学案10 空间中直线、平面的垂直-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

课堂达标 1.D[由题可知，a·n=1×0十（一1）×2十2×1=0， 故l∥a或1Ca,] 2.C[由题知，l山n,故1·n=2+2m+2=0,解得m=-8.] 3.D[n=-2n,∴n1∥n2,aB我a与B重合.] 4.D[因为a∥3，所以平面B的法向量与平面a的法向量平行， 因为(4，-2，-2)=2(2，一1，一1)，且A,B,C选项中的向量 均与(2,1，一1)不共线，所以D项特合题意.] 5.B[周为n1=(3,x,2),n=(-3,N3,一23)分别是平 面a,3的法向量，且a∥3， 所以nm,即尽=三 2 = -33-2 =,解得x=一1.] 2 6.了[建主知国所示的空间直角坐 标系，不妨设正方体的枚长为3， B 则E(0,0,2),A,(3,0,3) B(3,3,0),B1(3,3,3), 设F(0,a,3), 所以A:E=(-3,0,-1), A1B=(0,3,-3), 设平面A:BE的法向量为m=(xy,), (A1E·m=-3x-x=0, 所以《 取x=1, A1B·m=3y-3x=0, 则m=(1,-3,-3),B1F=(-3,4-3,0), 由于B1F∥平面A1BE,所以B1F⊥m, 即B,F·m=-3-3(a-3)=0, ta=2,所以D=2,片以D正=号D,C故A=号 7.[证明]以D为原点，DA,DC DD1的方向分别为x轴，y轴、 轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的被长 为1， 则B(1,1,0),D(0,0,1),C(0,1,0) E(0,1）小，所以丽 （-1,-1.C正-(0，-之易得B丽与不年行 国为BD,为直线BD,的一个方向向量，CE为直线CE的一 个方向向量， 当BD,CE时，必有BD/CE 因此由上可知直线BD,与直线CE不平行。 8[证明]以A为原点，分别以 AC,AB,AA1所在直线为x,y, D 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得C(2,0,0), D(1,-2,0),B1(0,1,2), D(1,-2,2), 又因为M,N分别为B,C和D,D 的中点，可得M1,7Na,-2D, 又由向量n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量， 且N=(o-号o小 由此可得MN·n=0,又图为MN丈平面ABCD, 所以MN∥平面ABCD. 学案10空间中直线、平面的垂直 课堂活动 活动一掌握证明直线与直线垂直的方法 新知导学 问题1提示：垂直 新知生成 41⊥4g41·生=0 新知应用 1.B[:a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0, a⊥b,l⊥l2,] 2.[证明]以A为原点，AB所在直线为 x轴，过点A且与BC平行的直线为y P 轴，AP所在直线为g轴，建主空间直角 E 坐标系，如图， 则由题意得A(0,0,0),P(0,0,1), C(1,1,0),B(1,0,0), E(ooF(合oM(分0… ）成-（分是-）成-（分，） 床.AM=×号+0+(-)×号=0，即序1成， .EF⊥AM. 活动二掌握证明直线与平面垂直的方法 新知导学 问题2提示：平行（共线）. 新知生成 u//n u=An 新知应用 1.A[由题意，AB=(-1,1,0),BC=(0,-1,1),又n·AB= 0,n·BC=0,所以以n为方向向量的直线与平面ABC 垂克.] 21[由1山a,释，则三2-司-号所以=1] 3.[证明]：PA⊥底面ABCD,AB ⊥AD, .AB,AD,AP两两垂直，建立如图 所示的空间直角坐赫系Axyz,连 接AC, 设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1), A..m0..o.) :∠ABC-60△ABC为运三角彩，C(合号.o), () a=1oo-(》: 131 设平面ABE的法向量为n■(x,y,x), n·AB=0,z=0, 则 即1 n·AE-0, x=0, 令y=2,则x=-5,n=(0,2,-3) 历-(o.29-小黑而-停防m :PDL平面ABE,即PD⊥平面ABE. 活动三掌握证明平面与平面垂直的方法 新知导学 问题3提示：垂直 新知生成 n1⊥n2n1·n:=0 新知应用 1.C[因为a=(1,-1,2),b=(5,-1,-3), 所以a·b=1×5+(-1)×(-1)十2×(-3)=0， 则a⊥b,所以a⊥B.] 2.5["平面a与平面B垂直， ,平面a的法向量u与平面3的法向量v互相垂真， .u·v=0,即一1·t+0X5十5X1=0,解得t=5,] 3.[证明]法一：如图，以三棱锥的 顶点P为原点，以PA,PB,PC 所在直线分别作为工轴、y轴、z 轴建立空阀直角坐标系， 令PA=PB=PC=3, G 则P(0,0,0),A(3,0,0), F(0,1,0),G(1,1,0), 于是PA=(3,0,0),FG=(1,0,0), 故PA=3FG,∴PA∥FG 而PA⊥平而PBC,.FG⊥平面PBC. 又FGC平面EFG,,平面EFG⊥平面PBC 法二：同法一，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,0),A(3,0,0),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0). .EF=(0,-1,-10,EG=(1,-1,-1). 设平面EFG的法向量为n■(x,y,z),剥有n⊥EF,n⊥EG :十=0，。令y=1,得=-1，z=0 x一y一x■0， 即n=(0,1,-1) 里然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量. 又n·PA=0,所以n⊥PA, 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直， ,平而EFG⊥平而PBC. 课堂达标 1.D[对于A,若两个平面的法向量互相垂直，则两个平而垂 直，即A正确： 对于B,若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互 相平行，即B正确 14 对于C,若一克线的方向向量与一平面的法向量平行，划该克 线垂直于孩平面，即C正确； 对于D,若一直线的方向向量与一平面的法向量垂克，则该克 线平行于孩平面或者在该平面内，即D错误.] 2.A[由题意得n=-2a,则n∥a,l⊥a.] 3.B[h=(1,2,-1),=(-2,2,2), ,w·=1×(-2)+2×2+(-1)×2=0, .⊥，∴.a⊥B.故选Bn] 4.B[建立如图所示的空闲直角坐 D 标系，设正方体的被长为2， 别C1(0,2,2),F(2,2,1), D1(0,0,2),E(2,0,1), 不坊设G(x,2,0), C1F=(2,0,-1), EG=(x-2,2,-1), 由C,F.EG-2(x-2)+0+1=0→x=2, 3 圈为D,F=(2,2,-1),FG=(x-2,0,-1), 所以D京.F底-2-2》+0+1=2x-3-2×号-3=0， 所以D,F⊥FG,故∠D,FG=90,故接B.] 5.AD[由正方体性质易得平而 ABCD∥平面A,B,C:D1,文EF C平面ABCD,故EF∥平面 A1BC:D1,故A正确， 如图，以点D为坐标原点，分别以 D DA,DC,DD,所在直线为x轴、 y轴、x轴建立空间直角坐标系， E B 设AB=2. 则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2) A(2,0,0),D1(0,0,2), 刚EF=(-1,1,0),EB1=(0,1,2),DB=(2,2,0), DA1=(2,0,2),DF=(1,2,0), AA1=(0,0,2),DD1=(0,0,2). 对B,设平面BEF的法向量为m=(x1y11), m·EF=-x1+y1=0, 刚有 令1=一1， m·EB1=y1+2x1=0, 别m=(2,2,一1)，而m·AA:=一2≠0， 故平面B,EF∥平面A,AC不成立，故B错误； 对C,周为EF,DF=-1+2≠0， 故EF⊥平面B,DF不成主，故C错误： 对D,设平面BDD1的法向量为n=(a,b,c), m·DD1=2e=0, 别有 n·DB=2a+2b=0, 令a=1,.b=-1, 别平面BDD1的法向量为n=(1,一1,0)， 因为m·n=0,则平面BEF⊥平面BDD1,故D正骑.] 6.2[周为PA⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC, 所以PA⊥AB,PA⊥BC,又AB⊥BC, 故PA,AB,BC两两垂直，以A为坐标原点，AB,AP所在克 线分别为y轴、z轴， 平行于BC的直线为x抽，建 主立空间直角坐标系， 故A(0,0,0),B(0,2,0), C(2,2,0),P(0,0,a), 国为PD=宁PC, 所以D(号号子知)小 因为AD⊥PB, 所以丽=（号号号）小02-) 解得a反，负值舍去，] -号 [因为AB⊥a,所以AB与n共线， 又AB=(2,n,-2),n=(1,-2,2m),则m≠0， -2 1 8.[证明]如图所示，以A为坐标 原点，AB,AD,AP所在直线分别 为x轴、y轴、：轴建立空间直角 坐标系，AD=DC=AP=2 AB=1,点E为校PC的中点， .B(1,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2) E(1,1,1), BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2), BE,PD=0,即BE⊥PD,BE⊥PD 9.[证明]过点E作底面ABCD D 的垂线交A1D1于点F, 以E为坐标原点，EA,EB,EF所 在直线分别为工轴、y轴z轴，建 立如图所示的空间走角坐标系， 则A1(1,0,w2), B C1(-2N3w2),B(0W5,0),D(-1,0,0),B1(03,W2), 所以A,C1=(-3,3,0),AB=(-1W5,-2), DB,=(1w5,W2), 周为A,C,·DB,=-3十3十0=0， A1B·DB1--1+3-2=0, 所以A,C1⊥DB1,A1B⊥DB1, 又A,B∩AC,=A,A:B,A1C,C平面BAC1, 所以DB1⊥平面BA,C1 学案11用空间向量研究距离问题 课堂活动 活动一掌握点到直线的距离的计算方法 新知导学 问题1(1D提示：设A下=4， cos∠PAQ=cosa,w〉=aa a·4 (2)提示：设AP=a,则向量AP在直线1上的投影向量AQ =o,u=a0a=am.在R△APQ 中，由勾段定理，得，点P到直线1的距离为 PQ=/AP1e-A2=a-(a·w. 新知生成 (a·u)m√AP1'-AQ1毕a-(a·u) 新知应用 1号[因为i-(-20,-D.-(停0号)方1的-个 单位方向向量， 点P到l的距离d-PA1-(PA,m) 6(--9] 2.C[取AC的中点O,则BO⊥AC, BO=√3， 以OB所在直线为x轴，OC所在直 线为y轴，点O与A,C中点连线所 在直线为之轴， 建立如图所帝的空间直角坐桥系 Oxyx,所以A(0,-1,0), B,5,0.√2)，C(0,1,0), 所以AB,=(W5,1W2),CA=(0,-2,0), 所以CA在AB,上的投影向量的长度为 ICA·AB,I2 IAB,I 故点C到直线AB,的距离为d= a-(T- 活动二掌握，点到平面的距离的计算方法 新知导学 问题2提示：过点P作PQ⊥平面a, 垂足为Q,则线段PQ的长度就是 点P到平面a的距离，而PQn,所 以向量AP在法向量m方向上的投 影向量QP的长度就等于线段PQ 的长度， 新知应用 1,C[如图，建立空间直角坐标系， 围为正方体的校长为4， 则F(2,0,0),E(4,2,0), P(0,1,4),G(0,4,2), 所以EF=(-2-2,0), D FP=(-2,1,4) E EG=(-4,2,2), 设平面PEF的法向量为n=(x,y,x), n·EF=-2x-2y=0, 由 n·FP=-2x+y+4z=0, 工=1，到y=-1,=子， 151null