方法总结」(1)一般地，直线Ax十By十C=0 角是45°，求实数m的值. 中系数A,B确定直线的斜率，因此，与直线Ax +By十C=0平行的直线可设为Ax十By十m= 0,这是常采用的解题技巧.我们称Ax十By十m =0是与直线Ax十By十C=0平行的直线系方 程，参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得 到无数条与直线Ax十By十C=0平行的直线.当 m=C时，Ax十By十m=0与Ax十By十C=0 重合. (2)一般地，经过点M(xo,y。),且与直线Ax+ 「方法总结」含参直线方程的研究策略 By十C=0平行的直线方程为A(x一x。)十B(y (1)若方程Ax十By十C=0表示直线，则需满足 -yg)=0. A,B不同时为零. (3)类似地有：与直线Ax十By十C=0垂直的直 (2)令x=0可得直线在y轴上的裁距，令y=0 线系方程为Bx一Ay十m=0(A,B不同时 可得直线在x轴上的截距，若确定直线的斜率存 为零). 在，可将一般式化为斜截式 (4)求解有关直线与坐标轴围成的三角形面积问 (3)解分式方程时要注意验根.。 题，我们可以设直线的截距式方程，直接利用截距 写出三角形的面积，也可以设直线的其他形式的 课堂小结 方程，求解出与坐标轴的交点坐标，然后写出三角 Ax+B1+C=0(A,B不同时为0) 形的面积. 话动三直线一般式方程的综合应用 直线方程五种形式的互化 直线的一 般式方程 个新知应用 利用直线的一般式方程研究 直线平行，垂直 1.直线l:(a-2)y=(3a-1)x-4不过第二象 直线一般式方程的综合应用 限，则a的取值范围为 531 人教A版数学选择性必修第一册 听 课堂达标 7.直线1分别交x轴和y轴于A,B两点，若 M(2,1)是线段AB的中点，则直线1的方程为 笔 1.直线x十√y+1=0的斜率是 记 A- B号 C.-√3 D.3 8.已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a-0在 x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距 2.直线3x十4y一2=0的斜率及在y轴上的截距 为 分别为 9.已知三角形的三个顶点是A(1,2),B(2,0), 、1 B台号 C(-1,3). (1)求直线AC的方程（用斜截式表示）： 31 4’2 n青号 (2)求AB边上的高所在的直线方程（用一般式 3.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线a.x-y+ 表示). 3=0平行，则 ( 1 A.a=0或a=- 3 B.a=-1或a=-2 C.a=-1 D.a=-2 4.过点(0,1)且与直线2x一y+1=0垂直的直线 方程是 ( A.x-y+1=0 B.x+2y-2=0 C.2x+y-2-0 D.x+2y-1=0 5.已知直线(2m2-7m+3)x+(m2-9)y十3m =0在y轴上的截距是一4，则m=() A.4 B.±4 C.6 D.土6 6.(多选)关于直线1：w3x一3y一1=0，则下列结 论正确的是 ( A倾斜角为写 及舞率为号 C在y箱上的截距为一号 D.与直线x一5y=0垂直 课后反思 提示〉 请完成《分层作业（十二）》 1154