4.7 相似三角形的性质（分层作业）数学北师大版九年级上册

4.7 相似三角形的性质 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）两个相似三角形的周长比是：，则这两个三角形的相似比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，难度容易．掌握相似多边形的相似比等于周长比是关键．根据相似三角形的相似比即为相似三角形的周长比即可解答． 【详解】解：三角形的周长比为，则相似比． 故选：A． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，且，若的面积为4，则的面积是（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的概念，根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比的性质，即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 的面积为4， ． 故选：B． 4．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，分别是边上的点，，且相似比为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，了解相似比的定义是解题的关键． 根据相似比的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即B选项符合题意． 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角， 根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，某书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握平行线的性质，构造三角形相似是解题的关键． 如图所示，过点作平行线的垂线，分别交于点，可得，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作平行线的垂线，分别交于点， ∵“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成， ∴，， ∴， ∴， 故选：A ． 8．（19-20九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图在中，点分别在上，若，，则的值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是关键． 根据已知证明，可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先得出，根据相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：. ， ， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 11．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外取一点，连结、，在上取点，使，作交于点，量得，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．先由，得出，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 12．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据证明，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】∵， ∴， 又 又 故答案为：9． 13．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，证明，得，再求解即可． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：9． 14．（2025·宁夏·模拟预测）如图，，相交于点，，， ，是的中位线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】先依据三角形中位线定理求出的长度，再由判定与相似，最后根据相似三角形对应边成比例求出的长．本题主要考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：2． 15．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度．测量人员眼睛点与标杆顶端点、旗杆顶端点在同一条直线上，点也在同一条直线上．已知该测量人员眼睛到地面的距离1.6m，标杆高，且，则旗杆的高度为（    ） A．9m B．10.5m C．11.2m D．14m 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用；通过构造相似三角形，相似三角形对应边成比例是解决问题的关键. 【详解】如图，作于点，交于点． 易知四边形和四边形均为矩形， ，即，解得 故选：C. 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 ， 交于点 ，那么 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，即得，进而由即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段． 证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 4．（2025·江西宜春·二模）在菱形中，，于点E，，连接交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质等初中知识，解题的关键在于利用菱形对边平行且相等的性质确定线段长度．先通过勾股定理求出高的长度，再利用平行线构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， ∴， ， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，点E，F分别在边，上，，，，的面积为12，则的面积是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，的面积为12， ∴， ∴． 故答案为：75 6．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形中线；取的中点M，连接，根据中线得到，再结合题意得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，取的中点M，连接． ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在正方形中，已知点E是的中点，点F是上一点，且，连接，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质得到，由题意，推出，进而得到，进而求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 8．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的性质及应用．解题关键是利用数形结合思想，将几何图形的性质与代数方程结合，逐步推导．利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长度，通过三角形面积的不同表达方式求出点C到的距离；再通过构造辅助线，利用正方形的性质和相似三角形的对应边成比例关系，建立方程求解正方形的边长． 【详解】解：在中，，由勾股定理， ， ， ， ， 解得， 过点C作于点M，交于点N， 四边形是正方形， ， ，且， ， ， 设，则，， ， 解得， 9．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 10．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出边长． 根据矩形的性质可知，根据两直线平行，内错角相等，可知，根据矩形的四个角都是直角，可知，根据两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据，可得：，利用勾股定理可以求出，所以可得，根据比例的性质即可求出的长度． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，是的中点， ， 在中，， ， ， ． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，将旋转一定角度后得到，点落在上，交于点，且．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质. （1）根据旋转得到对应角和对应边相等，结合已知条件，利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）由两组对应角相等判定三角形相似即可. 【小题1】证明：， ． 由旋转的性质，得， ， 由旋转的性质，得， 由旋转的性质，得， 由旋转的性质，得． 又． 【小题2】解：． . 12．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 1．（24-25九年级上·湖南·期末）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 2.（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】连接，由中垂线性质及，可判定为直角三角形，设，由，可得，进而可得，，由勾股定理可得作于点，由角平分线性质知，证明∽，可得，得证，则，故AB过点作交的延长线于点，利用平行线性质和角平分线、等腰三角形判定可得由，可得∽，故得，即，整理得，解得（负根舍去），即得的长． 【详解】解：连接，由中垂线性质可知，如图所示， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ，， ，， ∴． 由勾股定理可得， ∴． 作于点，如图所示， 平分， ， ，， ． ，即， 解得． ∵，， ∴， ∴， ∴． 过点作交的延长线于点，如图所示， ， 平分， ， ， ． 由，可得， ，即， 整理可得，进一步整理得， 解得（负根舍去）， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 3．（2025·山东济南·模拟预测）如图 (1)如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． (3)【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 4．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.7 相似三角形的性质 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）两个相似三角形的周长比是：，则这两个三角形的相似比是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知，且，若的面积为4，则的面积是（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，分别是边上的点，，且相似比为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，某书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 8．（19-20九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图在中，点分别在上，若，，则的值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ． 11．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外取一点，连结、，在上取点，使，作交于点，量得，则的长为 ． 12．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 13．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，，则的长为 ． 14．（2025·宁夏·模拟预测）如图，，相交于点，，， ，是的中位线，且，则的长为 ． 15．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 16．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某测量人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度．测量人员眼睛点与标杆顶端点、旗杆顶端点在同一条直线上，点也在同一条直线上．已知该测量人员眼睛到地面的距离1.6m，标杆高，且，则旗杆的高度为（    ） A．9m B．10.5m C．11.2m D．14m 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 ， 交于点 ，那么 的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，，若，则等于（   ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 4．（2025·江西宜春·二模）在菱形中，，于点E，，连接交于点F，则的长为 ． 5．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，点E，F分别在边，上，，，，的面积为12，则的面积是 ． 6．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则 ． 7．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在正方形中，已知点E是的中点，点F是上一点，且，连接，若，则 ． 8．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 9．（23-24九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 10．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，将旋转一定角度后得到，点落在上，交于点，且．求证： (1)． (2)． 12．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 1．（24-25九年级上·湖南·期末）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 2.（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ． 3．（2025·山东济南·模拟预测）如图 (1)如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． (3)【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 4．（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$