10.2 实数 导学案 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

10.2 实数 素养目标 1.了解实数的意义,能对实数按要求分类. 2.了解实数与数轴上的点一一对应关系. 3.能用数轴上的点表示无理数. 4.会计算和比较两个实数的大小. 重点 理解无理数的概念,认识实数与数轴之间的关系. 【自主预习】 预学思考 1.什么叫有理数?有理数如何分类? 2.把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? -,,,,. 3.用计算器求的结果.(精确到0.001) 自学检测 1.四个数-5,-0.1,,中,无理数是 ( ) A.-5　　　　B.-0.1　　　　C.　　　　D. 2.若将整数看作小数点后面是0的小数,则对实数进行下面的四种分类中,不正确的是 ( ) A.实数 B.实数 C.实数 D.实数 【合作探究】 知识生成 知识点一 无理数的概念 阅读课本本课时“试一试”之前的内容,思考下列问题. (1)分数都可以表示为 , 都可以写成分数形式.由于整数可以看成分母是1的分数,因此,有理数都可以用分数形式表示. 不能表示成分数的形式,因此不是有理数.  (2)小数可分为 和无限小数,无限小数又可分为 和无限不循环小数.  归纳总结 常见的无理数: ①开方开不尽数,如:,,…. ②圆周率π,如:2π,-3π,…. ③特殊规律的小数,如:0.101 001 000 100 001…(每两个1之间依次多1个0). 对点训练 下列各数中,是无理数的是 ( ) A.3　　　B.3.14　　　　C.　　　　D. 知识点二 实数的分类 阅读课本本课时第一个“概括”的内容,思考下列问题. 对于实数,我们可按定义分类或大小(正负)分类: 实数 实数 对点训练 1.把下列各数分别填入相应的集合里: ,,-3.141 59,,,-,-,0.121 121 112…,-0.020 202…,1.414,-. 正有理数:{ ,…}. 负有理数:{ ,…}. 正无理数:{ ,…}. 负无理数:{ ,…}. 2.将下列各数填入相应的集合内: ,-,-,0,,π,9.,-3.14,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0). ①有理数集合{　　　　　　　　　　…}; ②无理数集合{　　　　　　　　　　…}; ③负实数集合{　　　　　　　　　　…}. 知识点三 实数与数轴上的点的对应关系 阅读课本本课时“试一试”和第二个“概括”第一自然段的内容,思考下列问题. 1.我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数吗?无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢? 2.(1)如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点A,点A对应的数是 .  (2)你能说出在数轴上的大致位置吗? 归纳总结 实数与数轴上的点是一一对应的,就是说所有的 都可以用数轴上的点来表示;反之,数轴上的每一个点都表示一个 .数轴上的任一点表示的数,不是 ,就是 .  对点训练 1.在数轴上,-2对应的点为A,点B与点A的距离为,则点B表示的数为 .  2.如图,数轴上A,B两点对应的实数分别是-π,1.若线段CB=2AB,则点C表示的实数是 ( ) A.π+1 B.-2π C.-2π-1 D.-2π-2 知识点四 实数的大小比较及运算 阅读课本本课时第二个“概括”的第二自然段至“练习”前面的内容,思考下列问题. 1.比较下列各组数中两实数的大小. (1)-与-1.41;(2)π和. 2.计算:+π.(精确到0.01) 归纳总结 1.任意两个实数都可以比较大小,正实数都大于 ,负实数都小于 ,正实数 一切负实数,两个负实数绝对值大的反而 .  2.涉及无理数的计算,可根据问题的要求取 ,转化为有理数进行计算.  对点训练 1.比较大小: 4.(填“>”“<”或“=”)  2.计算:-+|-3|+. 题型精讲 题型1 无理数的概念 例1　在实数3.141 59,,4.21,1.010 010 001,π,中,无理数有 ( ) A.1个　　　　B.2个 C.3个　　　　D.4个 变式训练 1.有下列说法: (1)无理数就是开方开不尽的数; (2)无理数是无限不循环小数; (3)无理数包括正无理数、零、负无理数; (4)π是无理数. 其中正确的说法的个数是 ( ) A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 2.(数学文化)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点——“万物皆数”,即一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来这一学派中的希帕索斯发现,边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示,这令毕达哥拉斯学派感到惊恐不安,由此引发了第一次数学危机.这类“不能用整数或整数的比表示的数”指的是 ( ) A.有理数 B.无理数 C.零 D.负数 题型2 实数的大小比较 例2　比较大小:(1)3和;(2)2和14. 变式训练 比较与的大小. 题型3 实数中的运算 例3　求下列各数的相反数和绝对值: (1);(2)-;(3)-π-2. 变式训练 1.下列实数中,是无理数的是 ( ) A. B. C. D. 2.计算:(-1)2 025+|-1|=　　　　.  课堂检测 1.有下列各数:-2,0,,0.020 020 002…,π,其中无理数的个数是 ( ) A.4　　　　B.3 C.2　　　　D.1 2.如图,在数轴上点A和点B之间表示整数的点有 个,分别是 .  3.(1)完成下列填空: = ,= ,= ,=　　, -= ,= .根据上述计算结果,回答下列问题: (2)一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请用自己的语言描述出来. (3)利用你总结的规律计算: ①若x<1,则=　　　　;  ②=　　　　.  参考答案 【自主预习】 预学思考 1.整数与分数统称为有理数. 有理数 2.-=-0.6,=5.875,=0.…,=0.1…,=0.…. 发现:分数都可以化成小数或无限循环小数. 3.≈1.414. 自学检测 1.D　2.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 (1)有限小数或无限循环小数　有限小数或无限循环小数　无限不循环小数 (2)有限小数　无限循环小数 对点训练 C 知识点二 无限循环小数　无理数　正无理数　负有理数 对点训练 1.,,1.414, -3.141 59,-,-0.020 202…, ,,0.121 121 112…, -,-, 2.,-,0,,9.,-3.14, -,π,0.101 001 000 1…, -,-,-3.14, 知识点三 1.不能说数轴上所有的点都表示有理数,无理数也可以用数轴上的点来表示. 2.(1)π　(2)在1~2之间. 归纳总结 实数　实数　有理数　无理数 对点训练 1.-2-或-2+　2.C 知识点四 1.解:(1)因为-≈-1.414,而-1.414<-1.41,所以-<-1.41. (2)因为π≈3.141 592 6,≈3.142 857 1,所以π<. 2.解:+π≈2.236+3.142=5.378≈5.38. 归纳总结 1.0　0　大于　小 2.近似值 对点训练 1.< 2.解:原式=-5+3-+ =-. 题型精讲 题型1 例1　A 变式训练 1.B　2.B 题型2 例2 解:(1)∵=3,9<10,∴<,即3<. (2)∵>,∴>7,∴2>2×7,即2>14. 变式训练 解:因为()2=5,32=9,所以<3,6->3,所以>. 题型3 例3 解:(1)因为是正数,所以的相反数为-()=-,||=. (2)因为-=-4是负数,所以-的相反数为-(-)==4,|-|=-(-)==4. (3)因为-π-2=-(π+2)是负数,所以-π-2的相反数为-(-π-2)=π+2,|-π-2|=-(-π-2)=π+2. 变式训练 1.C　2.-2 课堂检测 1.C　2.4　-1,0,1,2 3.解:(1)3　0.5　6　　-　0 (2)不一定等于a,=,即a2的算术平方根等于a的绝对值. (3)①1-x;②π-3.14. 学科网（北京）股份有限公司 $$