学案12 用空间向量研究夹角问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

用空间向量研究夹角问题学案12 学案12用空间向量研究夹角问题 听 昆学习任务 记 1.熟练记忆三种空间角的计算公式.（数学抽象） 2.会用空间向量解决简单的空间角的问题.（数学运算） 课堂活动 2.如图，圆柱OO'的母线长和底 面直径相等，AB,CD分别是 0 活动一·掌握异面直线所成角的计算方法 下底面圆O和上底面圆O'的 调新知导学 直径，且AB⊥CD,则异面直 线AC与BD所成角的余弦 阅读教材第36,37页，完成下列问题. 值是 ( ) 问题1向量u=(x1y121),v=(x2y2z2)的夹角 如何表示？ A写 B号 ct D吃 「方法总结」求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值， 问题2我们可以借助两直线的方向向量的夹角研 (3)得出两条异面直线所成的角. 究两异面直线所成的角，那么二者有什么区别吗？ 活动二”掌握直线与平面所成角的计算方法 阄新知导学 阅读教材第37页，完成下列问题. 问题3直线的方向向量与平面的法向量所成的 口新知生成 角是直线与平面所成的角吗？ 若异面直线11,1所成的角为0，其方向向量分别 为4，y, 则cos0=|cos(u,v)| 今新知应用 问题4直线的方向向量与平面的法向量所成的： 1.如图，在直三棱柱ABC- 角和直线与平面所成的角有什么关系？ A1B1C1中，AC=2,BC=3, CC1=4,∠ACB=90°，则 BC1与A,C所成的角的余弦 值为 ( B.82 10 C.305 85 25 D 25 351 人教A版数学选择性必修第一册 听 门新知生成 活动三掌握两个平面夹角的计算方法 笔 直线AB与平面a相交于点B,设直线AB与平 阄新知导学 记 面a所成的角为0， 阅读教材第37,38页，完成下列问题. 直线AB的方向向量为u,平 问题5两个平面的夹角与两平面的法向量的夹 面a的法向量为n,则sin0= 角有何关系？ u·n u·n cos(u ,n>= um ulin 个新知应用 1.已知直线1的一个方向向量为“=(1,0,1)，平 同新知生成 面a的一个法向量为n=(0,一1,1)，则1与a 若平面a,B的法向量分别是n1和n2,则平面a与 所成角的正弦值为 平面B的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角. >.2 B号 c号 D.1 设平面a与平面B的夹角为0，则cos0= n.nz 2.如图，在三棱锥P-ABC cos (n,n2>= n1·n2 In,IInTInlInsl 中，PC⊥底面ABC,AC =CB=2,PC=3,∠ACB 新知应用 =120°，Q为PB中点，求 1.已知向量m=(1,2,一1)，n=(t,1,-t),且m 直线PB和平面ACQ所 ⊥平面a,n⊥平面B,若平面a与平面B的夹角 成角的余弦值. 的余弦值为 ,则实数！的值为 () A2或-1 8戏 D.一2 1 C.-1或2 2.如图，四棱柱ABCD A1B,C,D1的所有棱长都 B 相等，AC∩BD=O,A,C1 ∩BD1=O1,四边形 ACC,A1和四边形 BDD:B,均为矩形，∠CBA=60°，求平面 C,OB,与平面OB,D夹角的余弦值. 「方法总结」利用平面的法向量求直线与平面所成 角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量. (3)求平面的法向量n, (4)设线面角为0，则sin0=an u·nl 1136 用空间向量研究夹角问题学案12 母题变式：第2题的条件不变，求平面BA1C与平 3.已知直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AB 听 面ACD夹角的余弦值. =AC=2AA,=1,那么异面直线B,C与A,B 笔 所成角的余弦值为 记 号 c n德 4.如图，已知点P在正方 D 体ABCD-A'B'C'D'的 「方法总结」求两平面夹角的两种方法 对角线BD'上，∠PDC (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线 垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹 =60°.设D'P=λD'B, D 角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方 则入的值为 向向量的夹角，但要注意其异同， (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1,n2,则 A日 R号 两平面约夹角为ma(当a,)0,到时)或 C.√2-1 D.3-2√2 5.如图，在正方体ABCD B -m1n,(当mn,)(经云时)片 -AB,CD1中，点E D 是线段A,C,上任意一 气课堂小结 点，则AE与平面AB CD所成角的正弦值不 两条异面直线所成的角 可能是 用空间向量 直线和平面所成的角 求空间的角 A号 B号 c. D.1 面角 两平面的夹角 6.如图，四边形ABCD是边 课堂达标 长为1的正方形，AE⊥平 1.若直线1的一个方向向量u=(1,0,1),平面a 面ABCD,若AE=1,则平 的一个法向量n=(0,一1,1)，则1与a所成角为 面ADE与平面BCE的夹 ( 角为 ( A若 R骨 A.45° B.60 C.120 D.150 7.如图，在正方体ABCD D D或 AB1CD1中，点P满足 2.平面a的一个法向量为m=(1,2,一2)，平面B D示-号DD,则直线AP 的一个法向量为n=(2,2,1),则平面a与平面 与直线D,B所成角的余 D B夹角的正切值为 () 弦值为 A号 B号 8.已知长方体ABCD-A1B,C,D,中，AB=BC C.4v65 =4,CC1=2,则平面A1BC,与平面ABCD所 65 成的角的余弦值为 371 人教A版数学选择性必修第一册 听 9.如图，在正四棱柱ABCD- 10.如图，已知圆台O,O2的高为√3，母线长为2， AB,C,D1中，AA1=2AB= AB,CD分别是上、下底面的直径，O2A∥BC. 记 2BC=2,M是棱CC1上任意 一点 (1)求证：AM⊥BD; D (2)若M是棱CC1的中点， 0 求异面直线AM与BC所成角的正切值. (1)证明：△ADO2是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等 分点，求直线BD与平面BCE所成角的正 弦值 课后反思 请完成《分层作业（七）》 提示 《重难专项训练（一）》 《章末综合测评（一）》 1138null