学案5 空间向量基本定理的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

人教A版数学选择性必修第一册 课 学案5空间向量基本定理的应用 记 昆学习任务 1.利用向量共线、共面证明平行、共面问题.（数学抽象） 2。利用向量共线、共面解决夹角、垂直、长度及距离问题.（数学运算） 课堂活动 2.如图，在平行六面体 D' ABCD-A'B'C'D'中，E 话动一证明平行、共面问题 F,G分别是A'D',DD', 词新知导学 D'C'的中点，请选择恰当 的基底证明： 问题怎样利用向量共线、向量共面解决几何中 (1)EG∥AC: 的证明平行、共线、共面问题？ (2)平面EFG∥平面AB'C. 今新知应用 1.如图，已知平行六面体 ABCD-A'B'C'D',E,F, G,H分别是棱A'D',DC, CC和AB的中点，求证： E,F,G,H四点共面 「方法总结」证明平行、共面的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直 线平行 (2)利用向量共面的充要条件证明点线共面或线 面平行. 话动二利用空间向量求夹角、证明垂直 新知应用 1.在平行六面体ABCD-A,B1C1D1中，AA1= 3,BD=4,AD,·DC-AB·BC=5,则 cos (AA,,BD)= () A是 c 4 D.一5 ■114 空间向量基本定理的应用学秦5 2.如图所示，在三棱柱ABC 3.如图，在直三棱柱ABC ABC1中，CA=CB= A,B,C1中，AC=AB= CC,CA=a,CB=b,CC AA,=√2，BC=2AE=2, 课笔记 =c,(a,b)=(a,c)= 2π 求向量AE与A,C的夹角. ,c)=子N是AB的 中点. (1)用a,b,c表示向量A,N; (2)在线段C,B1上存在一点M,且C,M= 子CB,求证：AMLA,N. 「方法总结」求夹角、证明线线垂直的方法 a·b 利用数量积定义可得cos(a,b)一ab,求出 〈a,b)的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作 为求夹角的特殊情况 活动三求线段的长度或两点间的距离 今新知应用 空间四边形O-ABC中，OA=OB=1,OC=2, ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，M,N分别为· OA,BC的中点，则MN的长为 ) A号 a号 e D.5 「方法总结」求线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示。 (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量. (3)利用|a|=√a2,通过计算求出|al,即得所求 长度 课堂小结 证明共面、平行问题 空间向量基本定 理的应用 解决夹角、垂直问题 解决长度、距离问题 1510 人教A版数学选择性必修第一册 课堂达标 5.如图，已知PA⊥平面ABC, ∠ABC=120°，PA=AB= 笔 1.在正方体ABCD-A,BC1D1中，E是上底面 BC=6,则PC等于 A,B,C1D1的中心，则AC1与CE的位置关 系是 () A.重合 B.垂直 6.已知10A=5,10B1=2,(0A,0B)=60°，0C C.平行 D.无法确定 =20A+0B,0D=0A-20B,则以0C,0D 12.已知a,b是异面直线，A∈a,B∈a,C∈b,D∈ 为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长 b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b 为 所成的角是 () 7.如图所示，在正方体ABCD A.30° B.45 C.60° D.90 -A,BC1D1中，O为AC与 3.在正方体ABCD-ABC1D,中，有下列命题： BD的交点，G为CC1的中 (AA,+AD+AB)*=31ABI'; 点，求证：A,O⊥平面GBD. D ②A,C·(A,B1-A1A)=0: ③AD1与A1B的夹角为60°； ④正方体的体积为AB·AA,·AD. 其中正确命题的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥ BD,则AD与BC所成的角为 () A.30 B.45° C.60° D.90° 课后反思 提示〉 请完成《分层作业（三）》 1116课堂达标 1.C[对于A,因为向量AB,BC, AC是共面向量，AC∥A1C:,所以 AB,BC,A1C,是共面向量，所以不 能构成基底，所以A错误： 对于B,因为AB,AB1,AA1是共 面向量，所以不能构成基底，所以B 错误： 对于C,周为AB,AC,AA这三个向量不共面，所以能构成 基底，所以C正确， 对于D,因为A1,AC,A,C,是共面向量，所以不能构成基 底，所以D错误.故选C.] 2.B[图为《OA,OB,OC)为空间的一个基底，所以非零向量 01,0B,0心不在同一平面内， 即O,A,B,C四点不共面，所以A,C,D选项说法正确， B错误.] 3.c[周为M-AN-AM=AD-(B+名BC)= 号心-A店-是C-A)-专西-号店-号C, 所以==号=故] /1=1, 4.AD[对于A,设a+b=A(a-b)+c,则1=-入，此方程 4=0, 组无解， 所以a十b,a一b,c不共面，故选项A符合题意： 对于B,设a十b-aa十4(a一b), 则公十=1解释8=2， 1=-u, =-1, 故选项B不符合题意； 对于C,a+b=一c+a十b+e,所以a+b,c,a+b+e共面， 故选项C不符合题意： 对于D,设a+b十c=da十4(a十b), 1=入+4， 则1=4，此方程组无解， 11=0, 所以a,a十b,a十b十c不共面，故选项D符合题意。 故选AD.] 5.a+ib+ie [AE-AA,+A:E-AA:+2A,D -AA+(A.C:+A,B)-AA,+1AB+1AC 6.0[以(PA,PB,PC}为一个基底， 则AM-(A店+AC)-(P店-P+F元-Pi -pi+啦+元 所以x=一1y=g=2江十y十=0.] 16 7言a+号+oi-0驴+Pi=号oi+号p0 1 =2oi+号0成-o) -i+号(6丽+) =20i+日0成+0元-0 =名0i+3o丽+0 学案5空间向量基本定理的应用 课堂活动 活动一 证明平行、共面问题 新知导学 问题1提示：平行和点共线可以转化为向量共线问题：点线共 面可以转化为向量共面问题. 新知应用 1.[证明]取ED=a,EF=b,EH=c, WHG-HB+BC+CG-D'F+2ED+7AA -EF-ED+2ED+(AH+HE+EA) 1 =b-a+2a+2(b-a-c-a） =2-7 1 所以HG与b,c共面，即HG与E正，Ei共面， 即E,F,G,H四点共面， 2.[证明]取基底AA产，AB,AD 1)周为酝-ED+D店-A币+A店， AC-AB+AD-2EG 所以EG∥AC,又EG,AC无公共点，所以EG∥AC (2图为元-F币+D元-Ad+}, AB-AB+AA-2FG. 所以FGAB,又FG,AB'无公共点，所以FG∥AB' 又FG丈平面AB'C,AB'C平面AB'C, 所以FG∥平面ABC. 又由(I)知EG∥AC,ACC平面AB'C,EG丈平面AB'C, 可得EG∥平面AB'C, 又FG∩EG=G,FG,EGC平面EFG, 所以平面EFG∥平面AB'C. 活动二利用空间向量求夹角、证明垂直 新知应用 1.B[知图，AD,.DC-AB,.BC =(AD+DD)·DC-(AB+BB)·BC -(AD+AA)·AB-(AB+AA)·AD =AD.AB+AA,·AB-AB.AD-AA:·AD =AA,AB-AA,A市 =,·AB-AD)=AM·DB=5, AA1·BD=-5, cos (AA.BD)- AA·BD AA,IBDI -5 2.解：1)A衣=AA+=AA+号A店=A,A+ 是+C=-e+7(-a+b)=-2a+0-6 (2)证明：易知AM=AC,+C,M=AA,+AC+CM, 又GM-号CB 所以A成=AM+AC+号CB=-a+子b+e, 不妨取CA=CB=CC1=1, 可得iA-(+0-)小(a+号+) +-- 1 1 6ab+zac-6b 即可得AM⊥A1N,所以AM⊥A1N. 3.解：直三棱柱ABC-A,B,C1中，A:A⊥平面ABC,ABC平面 ABC,ACC平面ABC, 则有A1A⊥AB,A,A⊥AC, 枚AA1·AB=0,AA1·AC=0, 由AC=AB=√2，BC=2,有AB十AC2=BC2, 得AB⊥AC,故AB·AC=0, 文BC=2AE=2,E为BC的中点，所以AE=1 图为AC=AA,=√2，所以A,C=2. 所以A正·AC=号+A·C- -衣1， AE.AC 所以cos(AE,A,C)= IAEIA.CI 2 又0°≤(AE,A,C)≤180°，所以AE,A,C)=60 即向量AE与A,C的夹角为60 活动三求线段的长度或两点间的距离 新知应用 c[由题意知0i,0-号，0.0心-0i.0元-1， 又M-0N-oM-2o+oc)-2oi (0B+-0), IMN(0B+0C-0A) =0丽+0心+0i+20i.0心-20i.0i-202· 成)- 尔-汽年MN的长为停」 课堂达标 1.B [AC:-AB+AD+AA:,CE-CC:+CE-AA:- 号正+A.设正方体的模长为1，于是AC·正-（应 +茄+·（瓜-店-动）=-是-名+1=0， 故ACi⊥CE,即AC,与CE垂直.] 2.C[设(AB,CD)=0,:AB.CD=(AC+CD+DB)·CD =|CD1=1, AB.CD .c080= 1 Ai1G市7.又0e[0,0=60] 3.B[如图所示，(AA1+AD+AB)2 C =(AA:+A D+D:C)=ACi= D 3AB,A,C·(A,B,-A,A)= A,C·AB,-0:AD,与A,B的夹角 是D1C与D1A夹角的补角，而D1C 与DA的夹角为60°，故AD,与 A1B的夹角为120；正方体的体积为AB11AA,11AD. 综上可知，①②正确，故选B.] 4.D[:AB⊥CD,AC⊥BD,AB.CD-0,AC.BD-0. AD·BC-(AB+BD)·(AC-AB) -AB.AC+BD.AC-AB:-AB BD =AB·AC-AB-AB·BD=AB·(AC-AB-BD) =AB·DC=0. :.AD⊥BC,从而AD⊥BC,所以AD与BC所成的角 为90°.] 5.12 PC=PA+AB+BC, .PC*=(PA+AB+BC)* =PA+AB:+BC:+2PA.AB+2PA.BC+2AB.BC =36+36+36+0+0+21AB11BC1cos60 =108+2x6x6×2-14.PC=12.] 6.199[oE=OC+0D, ÷10E1=(0元+0D)=(20A+0B+0i-20B) =(30A-0B)2=90A+Oi-60A.0B =9X25+4-6X5×2×2=19. .0E=√199.] 7.[证明]授A,B1=a,A1D,=b,A,A=c, 别a·b=0,b·c=0,a·c=0,la=lb1=|cl, :A,0=AA+A0=AA+号A店+A 7川 =e+2a+号b,B励-Ai-A店=b-, 成-元+成-i+a+d-2a+b-, A0,励=(e+a+小b-) -cb-ca+7ab-2+6-2b@ =262-a)=2b1-a19=0 于是A1O⊥BD,即A1O⊥BD 同理可证A10L0G,即A10⊥OG. 又'OG∩BD=O,OG,BDC平面GBD, A,O⊥平面GBD. 学案6空间直角坐标系 课堂活动 活动一掌握空间直角坐标系中点的坐标的求法 新知导学 问题1提示：x轴、y轴、轴两两垂直， 问题2提示：通过空间直角坐标系可以将空间点，克线，平面 数量化，将空间位置关系解析化. 新知生成 1.x轴y轴、z轴O每两条坐标轴Ory Oy:Or 2.(x,y,x)横坐标纵坐标竖坐标 新知应用 1.(1)(0,0,0),(0,1,1) a(112）3(分o） 2.解：，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， .正四棱维的高为2√23. 以正四棱锥的底面中心O为原点， 平行于BC,AB的直线分别为x 轴y轴，P0所在直线为之轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则正四枚维各顶，点的坐桥分别为 A(2,-2,0),B(2,2,0),C(-2,2,0), D(-2,-2,0),P(0,0,223). 答策不唯一， 活动二掌握空间中对称点的坐标的求法 新知应用 1.D[点A(一3,0，一4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4).] 2.C[空间中的两个点(1,2,3)和（一1,2,3），纵坐标和竖坐标 相同，横坐标互为相反数，故此两点关于Oy平面对称.门 3.(2,一3,1)[点P(2,3,一1)关于坐标平面Oxy的对称点 P,的坐标为(2,3,1)，点P:关于坐标平面Oyz的对称点P, 的坐标为（一2,3,1），点P2关于z轴的对称点P,的坐标是 (2,-3,1). 活动三掌握空间向量坐标的求法 新知导学 问题3提示：在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同 的两个单位向量分别为i,j,取{i,j》作为基底，对于平面内 的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对 18 实数xy,使得a一xi+yj,这样，平面内的任一向量a都可 由工y唯一确定，我们把有序数对（工，y)叫做向量a的坐标， 记作a=(x,y). 问题4提示：可以 新知生成 (z.yz) 新知应用 1.c[BE=B丽-A,6=-成+DD=0i-+大 =(-门 2.解：PA=AD=AB=1, 且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB, .以DA,AB,AP所在直线分别为 x袖，y轴、g柚建立空间直角坐标 系Axy,如图所示. 设DA=t,AB=j,AP=k. :M-Mi+A+P成-i+A+2P元 -MA+AP+(PA+AD+DC) =0-+k+-k-i+》=-+0时+， -(o,) 母题变式：(1)解：DC=AB=j=(0,1,0). 2解，B成--店--+， 所以丽成-（子-安》 课堂达标 1.C[当空间中两个向量的三个坐标均互为相反数时，两，点关 于原点对称.] 2.B[由于垂足在Oyz平面上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐 标为0.] 3.C[,点A的横坐标为0，点A(0,一2,3)在Oyz平 面内.门 4,D[向量AB的坐标与B点的坐标不同，由于A点的坐标 未知，故无法确定B点的坐标，] 5.D DA=i,DC=4j,DD,=3k,a=2AB+AD-3AA, =2DC-DA-3DD1=-i+8j-9k=(-1,8,-9).] 6.(2,一4,5)，(1,2，-3)[a的坐为(2，-4,5)，b的坐标为 (1,2,-3).] 7.(1,1,-1)(-1,-1,1)[点P(1,1,1)关于Ozy平面的 对称点P,的坐标为(1,1，一1)，点P关于轴的对称点P 的坐标为（一1，一1,1）.] 8.解：由题意知，点B的坐标为(1,1,0)， 由点A与点B关于工轴对称，得A(1,一1,0)， 由点C与点B关于y物对称，得C(一1,1,0)， 由点D与点C关于x轴对称，得D(一1，一1,0)， 又P(0,0,2),E为AP的中点，F为PB的中点， 所以南中点垒标公式可得E(行一子)，F(合，子小