学案3 空间向量的数量积运算-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

人教A版数学选择性必修第一册 听 学案3空间向量的数量积运算 笔 记 昆学习任务 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.（数学抽象） 2.掌握向量的数量积的概念、性质和运算律.（数学抽象、数学运算） 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.（数学运算） 课堂活动 4.数量积的运算律 (1)(aa)·b=A(a·b),a∈R; 活动一掌握空间向量的数量积运算 (2)a·b=b·a: 调新知导学 (3)(a+b)·c=a·c+b·c 5.向量的投影 阅读教材第6,7页，完成下列问题。 (1)在空间，向量a向向量b投影： 问题1 在正△ABC中，平面向量BA与BC 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用 AB与BC的夹角的大小分别为多少？ 平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量 c,c= ,向量c称为向量a在 向量b上的投影向量. (2)向量a向直线1投影，如图(2) 问题2平面向量的数量积a·b是如何定义的？ 回新知生成 1.空间向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一 3 定义 点O,作OA=a,OB=b,则 叫做向量a,b的夹角，记作《a,b) (3)向量a向平面3投影，如图(3)，分别由向量 a的起点A和终点B作平面B的垂线，垂足分 范围 0〈a,b》≤π 别为A',B,得到向量AB',向量AB称为向 如果〈a,b》= 2,那么向量a,b互相垂 量a在平面B上的投影向量. 向量垂直 直，记作ab 可新知应用 2.数量积的定义 1.已知空间向量a,b满足a|=4,b|=8,a与b 已知两个非零向量a,b,则|a|b|cos〈a,b)叫 的夹角为150°，求下列各式的值. 做a,b的数量积，记作a·b,即a·b= (1)a·b:(2)(a+2b)·(2a-3b). 3.数量积的性质 (1)零向量与任意向量的数量积为 (2)a⊥b台a·b= (3)a·a=|al|alcos(a,a）=la|2. 18 空间向量的数量积运算学秦3 2.如图，已知正方体ABCD B 2.在空间四边形OABC中，连接AC,OB,OA= 听 AB1C1D1的棱长为1， 8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°，课 AC1∩B1D1=O ∠OAB=60°，求向量OA与BC所成角的余 记 求OA·OB, 弦值. 「方法总结」(1)利用向量的数量积求两点间的 「方法总结」求两向量数量积的解题思路 距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路 (1)求出两向量的模 是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为： (2)根据向量的方向求出两向量的夹角。 几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量 (3)使用公式a·b=a|b|cos(a,b)得结果. 两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|= 活动二”掌握利用数量积求夹角和距离的方法 √a·a求解即可. 阄新知导学 (2)求两个空间向量a,b夹角的方法类同平面内 阅读教材第7页，完成下列问题 两向量夹角的求法，利用公式cos〈a,b)= 问题3在空间向量中，如何求两个向量的夹角？ a6,在具体的九何体中求两向量的夹角时， a·b 可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的 起点重合，转化为求平面中两直线的夹角的大小 问题4在空间向量中如何求向量的模？ 间题. 活动三”利用空间向量的数量积解决垂直问题： 词新知导学 阅读教材第8页，完成下列问题 问题5在平面向量中如何判定两个向量垂直？： 新知生成 在空间中，是否也适用？ 1.a·a=|a|2或a|=√a·a=√a 2.若a,b为非零向量，则cos(a,b》=ab a·b 今新知应用 1.正三棱柱ABC-A,B,C1的各棱长都为2，E,F 分别是AB,A,C1的中点，则EF的长是 新知生成 ( 空间向量垂直的充要条件：若a,b为非零向量， A.2B.5C.5 D.7 则a⊥b台a·b=0. 910 人教A版数学选择性必修第一册 听 今新知应用 3.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面 课 ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各 1.已知a|=3√2，|b|=4,m=a十b,n=a十ab, 组向量中，数量积为零的是 () 记 (a,b》=135°，且m⊥n,则实数入等于 A.P元与BD B.DA与PB 2.如图所示，已知平行六面体 ABCD-A1B,C:D1的底面 C.PD与AB D.PA与CD ABCD是菱形，且∠C,CB 4.空间向量a,b之间的夹角为30°，且|a=3,|b =∠C1CD=∠BCD= =4,则a·b= a2= ,b2= 60°.求证：CC1⊥BD. ,(a+2b)·(a-b)= 5.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位 向量，则|a-b+2c|= 6.如图，在正方体ABCD- A1BC1D1中，E,F分别是 A CD1,DD的中点. 求证：BD⊥EF 「方法总结」由数量积的性质a⊥b台a·b=0 可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行 的向量(a,b是非零向量)，只要证明这两个向量 的数量积为0即可. 课堂小结 7.平行四边形ABCD中，AB=2AC=2且 运算性质 ∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB 求距离 定义 与CD成60°角，求B,D间的距离. 空间向量的数量积运算 求夹角 应用 运算律 解决垂直问题 课堂达标 1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2,1b1 =5,则(2a-b)·a等于 () A.12 B.8+13C.4 D.13 2.已知e1,e2为单位向量，且e1⊥e2,若a=2e1+ 、 3e2,b=ke1一4e2,a⊥b,则实数k的值为 ( A.-6 B.6 C.3 D.-3 课后反思 提示请完成《分层作业（二）》 1110null