10.2 实数-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

18 方根是±4,算术平方根是4. 典例2 (1) 49=7.(2) 1625= 4 5. (3)- 0.04= -0.2.(4) (-10)2=10. 典例3 ∵2a-1的平方根为±3,∴2a-1=9,解得a= 5.∵3a+b-1的算术平方根为4,∴3a+b-1=16. ∴ b=2. 预学训练 1.C 2.D 3.D 4.D 5.A 6.10 7.2 8.(1)36 (2)8 (3)±2.5 9.(1)3 (2)± 6 10.4或7 11.由题意,得 x-1≥0, 1-x≥0, 解得x=1.∴y=5.当x=1, y=5时,4x+y=4×1+5=9.∴4x+y 的算术平方根 为3. 12.C 13.81 解析:∵9的平方根为±3,∴ a=9.∴a=81. 14.(1)∵ 一个正数的两个平方根为3a-7和a+3, ∴3a-7+a+3=0,解得a=1.∴a+3=4.∴这个正数 为42=16.(2)将a=1代入方程ax2-4=0,得x2-4= 0,∴x2=4.∴x=±2. 第2课时　立 方 根 知识梳理 1.3a 2.正数 负数 0 3.立方根 典例演练 典例1 (1)∵0.63=0.216,∴0.216的立方根是0.6. (2) 729=27.∵33=27,∴ 729的立方根是3. (3)-21027=- 64 27.∵ - 4 3 3 =-6427 ,∴ -21027 的立方 根是-43. 典例2 (1)3-125=-5.(2)- 3(-4)3=4. (3)(33)3=3. 典例3 设正方体容器的棱长为xcm.根据题意,得x3= 9×8×3,即x3=216,解得x=6.∴正方体容器的棱长为 6cm. 预学训练 1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.(1)7 (2)-32 7.2 8.4 9.±1 10.-2 解析:∵|a+3|+(b+5)2=0,|a+3|≥0,(b+ 5)2≥0,∴a+3=0,b+5=0,解得a=-3,b=-5. ∴a+b=-8.∴a+b的立方根是 3-8=-2. 11.∵4a-3的平方根为±3,∴4a-3=9.∴a=3. ∵a+3b-2的算术平方根为4,∴a+3b-2=16.∴3+ 3b-2=16.∴b=5.∴a+b=3+5=8.∴a+b的立方 根是2. 12.D 13.设 较 小 卫 星 的 直 径 为 d km.由 题 意,得 4 3π× d 2 3 4 3π× 27 2 3= 125 729 ,解得d=15.∴ 较小卫星的直径为 15km. 10.2 实 数 知识梳理 1.不循环 2.无理数 3.一一对应 4.(1)-a (2)1a 5. (1)大 (2)近似值 典例演练 典例1 (1)+3、-9、-4.2、0、27 、- 4、-312 、120%、 0.26 (2)2、π-4、-0.21201200120001… (3)+3、 2、27 、120%、0.26 (4)-9、π-4、-4.2、- 4、 -312 、-0.21201200120001… 典例2 B 解析:- 2是负数,在原点的左侧,不符合题 意;4<6< 9,即2< 6<3,符合题意; 14> 9,即 14>3,在墨迹覆盖处的右边,且位置靠近4,不符合题 意;17> 16,即 17>4,在墨迹覆盖处的右边,不符 合题意.综上所述,被墨迹覆盖的数是6. 典例3 (1)原式=1+(-2)+43=1-2+ 4 3= 1 3. (2)原式=63-32- 2+23=83-42.(3)原 式=3-1+4-3=3. 典例4 (1)-2.(2)实数.(3)如图,点D 即为所求作. 典例4图 预学训练 1.D 2.C 有关“无理数”概念的错误认识 无理数是指无限不循环小数,不能错误地认为无 限小数就是无理数,不能从书写形式上认为含有根号 的数就是无理数,如 364是有理数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 3.C 4.A 5.D 6.A 7.2 8.③ 9.> 10.答 案不唯一,如2 11.9 12.3 解析:∵9<11<16,∴3< 11<4.∵k≤ 11, ∴最大整数k是3. 13.(1)∵ 3≈1.732,2≈1.414,∴ 3+ 2≈1.732+ 1.414=3.146≈3.15.(2)∵ 5≈2.24,π≈3.14,∴ 52+ 2.34-π≈1.12+2.34-3.14=0.32≈0.3.(3) 81÷ 3-27- (-5)2 =9÷(-3)-5=-3-5=-8. (4)|-3|+(-1)2-9+38=3+1-3+2=3. 14.D 解析:∵9<10<16,∴3< 10<4.∴ 10的整 数部分为3,小数部分为 10-3.∴a=3,b= 10- 3.∴-b=3- 10.∴数轴上表示实数a、-b的两点之 间的距离为3-(3- 10)=3-3+ 10= 10. 15.(1)无理数;-π.(2)①3.②点A 所表示的数是4π. 第11章　整式的乘除 11.1 幂的运算 第1课时　同底数幂的乘法 知识梳理 不变 相加 am+n 典例演练 典例1 (1)原式= 13 2+2 = 13 4 =181. (2)原式= x4·x3=x4+3=x7.(3)原式=8m+m+1=82m+1.(4)原 式=(a+b)1+2+4=(a+b)7.(5)原式=23×218= 23+18=221. 典例2 (1)原式=x8+7+x2+4+9=x15+x15=2x15. (2)原式=x4·(-x5)+x4·x5=-x9+x9=0. 典例3 (1)10;10.(2)128.(3)∵x2a+b·x3a-b·xa= x12,∴x6a=x12.∴6a=12.∴a=2.∴-a100+2101= -2100+2101=-2100+2×2100=2100. 预学训练 1.D 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.D 8.(1)106 (2)x3n+1 (3)x7 9.8 解析:∵am+n=am·an=64,an=8,∴am=64÷ an=64÷8=8. 10.2024 解析:∵x·xa·xb·xc=x1+a+b+c=x2025, ∴1+a+b+c=2025.∴a+b+c=2024. 11.(1)原式=-a·(-a6)·(-a7)·a2=-a16.(2)原 式=-m5·m2+m7=-m7+m7=0.(3)原式=(x- y)3·(x-y)2+(x-y)4·(x-y)=(x-y)5+(x- y)5=2(x-y)5. 12.-8 解析:当a+b+c=1时,(-2)a-1×(-2)2b+2× (-2)a+2c = (-2)a-1+2b+2+a+2c = (-2)2a+2b+2c+1 = (-2)2(a+b+c)+1=(-2)2×1+1=(-2)3=-8. 13.∵4×22x×23x=22×22x×23x=217,∴2+2x+3x= 17,解得x=3. 第2课时　幂的乘方 知识梳理 2.不变 相乘 amn 典例演练 典例1 (1)原式=x16.(2)原式=-26.(3)原式=(x- y)6.(4)原式=-b·(-b)15=b16.(5)原式=y2m· (-y3)=-y2m+3. 典例2 (1)原式=x15-x15=0.(2)原式=5a12- 13a12=(5-13)a12=-8a12.(3)原式=-(-x6)·x4- x·(-x9)=x10+x10=2x10. 典例3 (1)∵am=4,an=2,∴a3m+a2n=(am)3+ (an)2=43+22=68.(2)∵am=4,an=2,∴a3m+2n= a3m·a2n=(am)3·(an)2=43×22=256. 预学训练 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.(1)106 (2)-a8 (3)x18 (4)a6 7.3 8.2 9.a2b3 10.(1)原式=x9+x36+4x12.(2)原式=-2a12+a4· a8=-2a12+a12=-a12.(3)原式=(x8)2+x2·x6· x8=x16+x16=2x16. 11.∵2x+5y-4=0,∴2x+5y=4.∴4x×32y=22x× 25y=22x+5y=24=16. 12.∵a△b=(ab)3-(a2)b,∴2△3=(23)3-(22)3= 83-43=448,3△2=(32)3-(32)2=93-92=648. 13.∵x2n=2,∴ 原式=4(x2n)2-6(x2n)2-8(x2n)4= 4×22-6×22-8×24=4×4-6×4-8×16=16-24- 128=-136. 第3课时　积的乘方 知识梳理 乘方 相乘 anbn 典例演练 典例1 (1)原式=(43)(x2)3=64x6.(2)原式= (-5)2a2b2=25a2b2.(3)原 式 = -13 3 a3b6c9 = -127a 3b6c9.(4)原式=(-1)2·x2my6n=x2my6n. 典例2 (1)原式=64x6y12-27x6y12=37x6y12.(2)原 式=x4·x5·(-x7)+16x16-9x16=-x16+16x16- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 10.2　实　数 1. 无理数:无限 小数叫做无理数. 2. 实数:有理数和 统称为实数. 3. 实数与数轴上的点的关系:实数与数轴上的 点 . 4. 实数的性质: (1) 相反数:实数a的相反数为 ; (2) 倒数:实数a(a≠0)的倒数为 ; (3) 绝对值:|a|= a(a>0), 0(a=0), -a(a<0). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 5. 实数的大小比较: (1) 在数轴上,右边的数总比左边的数 ; (2) 涉及无理数的大小比较和运算,通常可 以取它们的 来进行. 6. 实数的运算:有理数范围内的运算法则和运 算律在实数范围内仍然适用. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 有下列各数:+3、-9、2、π-4、-4.2、0、 2 7 、-4、-312 、120%、-0.212 012 001 200 01…、 0.26,将它们填在相应的横线上. (1) 有理数: ; (2) 无理数: ; (3) 正实数: ; (4) 负实数: . 将可化简的先化简,然后根据定义分类. 解答: 解有所悟:实数有不同的分类方法,按某一标准进 行分类时,应做到不重不漏,尤其按大小进行分类 时,必须明确:0既不是正数,也不是负数,不要因 为漏掉 0 而出错. 典例2 若将- 2、6、14、17四个无理数分 别表示在如图所示的数轴上,则被墨迹覆盖的 数是 ( ) 典例2图 A. -2 B. 6 C. 14 D. 17 先对题目中几个数估算,再确定答案. 解答: 解有所悟:(1) 无理数的估算,通常找出与被开方数 接近的两个平方数,从而确定位于哪两个整数之 间.(2) 若m< a<n(m、n 为两个连续的正整 数),则 a的整数部分为m,小数部分为 a-m. 典例3 计算: (1) (1-2)2+ 3(-2)3+ 179 ; (2) 3(23-2)-(2-23); (3) |1-3|+(-2)2-3. 先确定运算顺序,再按照运算法则和运算 律进行计算. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 解有所悟:(1) 去绝对值时,首先要判断绝对值里面 的数是正数、0还是负数.负数的绝对值去绝对值符 号后,要变成原数的相反数.(2) 实数的混合运算要 注意运算顺序. 答案讲解 典例4 我们在学习实数时,画了这样 一幅图:如图,以数轴上1个单位长度 的线段为边作正方形,再以原点O 为 圆心、正方形的对角线OA 长为半径画弧,交数 轴于点B、C,且OA=2. (1) 点C 表示的数是 ; (2) 这幅图可以说明数轴上的点和 是 一一对应的关系; (3) 在数轴上作出表示22的点D(不写作法, 保留作图痕迹). 典例4图 (1) 由OC=OA=2及点C 在数轴上的 位置,可以确定点C 表示的数;(2) 根据数轴上 的点与实数的对应关系填空即可;(3) 在数轴 上截取BD=BO,进而可得表示22的点D 的 位置. 解答: 解有所悟:(1) 实数与数轴上的点一一对应.(2) 解 题时,要注意数形结合.(3) 数轴上的动点表示的数 的规律如下:在数轴上,向左移动几个单位长度就 减几,向右移动几个单位长度就加几. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (福建中考)下列实数中,属于无理数的是 ( ) A. -3 B. 0 C. 2 3 D. 5 2. ★有下列实数:π、239 、- 13、364、3.141 6、 0.3 ∙ 、0.101 101 110…(每两个0之间1的个 数依次加1).其中,无理数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. (天津中考)估计 10的值在 ( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. (威海中考)下列各数中,最小的是 ( ) A. -2 B. -(-2) C. -12 D. -2 5. (巴中中考)实数a、b在数轴上对应点的位 置如图所示,下列结论正确的是 ( ) A. ab>0 B. a+b<0 C. |a|>|b| D. a-b<0 第5题 第6题 答案讲解 6. 如图,面积为3的正方形ABCD 的 顶点A 在数轴上,且与表示数-1的 点重合.已知AD=AE,则点E 所 表示的数为 ( ) A. 3-1 B. 3+1 C. -3+1 D. 3 7. (吉林中考)-2的相反数是 . 8. 有下列说法:① 无理数包括正无理数、零和 负无理数;② 无限小数都是无理数;③ 正实 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 55 数包括正有理数和正无理数;④ 实数可以分 为正实数和负实数两类.其中,正确的是 (填序号). 9. (甘孜中考)比较大小:5 2(填“<” 或“>”). 10. (滨州中考)写出一个比 3大且比 10小的 整数: . 11. (湖州中考)已知a、b是两个连续的整数, a< 17<b,则a+b的值是 . 12. (宿迁中考)满足 11≥k的最大整数k是 . 13. 计算: (1) 3+2(精确到0.01); (2) 5 2+2.34-π (精确到十分位); (3) 81÷3-27- (-5)2; (4) |-3|+(-1)2-9+38. [综合提升] 答案讲解 14. 若 10的整数部分为a,小数部分 为b,则数轴上表示实数a、-b的 两点之间的距离为 ( ) A. 10-3 B. 10+3 C. 6- 10 D. 10 答案讲解 15. 如图,半径为1个单位长度的圆片 上有一点A 与数轴上的原点重 合,AB 是圆片的直径. (1) 把圆片沿数轴向左滚动半周,点B 到 达数轴上点C 的位置,点C 表示的数是 (填“无理数”或“有理数”),这个 数是 . (2) 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正 数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负 数,依次记录运动情况如下:+2、-1、+4、 -6、+3. ① 第 次滚动后,点A 距离原点 最远; ② 当圆片运动结束时,写出点A 所表示 的数. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备