学案9 空间中直线、平面的平行-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

m·AC=0, 则有 ’即厂x+y=0, m·AB=0, y十z■0， 令y=1,则x=1,x=-1,所以m=(1,1,一1)， 即平面ACB1的法向量为m=(1,1,一1). 学案9空间中直线、平面的平行 课堂活动 活动一证明直线与直线平行 新知导学 问题1提示：平行 新知生成 41u21=入 新知应用 1.D[b=一2a,.l:与l2平行或重合.] 2.[证明]以D为坐标原点，分别 以DA,DC,DD,为单位正交基 底建立如图所示的空间直角坐A E B 标系， 则A1,00,E(00,7) C01F(11,）, AE-(-10,2）FC-(-10,2) C-(o1,)a=(o1,） AE=FCL.ECT=AF..AE//FCLEC//AF. 又，F在AE,F任EC,,AE∥FC1,EC1∥AF, ,四边形AEC,F是平行回边形. 活动二证明直线与平面平行 新知导学 问题2提示：垂直 新知生成 4Lmu·n=0 新知应用 1.AD[若1a,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·m=1十5 =6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.] 2.D[由或线1∥平面a,得m⊥n,则m·#=一a十2一6=0， 所以a=一4.] 3.[证明]如图所示，建立空间直角坐 标系，D是坐标原点，设PD=DC =a, 连接AC,交BD于点G,连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0), P0,0a).E(0,2,） B(a,a,0). 设平面EDB的法向量为n=(xy,2), 又D成-(0,2)EB=(a,2-） a·DE=0, 2y+)=0, 则有·E=0 (+-)= 12 即/+z=0, 2x十y-x=0, 令x=1,则2-1 y=-1, 所以n=(1,-1,1),又PA=(a,0,-a), 所以n·PA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0, 所以n⊥PA 又PA丈平面EDB,所以PA∥平面EDB. 母题变式：解：以AB,AD,AP所在直 线分别为x,y,x轴建立空间直角 坐标系，如图所示， 则P(0,0,1),C(1,1,0), D D(0,2,0). A 假设在模PD上存在符合题意的B明 点E, 设E(0,y2),则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,-1). PE/PD,.-y-2(x-1)=0① :AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， CE=(-1,y-1,e), 由CE∥平面PAB,可得C正⊥AD ∴.(-1，y-1,x)(0,2,0)=2(y-1)=0, y=1,代入①式得z=2 1 ,E是PD的中点， 即存在点E为PD的中点，使得CE∥平而PAB. 活动三证明平面与平面平行 新知导学 问题3提示：平行. 新知生成 n1∥ngn1=入n: 新知应用 1.A[v=-3u,∴.v∥u.故a∥3.] 2.1[因为aB,所以mm, 所以存在唯一的实数入，使得n=Am, 即(-1,2，k)=入(2，-4，一2)， -1=2λ， 1 所以2=-以，解得=一豆'所以k=1.] k=一2λ， k=1, 3.[证明]以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、 y轴2轴，建立空问直角坐标系，如图， 则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2), B1(1,0,4),D1(0,1,4),F(1,1,2), DE=FB1=(0,-1,2), DE∥FB1,同理BD∥BD1, DE寸平面BD,F,FB,C平面 BDF,,DE∥平面BDF, BD中平面BD,F, B,D,C平面BD,F, .BD∥平而B,D:F, 又DE∩BD=D,DE,BDC平面BDE, .平面BDE∥平面B1D1F, 课堂达标 1.D[由题可知，a·n=1×0十（一1）×2十2×1=0， 故l∥a或1Ca,] 2.C[由题知，l山n,故1·n=2+2m+2=0,解得m=-8.] 3.D[n=-2n,∴n1∥n2,aB我a与B重合.] 4.D[因为a∥3，所以平面B的法向量与平面a的法向量平行， 因为(4，-2，-2)=2(2，一1，一1)，且A,B,C选项中的向量 均与(2,1，一1)不共线，所以D项特合题意.] 5.B[周为n1=(3,x,2),n=(-3,N3,一23)分别是平 面a,3的法向量，且a∥3， 所以nm,即尽=三 2 = -33-2 =,解得x=一1.] 2 6.了[建主知国所示的空间直角坐 标系，不妨设正方体的枚长为3， B 则E(0,0,2),A,(3,0,3) B(3,3,0),B1(3,3,3), 设F(0,a,3), 所以A:E=(-3,0,-1), A1B=(0,3,-3), 设平面A:BE的法向量为m=(xy,), (A1E·m=-3x-x=0, 所以《 取x=1, A1B·m=3y-3x=0, 则m=(1,-3,-3),B1F=(-3,4-3,0), 由于B1F∥平面A1BE,所以B1F⊥m, 即B,F·m=-3-3(a-3)=0, ta=2,所以D=2,片以D正=号D,C故A=号 7.[证明]以D为原点，DA,DC DD1的方向分别为x轴，y轴、 轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的被长 为1， 则B(1,1,0),D(0,0,1),C(0,1,0) E(0,1）小，所以丽 （-1,-1.C正-(0，-之易得B丽与不年行 国为BD,为直线BD,的一个方向向量，CE为直线CE的一 个方向向量， 当BD,CE时，必有BD/CE 因此由上可知直线BD,与直线CE不平行。 8[证明]以A为原点，分别以 AC,AB,AA1所在直线为x,y, D 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得C(2,0,0), D(1,-2,0),B1(0,1,2), D(1,-2,2), 又因为M,N分别为B,C和D,D 的中点，可得M1,7Na,-2D, 又由向量n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量， 且N=(o-号o小 由此可得MN·n=0,又图为MN丈平面ABCD, 所以MN∥平面ABCD. 学案10空间中直线、平面的垂直 课堂活动 活动一掌握证明直线与直线垂直的方法 新知导学 问题1提示：垂直 新知生成 41⊥4g41·生=0 新知应用 1.B[:a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0, a⊥b,l⊥l2,] 2.[证明]以A为原点，AB所在直线为 x轴，过点A且与BC平行的直线为y P 轴，AP所在直线为g轴，建主空间直角 E 坐标系，如图， 则由题意得A(0,0,0),P(0,0,1), C(1,1,0),B(1,0,0), E(ooF(合oM(分0… ）成-（分是-）成-（分，） 床.AM=×号+0+(-)×号=0，即序1成， .EF⊥AM. 活动二掌握证明直线与平面垂直的方法 新知导学 问题2提示：平行（共线）. 新知生成 u//n u=An 新知应用 1.A[由题意，AB=(-1,1,0),BC=(0,-1,1),又n·AB= 0,n·BC=0,所以以n为方向向量的直线与平面ABC 垂克.] 21[由1山a,释，则三2-司-号所以=1] 3.[证明]：PA⊥底面ABCD,AB ⊥AD, .AB,AD,AP两两垂直，建立如图 所示的空间直角坐赫系Axyz,连 接AC, 设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1), A..m0..o.) :∠ABC-60△ABC为运三角彩，C(合号.o), () a=1oo-(》: 131null