学案11 用空间向量研究距离问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

人教A版数学选择性必修第一册 听 学案11用空间向 笔 昆学习任务 1.掌握空间中距离的计算公式.（数学抽象） 2.会利用距离公式解决空间中的简单的距离问题. 课堂活动 活动一掌握点到直线的距离的计算方法 阄新知导学 阅读教材第33页，完成下列问题. 问题1如图，已知直线1的单位方向向量为“， A是直线上的定点，P是直线l外一点。 (1)能否用图中的向量表示∠PAQ? (2)如何利用图中的向量表示点P到直线的 距离？ 口新知生成 设直线1的单位方向向量为“，A是直线1上的定 点，P是L外一点，AP=a,则向量AP在直线 上的投影向量AQ= ,点P到直线1的 距离PQ= 新知应用 1.已知直线1经过点A(2,3,1),且向量n=( Q,号)为1的一个单位方向向量，则点P(4,3,② 到！的距离为 1132 量研究距离问题 直观想象、数学运算) 2.如图，在直三棱柱ABC- B A,B,C1中，△ABC是等边三 角形，AA1=√2，AB=2,则点 C到直线AB,的距离为 A a图 c圆 「方法总结」用向量法求点到直线的距离的一 般步骤 (1)求直线的方向向量. (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在 直线的方向向量上的投影向量的长度. (3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间 的距离与点到直线的距离之间的转化 活动二掌握点到平面的距离的计算方法 阄新知导学 阅读教材第33,34页，完成下列问题. 问题2已知平面a的法向量为n,A是平面a内 的定点，P是平面a外一点.如何求平面a外一 点P到平面a的距离？ 口新知生成 已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点， P是平面a外一点，则点P到平面a的距离PQ 今新知应用 1.在棱长为4的正方体ABCD-A,B,C1D1中， E,F,G分别为棱AB,AD,CC1的中点，点P 在棱C,D1上，且CP=3PD1,则点G到平面 PEF的距离为 () A982 B.9y82c.18▣D.92 82 41 41 4 2.如图1，在Rt△ABC中，AB=2BC=6,∠ABC =90°，E,F分别为AB,AC上的点，EF∥BC, AE=2EB.如图2，将△AEF沿EF折起，当四 棱锥A-BCFE的体积最大时，点E到平面 ACF的距离为 ( 图1 图2 A.46 B26 C.6 3 3 D. 2 「方法总结」用向量法求点到平面的距离的一 般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点的连线形成的斜线段 对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 活动三掌握直线到平面、平面到 平面的距离的计算方法 阄新知导学 阅读教材第34,35页，完成下列问题 问题3类比两条平行直线间的距离，如何求直 线与平面或两个平行平面间的距离？ 用空间向量研究距离问题学案1 回新知生成 听 1.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线1 课笔 上任取一点P,将线面距离转化为 的距离求解 2.如果两个平面a,3互相平行，在其中一个平面 α内任取一点P,将两个平行平面间的距离转 化为点P到平面3的距离求解. 今新知应用 1.两平行平面α，3分别经过坐标原点O和点· A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-一1， 0,1),则两平面间的距离是 ( .2 B号 C.√3 D.32 2.如图，在长方体ABCD D C AB,C1D1中，AA1=AB A =2,BC=1,E,F,H分别 是AB,CD,AB,的中点， C:.A 则直线EC到平面AFH 的距离为 3.设正方体ABCD-A1BC,D1的棱长为2，求直 线B,C到平面A1BD的距离. 母题变式：第3题的条件不变，求平面ABD与 平面B,CD1间的距离. 「方法总结」用向量方法研究线面、面面距离问 题的一般思路 (1)将所求线面、面面距离转化为点面距离. (2)确定直线的方向向量与平面的法向量. (3)代入公式求解。 白课堂小结 点到直线的距离 用空间向量求 点到平面的距离 空间的距离 直线到平面的距离 平面到平面的距离 3310 人教A版数学选择性必修第一册 听 课堂达标 笔 1.直线1的方向向量为m=(1,0,一1)，且l过点 记 A(1,1,1),则点P(1,-1,一1)到l的距离为 () A.2 B.3 C.6 D.22 2.已知法向量为n=(1,0,1)的平面a内有一点 A(-1,1,0),则平面外一点P(-1,1,1)到平 面a的距离为 () A.1 B.√2 D.2 3.已知平面a的一个法向量n=(一2，一2,1)，点 A(一1,3,0)在平面a内，若点P(一2,1，x)到 平面。的距离为9，则。一 ( A.16 B.-4 C.4或-16 D.-4或16 4.在棱长为1的正方体ABCD-A,B:C1D1中， E,F分别是BC,CD的中点，则直线BD到平 面EFD,B,的距离为 () c D.3 1 5.如图，正四棱柱ABCD-A,B,C1D,中，AA1= 2AB=2,点E和点F分别是线段AC1与BD 上的动点，则E,F间的最小距离为( D B D A号 B.1 3 6 6.A(1,0,3),B(2,1,0),C(0,1,1),D(1,0,0), 则点A到平面BCD的距离为 课后反思 1134 7.如图所示，四边形ABCD 为正方形，ABEF为矩形， 且它们所在的平面互相垂 直，AB-2BE-4,M为对 角线AC上的一个定点，且 3AM=MC,则点M到直线BF的距 离为 8.如图所示，已知四棱锥P ABCD的底面是边长为1的 正方形，PD⊥AD,PC=√2， PD=1,E,F分别是AB,BC 的中点 (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离. 9.如图，在四棱锥O-ABCD 0 中，底面ABCD是边长为2 的正方形，OA⊥底面AB CD,OA=2,M,N,R分别 是OA,BC,AD的中点.求： (1)直线MN与平面OCD 的距离； (2)平面MNR与平面OCD的距离. 提示}请完成《分层作业（六）》null