学案7 空间向量运算的坐标表示-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

null9.解：D0=-0币=-(00，+0，D) -[0,+20i+o]-2oi-2oi-00. 又00,1=4,10A=4,10B1=2D0=(-2,-1,-4). A B-OB-OA-0B-(OA+AA) =-0A+0i-00, 又|0B1=2,1OA1=4,AA11=4,.AB=(-4,2,-4). 学案7空间向量运算的坐标表示 课堂活动 活动一掌握空间向量的坐标运算 新知导学 问题1提示：a十b=(x,十xgy1十y),a一b=(x1一x: y1一y:),Aa=(ax1y1),a·b=x1xg十y1yg.能. 新知生成 1.终点坐标减去起点坐标 2.(a1+b1,a:+b:,a,+b3)(a1-b1,a:-b:a:-b,) (a1,Aa:,Aa:),A∈Ra1b1+a2b2十asb 新知应用 1.D[因为a=(-2,3,1),b=(0,-1,4), 所以24+3b=2(-2,3,1)+3(0,-1,4)=(-4,3,14).] 2.A[由题知，CD=-(AB十BC)十AD=一（一1,0,3）+ (3,1,2)=(4,1,-1).] 3.D[由b=(-1,2,1)c=(0,1,1D, 得b+e=(1,3,2),而a=(2,2,3), 所以a·(b十e)=-1×2+3×2+2×3=10.] 活动二利用空间向量的坐标解决 平行、垂直问题 新知导学 问题2提示：a∥b台x1y1-x2y1=0,a⊥b台x1x1十y1y:= 0.能. 新知生成 a1=b1as=bga,=bsa1b1十a:b:十ab,=0 新知应用 1.C[向量a=(-2,1,3),b=(-1,1,1) 若a⊥(a-b),则a·(a-ab)=a'-aa·b -4+1+9)-2+1+3)-0,A-子] 2.B[图为A,B,C三点共线，则AB=1AC, 又向量AB=(1,m,-3),AC=(-3,6,9), 1=-3λ， 所以m=6航，解得1=一3m=一2.故选B] -3=9λ， 3.解：如图，以D为原点，分别以DA, D DC,DD,的方向为x轴、y轴，g轴 的正方向建立空间直角坐标系，设 正方体的棱长为1，刷A(1,0,0),E (00,）B11.0,B111 D1(0,0,1),D(0,0.0), 由题意，可设点P的坐标为(a,a,l), 周为3B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a,解得a=4 3 所以点P的垒标为（停，是，） 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0), 周为PQ⊥AE,所以PQ·AE=0, 所以(b-6-是-)小(1o）-0, 即-6+3-1 言0，得6= 所以点Q的坐标为（仔，0）， 周为面-D0,所以(-1，-1,0)-A(行子0小， 所以子=一1，故A一4 母题变式：(1)解：以D为原点，DA,DC,DD,的方向分别为x 轴、y轴、：轴的正方向建立空问直角坐标系（图略），设正方 体的棱长为1，点Q的坐标为(c,c,0), 因为B1Q⊥EQ,所以B,Q·EQ=0, 所以c-1c-1,-…(ec,-）=0 即c(e-l)+c(c-1D+2=0, 解得=号所以点Q的金标为（合号0小， 1 所以Q是线段BD的中点，所以BD=-2D0,故A=-2. (2)解：以D为原点，DA,DC.DD,的方向分刷为x轴，y 轴，：轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），设正方体的棱 长为1， 因为G是A,D的中这，所以点G的坐标为号0，）， 因为点H在平面Dxy上，设点H的坐标为(m,t,0), 因为G成-(m-名，-》， 1 BD,=(-1,-1,1),且GH∥BD 1 m一2一2 1 所以一=号，解得m=1= 所以点H的坐标为1，子o), 所以点H为线段AB的中点. 活动三利用空间向量的坐标解决 夹角和距离问题 新知导学 问题3提示：设空间两点P(工1y11),Q(x2y,】 荆PQ=√（红1-x1)+(y-y1)+(-1了. 新知应用 1.B[因为m=(2,1,1),n=(0,2,1), 所以m·n=3,m|=6,n=√5， 所m品高要性选] 2.D[因为点A(3,2,0),B(6,1,-2),C(5,-1,1), 所以AB=(3,-1,-2),AC=(2,-3,1), 91 |AB1=年，|AC1=4, cosA店.AC=A5·A花=21 IABI IAC14 又0°<(AB,AC)<180°，则∠BAC-60°， 所以Sa版=专|A·|AC1·s血∠BAC=7 2 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S=2SAAc= 7√3.故速D.] 3.解：如图，以C为坐标原点，CA, CB,CC1所在直线分别为x轴，y 柚，：轴，建立空间直角坐标系 Cxyz. (1)依题意得B(0,1,0),N1,0,1), ∴IBN =√(1-0)+(0-1)+(1-0 =5,.BN的长为3 (2)依题意得A,(1,0,2),C(0,0,0),B:(0,1,2), A1B=(-1,1,-2),B,C-(0,-1,-2), ∴A,B·B1C=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3. 又A,B=√6，IB1C=5, A1B·B1C ∴cos(A1B,B1C)= IA,10 故AB与B,C所成角的余孩债为y 10 课堂达标 1.B[OM-AB-Oi-OA,0i-0M+OA-(9,1,1).] 2.B[若b=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2a 所以ab.] 3.D[依题意得(ka+b)·(2a-b)=0, 所以2k|a2一ka·b+2a·b-1b2=0, 而a2=2,1b1=5,a·b=-1, 所以4k十k-2一5=0， 解得长=子】 4.A[,a+2b=(1十2x,4.4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)/(2a-b), ∴3(1+2x)=4(2-x)且3(4-y)=4(-2y-2), 解得红-安y=-4.] 5.C[a十b=(-1,-2,-3)=-a,故(a十b)·c=-a·c= 7,得a·c=-7,而la=√+2+3=4，所以os(a,c》 -日治-号，周为ae)e01.所以ae-120 a.c 6.厘[设点P(xy,),则由A正-2P店， 3 得(x-1,y-2,2-1)=2(-1-x,3-y,4-2), 1 x-1=-2-2x, x=一3 即(y-2=6-2y,解得 8 x-1=8-2g, y=3' x=3, Pò=√+》+(-)+a-=厘] 110 7.号[：a店=0,3,3)，A花=(-11,0 |AB|=32,AC=2, AB.AC-0×(-1)+3×1+3×0=3, cos,A花-i,A花 1 A店1A衣2 又：Ai,AC∈[0，，Ai.AC)=于] 及4[南老如a%,所a号-生2-子》 2 9-20 把①代入②得x2十工-2=0，解得x=一2戴工-1 当x■一2时，y=一6；当x=1时，y=3. 者任=-2时，6=（-2，-4，-6=-2a, 5y=-6 向量a,b反向，不特合题意，舍去」 当时，6-（1,2,3》-a,a与6月向，所以 y=3 y=3, 此时x十y=4.] 9.解：(1)周为BC=(-2,-1,2),且c∥BC, 所以设c=BC=(-2x,-A,2x), 得1el=√/(-2x)+(-A)+(2λ)下=3a1=3, 解得1■士1.即c■(-2，一1,2)或c■(2,1，-2). (2)周为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), 所以ka十b=(k一1，k,2),ka-2b=(k十2，k,-4). 又因为(ka十b)⊥(ka-2b),所以(ka十b)·(ka一2b)=0. 即(k-1,k,2)·(k十2，k,一4)=2k8十k-10=0. 都得=2发=一多 学案8空间中点、直线和平面的向量表示 课堂活动 活动一理解空间中点、直线的向量表示 新知导学 问题1提示：在空间中，取一定点O作为基点，那么空闻中任 意一点P就可以用向量OP来表示，把向量OP称为点P的 位置向量. 问题2提示：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向童 唯一确定 新知生成 1.(1)AP-ta (2)OP-OA+ta 新知应用 A[AB=(2,4,6),而与AB共线的非零向量都可以作为克 线（的方向向量.故选A] 活动二。理解空间中平面的向量表示 新知导学 问题3提示：存在唯一的有序实数对(x,y),使得p一x +yb. 问题4提示：存在有序实数对（红x,y),使得A户-zAB+yAC 新知生成 2.OP-0A+zAB+yAC 3.{P1a·AP=0)