学案8 空间中点、直线和平面的向量表示-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

null|AB1=年，|AC1=4, cosA店.AC=A5·A花=21 IABI IAC14 又0°<(AB,AC)<180°，则∠BAC-60°， 所以Sa版=专|A·|AC1·s血∠BAC=7 2 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S=2SAAc= 7√3.故速D.] 3.解：如图，以C为坐标原点，CA, CB,CC1所在直线分别为x轴，y 柚，：轴，建立空间直角坐标系 Cxyz. (1)依题意得B(0,1,0),N1,0,1), ∴IBN =√(1-0)+(0-1)+(1-0 =5,.BN的长为3 (2)依题意得A,(1,0,2),C(0,0,0),B:(0,1,2), A1B=(-1,1,-2),B,C-(0,-1,-2), ∴A,B·B1C=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3. 又A,B=√6，IB1C=5, A1B·B1C ∴cos(A1B,B1C)= IA,10 故AB与B,C所成角的余孩债为y 10 课堂达标 1.B[OM-AB-Oi-OA,0i-0M+OA-(9,1,1).] 2.B[若b=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2a 所以ab.] 3.D[依题意得(ka+b)·(2a-b)=0, 所以2k|a2一ka·b+2a·b-1b2=0, 而a2=2,1b1=5,a·b=-1, 所以4k十k-2一5=0， 解得长=子】 4.A[,a+2b=(1十2x,4.4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)/(2a-b), ∴3(1+2x)=4(2-x)且3(4-y)=4(-2y-2), 解得红-安y=-4.] 5.C[a十b=(-1,-2,-3)=-a,故(a十b)·c=-a·c= 7,得a·c=-7,而la=√+2+3=4，所以os(a,c》 -日治-号，周为ae)e01.所以ae-120 a.c 6.厘[设点P(xy,),则由A正-2P店， 3 得(x-1,y-2,2-1)=2(-1-x,3-y,4-2), 1 x-1=-2-2x, x=一3 即(y-2=6-2y,解得 8 x-1=8-2g, y=3' x=3, Pò=√+》+(-)+a-=厘] 110 7.号[：a店=0,3,3)，A花=(-11,0 |AB|=32,AC=2, AB.AC-0×(-1)+3×1+3×0=3, cos,A花-i,A花 1 A店1A衣2 又：Ai,AC∈[0，，Ai.AC)=于] 及4[南老如a%,所a号-生2-子》 2 9-20 把①代入②得x2十工-2=0，解得x=一2戴工-1 当x■一2时，y=一6；当x=1时，y=3. 者任=-2时，6=（-2，-4，-6=-2a, 5y=-6 向量a,b反向，不特合题意，舍去」 当时，6-（1,2,3》-a,a与6月向，所以 y=3 y=3, 此时x十y=4.] 9.解：(1)周为BC=(-2,-1,2),且c∥BC, 所以设c=BC=(-2x,-A,2x), 得1el=√/(-2x)+(-A)+(2λ)下=3a1=3, 解得1■士1.即c■(-2，一1,2)或c■(2,1，-2). (2)周为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), 所以ka十b=(k一1，k,2),ka-2b=(k十2，k,-4). 又因为(ka十b)⊥(ka-2b),所以(ka十b)·(ka一2b)=0. 即(k-1,k,2)·(k十2，k,一4)=2k8十k-10=0. 都得=2发=一多 学案8空间中点、直线和平面的向量表示 课堂活动 活动一理解空间中点、直线的向量表示 新知导学 问题1提示：在空间中，取一定点O作为基点，那么空闻中任 意一点P就可以用向量OP来表示，把向量OP称为点P的 位置向量. 问题2提示：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向童 唯一确定 新知生成 1.(1)AP-ta (2)OP-OA+ta 新知应用 A[AB=(2,4,6),而与AB共线的非零向量都可以作为克 线（的方向向量.故选A] 活动二。理解空间中平面的向量表示 新知导学 问题3提示：存在唯一的有序实数对(x,y),使得p一x +yb. 问题4提示：存在有序实数对（红x,y),使得A户-zAB+yAC 新知生成 2.OP-0A+zAB+yAC 3.{P1a·AP=0) 新知应用 解：因为PA⊥平面ABCD,底面 ABCD为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂克 如图，以A为坐标原点， 建立空间直角坐标系Axyz, B 到A00oE(o.9》 c1w5,0,于是正-(o,）ac-150. 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量， 则/·AC=0, [x+3y=0, n·AE=0, 2y+2x=0, x=-5y, 所以 z=-5y, 令y=一1，别x=g=5. 所以平面ACE的一个法向量为n=(W3,一1√3) 母题变式：解：如图所示，建立空间 直角坐标系Axyz,剥P(0,0,1), C(1w3,0),D(03,0), PD=(0,w3,-1). 所以PC=(1,5,一1)即为直线B PC的一个方向向量 设平面PCD的法向董为m■(x,y,z). m·PC=0,x十5y-x=0, 则 m·PD=0,W3y-x=0, 所以=0， z=5y, 令y=1,则x=√5 所以平面PCD的一个法向量为m=(0,1,W3) 课堂达标 1.A[由题知，AB=(-3,-3,3),则与向量AB共线的非零 向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量(1,1,1)与AB 不共线，所以不是直战AB的方向向量.门 2.A[由已知AB=(2,2,-2),AC=(3,3,-2), 设平而ABC的法向量为n=(x,y,2) ,n·AB=2x+2y-2x=0, 敢x=1,解得n=(1,一1,0)， m·AC=3x+3y-2x=0, 选项A持合，故速A,] 3.D[由题意得D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2), DB=(-1,1,0),DC=(-1,0,2), 设平面DBC的法向量为n=(x,y,z) n·DB=-x+y=0, 由 n.Dc=-x+2e=0, 令g=1,则x=2,y=2, .平面DBC的一个法向量为n=(2,2,1).] 4.AC[由题意得，B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0), D(0,1,0),D1(0,1,1). 对于A,B项，可知BD1=(-1,1,1), :向量(-2,2,2)与BD,共线， .向量（一2,2,2）为直线BD1的一个方向向量，故A正确， B不正扇： 对于C项，设平面B,CD1的法向量为n=(x,y,z), n·CB1=0, 别 n·CD1=0. 又CB1=(0,-1,1),CD1=(-1,0,1), 以南仁8 令x=1,可得m=(1,1,1),则C正确： 对于D项，设平面B,CD的法向量为m=(a,b,c), (m·CB,=0, m.CD=0, 又CB1=(0,-1,1),CD=(-1,0,0),所以有 -b十c=0, -a=0, 今6=1，得m一(0,1,1)，故D不正确.] 5.-1[根搭题意，AB=(m,-2,1), 若直线AB的一个方向向量为(1,2，一1)， 别设AB=A(1,2,-1). 即(m,一2,1)=1(1,2，-1)=(1,2x,-1), 加=入， 别一2=2入，解得m=一1.] 1=-， 6.10[点A(0,1,1),B(1,2,10,C(-1,0,-1), 可得AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2), 周为a=(一1，y,x)为平面ABC的一个法向量， a·AB=-1+y=0, a·AC=1-y-2z=0, 解得y=1,x=0.] 7.解：(1)周为B(1,-1,-2),C(-1,0,0), 所以直线BC的一个方向向量为BC=(一2,1,2). (2)因为平面a经过A(1,2,3)且M(xy,z)是平面a内的 任意一点， 别有AM=(x-1,y-2,z-3), 又围为BC是平面a的一个法向量，所以BC⊥AM, 从而BC·AM=0,即(-2,1,2)·(x-1,y-2,z-3)-0, 所以一2(x-1)十(y-2)+2(x-3)=0, 整理可得2x一y-2x+6=0, 所以x+y,2满足的关系式为2x一y一2z十6-0. 8.解：(1)如图，以D为坐标原点，建立 24 空间直角坐标系， D 则有D0.00,(合号o), C(0,1,0)C1(0,1,1), B,a1D,G(0,0 H名）-(2》 ǎm-+(》+(- (2)设平面ACB1的法向量为m=(x,y,z), A(1,0,0),AC=(-1,1,0),AB1=(0,1,1), 110 m·AC=0, 则有 ’即厂x+y=0, m·AB=0, y十z■0， 令y=1,则x=1,x=-1,所以m=(1,1,一1)， 即平面ACB1的法向量为m=(1,1,一1). 学案9空间中直线、平面的平行 课堂活动 活动一证明直线与直线平行 新知导学 问题1提示：平行 新知生成 41u21=入 新知应用 1.D[b=一2a,.l:与l2平行或重合.] 2.[证明]以D为坐标原点，分别 以DA,DC,DD,为单位正交基 底建立如图所示的空间直角坐A E B 标系， 则A1,00,E(00,7) C01F(11,）, AE-(-10,2）FC-(-10,2) C-(o1,)a=(o1,） AE=FCL.ECT=AF..AE//FCLEC//AF. 又，F在AE,F任EC,,AE∥FC1,EC1∥AF, ,四边形AEC,F是平行回边形. 活动二证明直线与平面平行 新知导学 问题2提示：垂直 新知生成 4Lmu·n=0 新知应用 1.AD[若1a,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·m=1十5 =6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.] 2.D[由或线1∥平面a,得m⊥n,则m·#=一a十2一6=0， 所以a=一4.] 3.[证明]如图所示，建立空间直角坐 标系，D是坐标原点，设PD=DC =a, 连接AC,交BD于点G,连接EG, 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0), P0,0a).E(0,2,） B(a,a,0). 设平面EDB的法向量为n=(xy,2), 又D成-(0,2)EB=(a,2-） a·DE=0, 2y+)=0, 则有·E=0 (+-)= 12 即/+z=0, 2x十y-x=0, 令x=1,则2-1 y=-1, 所以n=(1,-1,1),又PA=(a,0,-a), 所以n·PA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0, 所以n⊥PA 又PA丈平面EDB,所以PA∥平面EDB. 母题变式：解：以AB,AD,AP所在直 线分别为x,y,x轴建立空间直角 坐标系，如图所示， 则P(0,0,1),C(1,1,0), D D(0,2,0). A 假设在模PD上存在符合题意的B明 点E, 设E(0,y2),则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,-1). PE/PD,.-y-2(x-1)=0① :AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， CE=(-1,y-1,e), 由CE∥平面PAB,可得C正⊥AD ∴.(-1，y-1,x)(0,2,0)=2(y-1)=0, y=1,代入①式得z=2 1 ,E是PD的中点， 即存在点E为PD的中点，使得CE∥平而PAB. 活动三证明平面与平面平行 新知导学 问题3提示：平行. 新知生成 n1∥ngn1=入n: 新知应用 1.A[v=-3u,∴.v∥u.故a∥3.] 2.1[因为aB,所以mm, 所以存在唯一的实数入，使得n=Am, 即(-1,2，k)=入(2，-4，一2)， -1=2λ， 1 所以2=-以，解得=一豆'所以k=1.] k=一2λ， k=1, 3.[证明]以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、 y轴2轴，建立空问直角坐标系，如图， 则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2), B1(1,0,4),D1(0,1,4),F(1,1,2), DE=FB1=(0,-1,2), DE∥FB1,同理BD∥BD1, DE寸平面BD,F,FB,C平面 BDF,,DE∥平面BDF, BD中平面BD,F, B,D,C平面BD,F, .BD∥平而B,D:F, 又DE∩BD=D,DE,BDC平面BDE, .平面BDE∥平面B1D1F,