13.2.2三角形的中线、角平分线、高课件2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 【R·数学八年级上册】 学习目标 理解三角形的中线、角平分线、高等概念，了解三角形的重心的概念. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. 会画出任意三角形的中线、角平分线、高. 复习导入 连一连. 线段中点 角平分线 垂线 a = b a b 1 2 ∠1 = ∠2 它们在三角形中是什么样的？ 复习导入 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？ AB , AC , BC 如图，△ABC的三边分别为________________， 顶点A的对边是________，∠B的对边___________. BC AC 导引 5 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点 的线段,叫作这个三角形的中线. A B C D 符号语言： ∵AD是△ ABC的 中线 ∴BD =CD = BC 1 2 ※ 拓展：三角形的中线把它分成面积相等的两个三角形 1.三角形的中线: 请画出下列三角形的所有中线，仔细观察，你能得出有什么论？ A B C A B C A B C (1) (2) (3) D D D E F E F E F G G G ● ● ● 归纳： 1 、任意三角形的三条中线都在三角形的内部，并且交于一点. 2、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 例1 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 BD = ____，AE = ____， AB = 2____； A B C D F E CD AC AF 1. 如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 4，AC = 3. 若 △ACD 的周长为 8，则 △ABD 的周长为_____. 9 C△ABD = AB+AD+BD = 4 + 5 = 9 AD + CD = 5 C△ACD =AD+AC+CD = 8 AD 是 △ABC 的中线 CD = BD 分析： 三角形的角平分线 做一做 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. ∠1＝∠2，AD 平分∠BAC . 问题1：如图，AD 是折痕，则∠1 和∠2 之间有什么数量关系？ A B C 1 2 D 问题2：类比三角形中线，三角形的角平分线是什么？ 如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D. B C F 几何语言： 你能画出几条角平分线？ D E 三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线 ∵ ∠1=∠2 = ∠BAC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线. 1 2 提示：可以折一折或用量角器 A 角的平分线是一条______， 三角形的角平分线是一条_______. 射线 线段 1 2 A O C A B C P 1 2 注意区分 再画出直角三角形和钝角三角形的角平分线，你发现了什么？ A B C A B C F D E F D E A B C F D E 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点(三角形的内心) 1.三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高线，简称三角形的高。如图，线段AD就是BC边上的高 探究与应用 【探究3】三角形的高线定义及性质 ∵AD是△ABC的BC边上的高; ∴AD⊥BC于点D; ∴∠ADB=∠ADC=90° 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. 思考：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察所作的图形，看看你有什么发现? 探究与应用 【探究3】三角形的高线定义及性质 锐角三角形 D E F O A B C (1) 这三条高之间有怎样的位置关系？ (2) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 探究与应用                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    钝角三角形 A B C D E F O (2)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (3)它们所在的直线交于一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点。 (1)AC边上的高是？ AB边上的高是？ BC边上的高是？ BF CE AD 【探究3】三角形的高线定义及性质 探究与应用 【探究3】三角形的高线定义及性质 直角三角形 A B C D 直角边BC边上的高是 ; 直角边AC边上的高是 ; (2) AB边上的高是 ; (1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高交于直角顶点。 AC BC CD 探究与应用 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【探究4】三角形的高线定义及性质 针对训练 3.如图3,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BC=8 cm,AC=4 cm.若AD=3 cm,则BE的长为　 　cm.  6 针对训练 4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论: ①BF=AF;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④S△ABE=S△BCE.上述结论中正确的有　 　.(填序号)  ②③④ 针对训练 5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠B. (1)试说明CD是△ABC的高; (2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长. 解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠BCD=90°. 又∵∠1=∠B,∴∠B+∠BCD=90°, ∴∠BDC=90°,即CD⊥AB, ∴CD是△ABC的高. (2)∵∠ACB=∠BDC=90°,∴S△ABC=AC·BC=AB·CD, ∴CD===. 例1：下列图形中，AD是△ABC的高的是（ ） D 例题讲解 例2：如图，在钝角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，下列说法中，正确的是(　　) A．线段CD是△ABC的AC边上的高 B．线段CD是△ABC的AB边上的高 C．线段AD是△ABC的BC边上的高 D．线段AD是△ABC的AC边上的高 B 例题讲解 例 3：下列说法错误的是（ ） A.三角形的三条角平分线交于一点 B.直角三角形的三条高的交点在直角顶点 C.三角形的三条高的交点在三角形内 D.三角形的三条中线交于三角形内一点 C 例题讲解 例4：如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5 cm， CE＝6 cm，则△ABC的面积为________．   例5：如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是(　　) 30 cm2 D 例题讲解 例6：如图，△ABC中，AB=10 ， AC=8，D是BC的中点，连接 AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ） A.16 B.18 C.20 D.22 D 例题讲解 1.如图，△ABC的BC边上的高是(　B　) A. BE B. AF C. CD D. CF B 2. 如图，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线，CF是中线.下列说法不正确的是(　A　) A. ∠ACF＝∠BCF B. ∠ABD＝∠CBD C. ∠AEC＝∠AEB D. AF＝BF A 4.如图，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，∠2=50°，∠ABC=50°，∠ACB=30°，则∠1=______, ∠3=_______, ∠4=_______. 50° 25° 15° A C B F E D 1 2 3 4 分析：根据三角形角平分线的性质可得：∠1=∠2， ∠ABC=2∠3，∠ACB=2∠4. 3.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC= . 12cm2 5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A C D E 6. 如图，AD是△ABC的中线. (1)已知AB＝7，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长差为 ⁠； 2　 (2)已知AE⊥BC，垂足为E. 若BC＝10，AE＝6，求△ABD的面积. 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝ BC＝ ×10＝5， ∴S△ABD＝ BD·AE＝ ×5×6＝15. A．BC＝2CD　　　B．∠BAE＝∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE $$