第04讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷【练透核心考点】-2025-2026学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 2．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 3．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 4．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 5．在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】 如图，设正方体棱长为4，， 则，. 因， ， 则，故， ，故， 且， 则， 设BE与DF所成的角为，则. 故选：C. 6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 7．设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据题设线性相关的定义，令，应用坐标表示列方程且不同时为0，求参数. 【详解】由，，线性相关， 则， 即，不同时为0，解得. 故选：D 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设的轨迹与轴的交点坐标为，确定的轨迹是以为端点的一条线段（不含点），计算平面平面的一个法向量，根据二面角的余弦值得到,计算以面积即可. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，． 由二面角的平面角大小为，平面与平面的交线为直线，可知的轨迹是过点的一条直线，又是四边形内部一点（包括边界），则的轨迹是以为端点的一条线段（不含点）． 设的轨迹与轴的交点坐标为，连接，根据点分别是平面与轴的交点，易得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为，则二面角的平面角的余弦值为，解得．因为在线段上运动，，所以面积的取值范围为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题意求出点和的坐标即可得的坐标；对于B，求出和的坐标，计算数量积即可判断； 对于C,求出与的坐标，利用夹角公式即可求解；对于D，利用向量求距离的公式即可求出. 【详解】根据题意可得，，，则，故A正确； ，，， 则， 因为，所以，故B正确； ，，则，，设异面直线与所成的角为， 则，故C错误； ，则点到直线的距离为，故D正确． 故选：ABD. 10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BD 【分析】A：根据向量平行的坐标关系即可判断；B：根据向量模的公式即可计算并且作出判断；C：根据向量数量积进行判断；D：根据投影向量计算公式进行计算即可． 【详解】A：由题意得，，而，∴两向量不平行，A错误； B：∵，，∴，B正确； C：∵，∴两向量不垂直，C错误； D：在上的投影向量为，D正确． 故选：BD． 11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．当时，点到平面的距离为 C．三棱锥的体积不变 D．若，则二面角的平面角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解A，利用空间中的距离公式计算B后可判断正误，利用等体积法判断C的正误，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系计算后可判断D的正误. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，． A（×），，设， 依据共线向量设坐标 故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 注意范围的限制 故直线与所成的角不可能是． B（√）当时，结合A中分析可得，故，故，而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为． C（√）因为，平面，平面，所以平面，所以为定值． D（×）当时，结合B的分析可得，此时，故，而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量，又，， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 故，故二面角的平面角的正弦值为． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 【答案】4 【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 故, 故答案为：4    13．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ． 【答案】4 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 14．设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，然后根据向量夹角的余弦公式求出最大值即可. 【详解】设正方形的中心为点，连接，由条件知垂直于平面于点，又， 由射影定理知．显然点在点之间． 以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，，，则，，． 易知，因此，． 所以． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即取到最大可能值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【答案】(1)垂直 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 16．如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）证明：由已知得，平面，平面，所以， 因为为底面圆的直径，所以， 因为，平面 所以平面， 又平面，所以. （2）如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又因为为的中点，∥，， 所以，且， 所以，且，即四边形为平行四边形，即， 因为面，所以面． 又因为面，所以，即为等腰直角三角形，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以． 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17．如图，是菱形所在平面外一点，且为等边三角形，      (1)证明：平面平面； (2)若且，问线段上是否存在点（不包含端点），使得平面与平面夹角的正弦值是?若存在，求的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）根据题意可得，，结合面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，再利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接．    因为是菱形，所以， 因为为的中点，且为等边三角形，所以． 又平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在 因为，所以为等边三角形，， 又，所以，所以三棱锥为正三棱锥， 过作平面，垂足为，故为的重心， 设，则，所以， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示，    故， 则， 设平面的法向量为， 则，令，故． 设， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，故． 设平面与平面的夹角为， 于是， ，由于，则， 即，由于，所以或， 所以或． 18．如图，在三棱锥中，是的中点，底面． (1)证明：平面； (2)若点为内（包含边界）一点，且，求点的轨迹的长度； (3)若，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依次求证和即可由线面垂直判定定理得证平面； （2）连接，由已知求证得到点落在以为直径的半圆上即可求解； （3）先建立适当的空间直角坐标系，设，依次求出平面和平面的法向量，接着利用求出，进而得，再利用线面角空间向量法公式直接计算求解即可. 【详解】（1）在三棱锥中，底面． 因为平面，所以， 又因为点是的中点，，所以， 又平面， 所以平面； （2）如图所示，连接， 由（1）知平面，又平面，所以． 又，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 则在内，，即点落在以为直径的半圆上， 因为，所以点的轨迹长度为； （3）由题意，以A为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过A作轴垂直于平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 则， 因为点是的中点，则， 设，因为底面，则， 从而． 设平面的一个法向量， ，取，得， 所以平面的一个法向量， 取平面的一个法向量，又二面角的大小为， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 设与平面所成角为， 所以． 19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 4．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 7．设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．当时，点到平面的距离为 C．三棱锥的体积不变 D．若，则二面角的平面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 . 13．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ． 14．设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 16．如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角余弦值． 17．如图，是菱形所在平面外一点，且为等边三角形，      (1)证明：平面平面； (2)若且，问线段上是否存在点（不包含端点），使得平面与平面夹角的正弦值是?若存在，求的值，若不存在请说明理由． 18．如图，在三棱锥中，是的中点，底面． (1)证明：平面； (2)若点为内（包含边界）一点，且，求点的轨迹的长度； (3)若，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $$