学案2 共线向量与共面向量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

null共线向量与共面向量 学秦2 学案2共线向量与共面向量 听 昆学习任务 记 1.理解向量共线、向量共面的定义，（数学抽象） 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面，（数学运算、逻 辑推理) 课堂活动 「方法总结」向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线，就是寻找 话动一，掌握空间向量共线的充要条件及应用 实数入，使4=入b成立，为此常结合题目图形，运 阄新知号学 用空间向量的线性运算将目标向量化简或用同一 组向量表示， 阅读教材第4页，完成下列问题。 (2)判断或证明空间中的三点（如P,A,B)共线 问题1平面向量共线的充要条件是什么？它适 用于空间向量吗？ 的方法：是否存在实数入，使PA=入PB: 活动二掌握空间向量共面的充要条件及应用 新知生成 阄新知导学 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向 阅读教材第4,5页，完成下列问题， 量a,b(b≠0)，a仍的充要条件是存在实数入， 问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间· 使 任意三个向量是否共面？ 2.直线的方向向量 (1)如图，O是直线1上一 点，在直线1上取非零向量 a,则对于直线l上任意一点可 问题3对两个不共线的空间向量a,b,如果p= P,存在实数1，使得OP=a,把与向量a平行 xa十yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关 的非零向量称为直线！的 系？反过来，向量p与向量a,b有什么位置关 (2)直线可以由其上一点和它的方向向量表示 系时，p=xa十yb? 今新知应用 L,已知e1,e2e,为空间三个不共面的向量，向量 a=e1十ue2十4eg,b=3e1十9e2十入eg,若a与b 共线，则入十4= 新知生成 A.-3B.3 C.-15 D.15 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 2.如图，四边形ABCD和 ABEF都是平行四边形，M, OA所在的直线OA N分别是AC,BF的中点， 或 ,那么称向量a平行于平面a. 2.共面向量 则CE与MN是否共线？ 定义 平行于同一个 的向量 三个向量共 向量p与不共线向量a,b共面的 面的充要 充要条件是存在 的有序 条件 实数对(x,y),使p=xa十yb 51 人教A版数学选择性必修第一册 听 新知应用 新知生成 笔 1.对于空间的任意三个向量a,b,2a一b,它们一 若存在有序实数组(x,y,x)使得对于空间任一 记 定是 点O,有OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z A.共面向量 =1成立，则P,A,B,C四点共面 B.共线向量 C.不共面向量 今新知应用 D.既不共线也不共面的向量 1.(多选)下列条件中，使M与A,B,C一定共面 2.如图，在四棱锥P-ABCD 的是 () 中，底面ABCD是平行四 A.OM=30A-OB-OC 边形，E,F分别为PA, D BD中点.求证：向量EF, aoi-号oi+号oi+0d BC,BP共面. C.MA+MB+MC=0 D.OM+OA+OB+OC=0 2.在四面体O-ABC中，空间中的一点M满足 OM-TOA+OB+AC.MA.MB.MC 共面，则入= 3.已知P为空间中任意一点，A,B,C,D四点满足 任意三点均不共线，相四点共面，且团-P币十 P心+PD,则实数x的值为 「方法总结」向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面（或四点共面）时，可以通过 :「方法总结」证明空间三个向量共面的方法（向 以下几个条件进行证明。 量法) ①MP=xMA+yMB: 设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线 向量的线性组合，即若p=xa十yb,则向量p,a, ②对于空间任意-点O,OP=OM+xMA+ 1b共面. yMB; 活动三空间向量共面的充要条件的变形应用 ③对于空间任意一点O,OP=xOM+yOA+ @新知导学 zOB(x+y十x=1): 阅读教材第5页，完成下列问题. ④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM). 问题4对于不共线的三点A,B,C和平面ABC (2)若已知点P在平面ABC内，则有AP=xAB 外的一点O,空间一点P满足关系式OP= +yACOP=x0A+yOB+zOC(x+y+= xOA十yOB+OC,则点P在平面ABC内的 1),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系 充要条件是什么？ 数法求出参数。 课堂小结 平面向量共线 空间向量共线 的充要条件 的充要条件 应用 共面向量 向量共而的 向量共面充要 的定义 充要条件 条件的变形 II6 共线向量与共面向量学秦2 课堂达标 7.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD 听 的中点，则EF和AD+BC的关系是 1.当|a|=|b|≠0，且a,b不共线时，a+b与 (填“平行”“相等”或“相反”). 笔 a一b的关系是 ( A.共面 B.不共面 8.有下列命题： C.共线 D.无法确定 ①若ABCD,则A,B,C,D四点共线： 2.下列命题正确的是 ( ②若AB∥AC,则A,B,C三点共线； A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 ③若e1,ez为不共线的非零向量，a=4e1 B.向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 5eb=-e1+10e,则a/h: D.若ab,则存在唯一的实数入使得a=Ab ④若向量e1,ez,e,是三个不共面的向量，且满 3.下列命题正确的是 ( 足等式k1e1十k2e2十ke,=0,则k1=k2=ka A.若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB十 =0. CD+BC+DA=0 其中是真命题的序号是 B.若表示向量a,b的有向线段所在的直线为 9.设e1,e2是空间中两个不共线的非零向量，已 异面直线，则向量a,b一定不共面 AB=2e:+ke:,BC=e +3e:,DC=2e- C.若a,b共线，则表示向量a与b的有向线段 e2,且A,B,D三点共线，则实数k的 所在直线平行 值为 D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B, 10.在长方体ABCD-A,B,C1D1中，M为DD1 C,若OP=xOA+yOB+OC(其中xy,z 的中点，点N在AC上，且AN：NC=2:1, ∈R),则P,A,B,C四点共面 求证：A1N与A1B,A1M共面. 4.已知i,j,k是三个不共面的向量，AB=i一2j +2k,AC=3i-j-k,AD=i+2j-6k, A,B,C,D四点共面，则实数入的值为() A.1 B.2C.3 D.4 5.已知向量a,b,c不共面，则使向量m=2a一b, n=b十c,p=xa十5b十3c共面的实数x的 值是 () A.-4B.-3C.-2 D.4 6.(多选)已知空间向量a,b,c不共面，则下列各 选项中的三个向量共面的有 ( ) A.a-b,b-c,c-a B.a+b,b+c,c+a C.a+b,a+c,b-c D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b 课后反思 提示 请完成《分层作业（一）》 71