13.2.2三角形的中线、角平分线、高 课件-2025-2026学年人教版2024数学八年级上册

幻灯片 1：封面 标题：13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 副标题：探索三角形中的特殊线段 背景图：展示一个标注了中线、角平分线和高的三角形示意图，背景融入几何网格元素，凸显数学严谨性与逻辑性。 幻灯片 2：目录 三角形的中线 —— 连接顶点与中点的线段 三角形的角平分线 —— 平分内角的线段 三角形的高 —— 从顶点到对边的垂线 三种线段的区别与联系 幻灯片 3：三角形的中线 —— 定义与表示 图片：展示△ABC，用红线标注从顶点 A 到 BC 边中点 D 的线段 AD，标注 “D 是 BC 中点”“AD 是△ABC 的中线”。 文字阐述：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。在△ABC 中，若 D 是 BC 边的中点（即 BD=DC），则线段 AD 是△ABC 的中线。一个三角形有 3 条中线，分别从三个顶点出发连接对边中点。 幻灯片 4：三角形中线的画法与性质 图片：左侧演示中线画法步骤（先找对边中点，再连接顶点与中点），右侧展示一个三角形的三条中线交于一点（重心），标注重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍。 文字：画中线时需先确定对边中点，再连接顶点与中点；三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心；重心具有 “重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍” 的性质；中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 幻灯片 5：三角形的角平分线 —— 定义与表示 图片：展示△ABC，用红线标注从顶点 A 出发平分∠BAC 的线段 AD，交 BC 于点 D，标注 “∠BAD=∠CAD”“AD 是△ABC 的角平分线”。 文字阐述：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。在△ABC 中，若 AD 平分∠BAC 且交 BC 于 D，则∠BAD=∠CAD，线段 AD 是△ABC 的角平分线。一个三角形有 3 条角平分线。 幻灯片 6：三角形角平分线的画法与性质 图片：左侧演示角平分线画法（用圆规和直尺作内角平分线交对边于一点），右侧展示一个三角形的三条角平分线交于一点（内心），标注内心到三角形三边距离相等。 文字：画角平分线可借助作图工具，按角平分线作图步骤完成；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心；内心到三角形三条边的距离相等；角平分线将原内角分成两个相等的角。 幻灯片 7：三角形的高 —— 定义与表示 图片：展示锐角△ABC，用红线标注从顶点 A 向对边 BC 作垂线，垂足为 D，标注 “AD⊥BC”“AD 是△ABC 的高”。 文字阐述：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。在△ABC 中，若 AD⊥BC 于 D，则线段 AD 是△ABC 的高。一个三角形有 3 条高，高的垂足可能在对边上或对边的延长线上。 幻灯片 8：不同类型三角形高的位置 图片：分三部分展示高的位置，锐角三角形三条高都在三角形内部，直角三角形两条高与直角边重合、一条高在内部，钝角三角形两条高在三角形外部、一条高在内部，分别标注垂足位置。 文字：锐角三角形的三条高均在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部；钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高在三角形外部，另一条高在三角形内部；三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。 幻灯片 9：三角形高的画法步骤 图片：分步演示高的画法，以锐角三角形为例：①将直角三角板的一条直角边与已知边 BC 重合；②移动三角板使另一条直角边过顶点 A；③沿直角边画线段 AD，垂足为 D，AD 即为高。 文字：画高的关键是 “过顶点作对边的垂线”：①确定顶点和对应的对边；②用直角三角板或量角器作垂线，确保垂线与对边（或延长线）垂直；③标记垂足，连接顶点与垂足的线段即为高。 幻灯片 10：三种线段的定义对比 图片：用表格形式对比中线、角平分线、高的定义，左侧列定义要素（连接对象、核心特征），右侧列三种线段的具体描述，突出定义差异。 文字：| 线段类型 | 连接对象 | 核心特征 | |----------|----------|----------| | 中线 | 顶点与对边中点 | 对边被分成相等的两部分 | | 角平分线 | 顶点与对边交点 | 平分原三角形的内角 | | 高 | 顶点与对边垂足 | 与对边所在直线垂直 | 幻灯片 11：三种线段的性质对比 图片：用图标标注三种线段的交点名称（重心、内心、垂心）及特殊性质，如中线分面积相等、角平分线到边距离相等、高与对边垂直等。 文字：中线的交点是重心，能分三角形为等面积两部分；角平分线的交点是内心，到三边距离相等；高的交点是垂心，与对边始终保持垂直关系；三种线段都是线段（而非直线或射线），且一个三角形都有 3 条。 幻灯片 12：三种线段的相同点 图片：展示一个三角形中同时存在中线、角平分线、高的示意图，标注它们的共同特征（从顶点出发、交于一点、数量为 3 条）。 文字：三种线段的相同点：①都从三角形的顶点出发；②都与对边（或对边延长线）相交；③一个三角形中都有且仅有 3 条；④三条线段所在直线均交于一点（分别为重心、内心、垂心）；⑤都是三角形中的重要线段，对研究三角形性质有重要意义。 幻灯片 13：判断线段类型的方法 图片：展示几个不同线段的三角形实例，如标注中点的线段（中线）、标注角相等的线段（角平分线）、标注垂直符号的线段（高），引导学生根据特征判断类型。 文字：判断线段类型可依据核心特征：①若线段连接顶点与对边中点，且对边被平分，则是中线；②若线段将内角分成两个相等的角，则是角平分线；③若线段与对边垂直（有垂直符号或 90° 角），则是高。 幻灯片 14：课堂小结 文字总结：本节课学习了三角形的三种重要线段，中线是连接顶点与对边中点的线段，角平分线是平分内角交对边的线段，高是过顶点垂直对边的线段。它们各有定义、画法和性质，既有区别又有相同点，是研究三角形的基础工具。 核心观点：理解中线、角平分线、高的概念与性质，能帮助我们深入认识三角形的结构特征，为后续学习三角形全等、相似等知识奠定基础。 幻灯片 15：互动练习 活动设计：开展 “线段作图与识别” 活动，给学生提供三角形图形，让他们分别画出三条中线、角平分线、高，并标注交点名称，同桌互相检查正确性。 判断题：设置关于三种线段性质的判断题，如 “三角形的中线一定在三角形内部（ ）”“角平分线到三个顶点距离相等（ ）” 等，巩固所学知识。 幻灯片 16：结束页 寄语：愿每一位同学都能清晰区分三角形的中线、角平分线和高，掌握它们的画法与性质，在探索三角形的几何世界中收获知识与乐趣！ 拓展任务：回家后在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中分别画出三条高，观察高的位置差异，记录你的发现。 2024人教版数学八年级上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 第十三章 三角形 理解三角形的中线、角平分线、高等概念，了解三角形的重心的概念. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. 会画出任意三角形的中线、角平分线、高. 学习目标 连一连. 线段中点 角平分线 垂线 a = b a b 1 2 ∠1 = ∠2 它们在三角形中是什么样的？ 情景导入 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 在三角形中，连接一个 与它 的 线段， 叫做这个三角形的中线. 顶点 对边中点 如图，在△ABC 中，E是BC的中点 则 是BC边上的中线， 此时：___________. B C A E AE BE=CE 如图，在△ABC 中，AE是BC边上的中线 则E是BC的 ，此时：___________. 中点 BE=CE 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线. 如图，画出三角形的中线. 3 3 这三条中线之间有怎样的位置关系? 锐角三角形的三条中线是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条中线交于同一点. 锐角三角形的三条中线都在三角形的内部. 思考 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 对于任意三角形，是否也满足“三条中线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线， 并观察三条中线是否相交于一点. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 三角形的三条中线 ，且 相交于一点 该交点位于三角形内部 三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 . 重心 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高． 试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 通过以上问题你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 1. 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 2. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 3.三角形重心的性质 A C D B G 探究新知 【探究2】什么是三角形的角平分线？ A B C D 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 探究新知 一个三角形有几条角平分线？画一个三角形，用量角器和直尺画出它的所有的角平分线. 锐角三角形 直角三角形 任何三角形都有三条角平分线 并且三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 钝角三角形 达标练2　三角形的角平分线 3. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折 痕AD. 若∠BAC＝80°，则∠BAD的度数是 ⁠. 40°　 1 2 3 4 5 6 4. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中与 ∠BED相等的角有 ⁠. ∠CBE，∠DBE　 1 2 3 4 5 6 1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G A 随堂检测 2.如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ． 9° 随堂检测 3.如图，在△ABC中，AD是∠BAE 的平分线，AF是∠EAC的平分线，若∠BAC的度数为88∘，则∠1+∠2的度数为____. 44∘ 分析：是 的平分线，是 的平分线， , . 随堂检测 1.如图，BD是△ABC的中线，G是BD 的中点，连接AG，若△ABC 的面积为40，则图中阴影部分的面积是( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 A 分析：由是的中线可得 ， 再由是的中点可得 . 拓展提升 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，且AD=4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 分析：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 解：此时由△ABC的面积公式可知， AD·BC=BP·AC. 代入数值，可解得BP=. P 拓展提升 三角形的中线、角平分线、高 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 归纳： 三角形中的几种重要线段 高 中线 角平 分线 重心 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：如图△ABC． 求作：①AC边上的高BD； ②△ABC的角平分线CE． 例１ D 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：如图△ABC． 求作：①AC边上的高BD； ②△ABC的角平分线CE． 例１ 解：①以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D，BD就是所求的AC边上的高; ②以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB 于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距 离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，做过点C 和这点的射线交AB于点E，CE即为所求的角平分线． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ）． 例２ C A. B. C. D. A D C B A D C B A D C B A D C B 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 某校准备在如图所示的三角形空地ABC上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段AD来划分，那么AD是ABC的(　　) A.角平分线 B.中线 C.高线 D.以上都不是 例３ Ｂ 第1题图 1. 如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线， 若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ ⁠°. 36　 2. [作图易错]如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段 CD （　C　） A. 是 AC 边上的高 B. 是 BC 边上的高 C. 是 AB 边上的高 D. 不是△ ABC 的高 第2题图 C 3. 在△ABC 中，AB = 18，BC = 16，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 41，那么△BCD 的周长 是（ ） A. 39 B. 41 C. 43 D. 无法确定 A 4.[规范作答]如图，已知△ABC. (1) CD 是△ABC 的高， 则∠ADC＝ ＝90°， ∠BDC S△ABC＝ ； (2) CE 是△ABC 的中线，则AE＝ ＝ ， S△BCE＝S△BCE＝ S△ABC； BE AB （3）CF 是△ABC 的角平分线， 则∠ACF＝∠ ＝ ∠ . BCF ACB 5. 如图，已知 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线. （1）[作图通关] 作出△ ABD 的边 BD 上的高； 解：（1）如图， AE 即为所求. （2）若△ ABC 的面积为10， 则△ ADC 的面积为 ⁠；1）如图， AE 即为 5　 （3）若△ ABD 的面积为6，且 BD 边上的高为3，求 BC 的长. 解：（3）∵ AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线， △ ABD 的面积为6， ∴△ ABC 的面积为12. ∴ BC · AE ＝12. 由题可知 AE ＝3，∴ BC ＝8. $$