第03讲 空间向量与立体几何 探索性问题（8大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量与立体几何 探索性问题 目录 题型一：重点考查平行，垂直关系中的探索问题 1 题型二：重点考查异面直线所成角中的探索问题 6 题型三：重点考查线面角中的探索问题 11 题型四：重点考查二面角中探索问题 19 题型五：重点考查距离问题中的探索问题 25 题型一：重点考查平行，垂直关系中的探索问题 典型例题 例题1．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．若，则动点的轨迹是一条直线 B．若，则动点的轨迹长度为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若点在正方形所在平面上运动，的面积为，则动点的轨迹为椭圆 例题2．（多选）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 例题3．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 例题4．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 精练核心考点 1．（多选）已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 2．（多选）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 3．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 4．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 题型二：重点考查异面直线所成角中的探索问题 典型例题 例题1．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 例题2．在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 例题3．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 精练核心考点 1．如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 3．如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 题型三：重点考查线面角中的探索问题 典型例题 例题1．如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例题2．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 例题3．如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，.    (1)设平面平面，证明：； (2)已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 例题4．如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. (1)证明：是等边三角形； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 精练核心考点 1．我国古代数学名著《九章算术》中将图中几何体称为刍甍．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，是线段上一点．    (1)若点是线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，且，证明：平面； (2)若到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求的长． 2．如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 4．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 题型四：重点考查二面角中探索问题 典型例题 例题1．在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且. (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长. 例题2．如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． (1)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 (2)当二面角的余弦值为时，求． 例题3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 例题4．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 精练核心考点 1．如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，底面ABCD，，E是PC的中点． (1)证明：平面BDE； (2)在AP上是否存在一点F，使得二面角的正弦值为？若存在，求AF；若不存在，请说明理由． 2．如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 3．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 题型五：重点考查距离问题中的探索问题 典型例题 例题1．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例题2．如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    例题3．如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 精练核心考点 1．已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 2．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 3．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量与立体几何 探索性问题 目录 题型一：重点考查平行，垂直关系中的探索问题 1 题型二：重点考查异面直线所成角中的探索问题 15 题型三：重点考查线面角中的探索问题 25 题型四：重点考查二面角中探索问题 39 题型五：重点考查距离问题中的探索问题 53 题型一：重点考查平行，垂直关系中的探索问题 典型例题 例题1．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．若，则动点的轨迹是一条直线 B．若，则动点的轨迹长度为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若点在正方形所在平面上运动，的面积为，则动点的轨迹为椭圆 【答案】BCD 【分析】对于A，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设（其中，），根据可得可得点的轨迹是线段即可判断A；对于B，根据，即，可得，然后求得线段长度即可判断B；对于C，由可得，根据圆的周长公式即可判断C；对于D，解法一、由题可得即可判断D，解法二、平面斜截圆柱的轨迹为椭圆即可判断D. 【详解】如图，以为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则．    因为位于正方形内（含边界），故可设（其中，）． 对于A，，由已知，可得， 所以，整理得． 连接，因为点在正方形内部（含边界）运动，所以点的轨迹是一条线段，A不正确． 对于B，，若，则， 所以，即， 又，所以点的轨迹长度为，B正确． 对于C，，， ， 整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其轨迹长度为，C正确． 对于D，解法一（轨迹方程法）  设到的距离为，则， 解得，，，设， 则， 所以， 所以点到直线的距离， 整理得． 由D选项知，令， 则， 所以，整理得，显然此方程表示椭圆． D正确． 解法二（定义法）  易知，设到的距离为， 则，解得， 所以点位于以为旋转轴，1为半径的圆柱侧面上，如图所示．    因为位于平面内，则位于正方形与圆柱侧面的交线上， 根据圆柱侧面与平面的位置关系，可得的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BCD． 例题2．（多选）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】CD 【分析】A：验证是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明平面即可；D：由体积公式可判断即可． 【详解】对于A，易知 ， 故与不垂直，故A错误；     对于B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 显然仅当和为所在棱中点时与才平行，故B错误； 对于C，连接，，，、，， 由平面，平面，得， 由为正方形，易知， 因为，平面，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于D， ，平面，平面，平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 三棱锥的体积为定值，故D正确． 故选：CD． 例题3．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 【答案】(1) (2)存在，证明见解析. 【分析】(1)利用曲率可求出相应的角，从而可计算各表面面积； (2)利用中位线来证明线线平行，再证明线面平行和面面平行，最后问题得证. 【详解】（1） 由，利用余弦定理可得：， 由可得：，利用内角和定理可得， 此时， 又因为，所以， 即， 根据四棱锥在点的曲率为， 可得，利用内角和定理可得， 此时， 再由点的曲率为， 可得， 因为，所以，又因为所以三角形是等边三角形， 此时，由于， 所以，利用， 可知， 所以四棱锥的表面积为； （2） 取分别为的中点，，连接， 利用中位线可知， 又由，可得，即， 又可证得，即，又因为为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，同理由，可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 此时为的中点. 例题4．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 精练核心考点 1．（多选）已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】      如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，， 当时，， 所以，A正确. ，，当时，. 因为平面，平面，所以平面，B正确. 由， 当时，，，， 当时，的面积取得最小值，最小值为，C错误. 当时，，，， 可看作是平面内点到点，的距离之和， 点关于轴的对称点为， 则， 所以的最小值为，D正确. 故选：ABD 2．（多选）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【答案】AD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，    则，，，，， 则， 因为点在线段上，令，，则 由∥得. ∴且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A正确； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误． 故选：AD 3．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 4．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 题型二：重点考查异面直线所成角中的探索问题 典型例题 例题1．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，故，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式和同角三角函数关系进行求解； （2）设，．设，其中，则，根据与成30°角得到方程，求出，其中，即，结合求出答案. 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 例题2．在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【分析】（1）在上取一点，得到，则有，利用余弦定理及勾股定理的逆定理证得，则有平面，即有，再结合可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量间夹角的坐标运算公式建立方程，即可得解. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 例题3．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行得判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）设，由题意可得，进而可得出答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 精练核心考点 1．如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线得出线线平行，可得出面面平行，由面面平行的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦即可； （3）设，利用向量法求直线与直线所成角即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，如图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，所以， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）平面PAC平面，平面平面AC， 平面，平面.   平面，，又， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，且， 所以， 所以，解得， 所以. 2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先作出两平面的交线，再根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，代入向量所成角的余弦值公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接， 则平面和平面交线为，即 因为为直三棱柱，所以为平行四边形， 所以为中点，为中点，所以， 又平面平面， 所以平面，即平面. （2）直三棱柱中，，所以两两垂直. 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则， 所以 解得，所以线段长为. 3．如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，根据条件证明出平面平面，由此可证明平面； （2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果； （3）设出点的坐标，分别表示出直线的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出的长度. 【详解】（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，且， 所以， 所以， 化简得，解得或（舍）， 所以. 题型三：重点考查线面角中的探索问题 典型例题 例题1．如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设线段的中点为，线段的中点为，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）根据已知，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，令，，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接， 依题意，，则，由，得， 而，是梯形的中位线，于是， 而平面，则平面， 而平面，于是，又平面，且和相交， 因此平面，而平面，所以平面平面；    （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由，平面，可得平面， 过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，    则，， 令，，则， 由平面，则平面的一个法向量为， 由题设， 所以，可得（负值舍），所以时满足题设. 例题2．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解； （3）设，根据已知条件及线面角的向量公式列方程求解. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为， ∴. （2）取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， ∴点到平面的距离. （3）假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 设， 则， ∵平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 例题3．如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，.    (1)设平面平面，证明：； (2)已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）利用线面平行的判定性质推理得证. （2）（i）根据给定条件，确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质及面面垂直的判定推理得证；建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，，平面，平面， 因此平面，而平面平面，平面， 所以. （2）（i）取中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，，是外接圆圆心， 又四边形是等腰梯形，则点在外接圆上，即点与点重合， 取中点，连接，由为直角三角形，，得为外接圆圆心， 而是四棱锥外接球球心，于是平面，又平面， 所以平面平面.    （ii）由（i）得，，，， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设，则， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，而，解得，则， 所以的长为. 例题4．如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. (1)证明：是等边三角形； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）若为的中点，连接，根据已知、线面垂直的判定、性质定理得，结合等腰三角形的性质有，结合即可证； （2）设，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出直线与平面的方向向量和法向量，根据已知及向量法列方程求参数值，即可得. 【详解】（1）取为的中点，连接，又为母线的中点，则， 由题意，知，故，又，， 又平面，则平面，平面， 所以，即，为的中点，易知，且， 所以是等边三角形； （2）由题意，点到底面的距离，即为的长度，设，则， 如图构建空间直角坐标系，，则， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，，，则， 令直线与平面所成角为，则， 所以，可得，故， 所以点到底面的距离. 精练核心考点 1．我国古代数学名著《九章算术》中将图中几何体称为刍甍．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，是线段上一点．    (1)若点是线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，且，证明：平面； (2)若到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）连接交于点，连接，通过比例线段证明，可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点的位置即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，因为，且， 所以． 因为，所以，所以，所以． 因为平面，平面，所以平面．    （2）分别取，的中点连接，，， 则，且， 因为四边形与四边形为全等的等腰梯形， 所以， 所以四边形为等腰梯形，且，，，， 又因为，所以， 因为，平面，且，为两条相交直线，所以平面， 因为面，所以平面． 因为平面, 所以过在平面内作的垂线，垂足为M， 则平面，，． 过M作，易得，，两两垂直， 以M为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，．设， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则即 令，解得，，所以． 设与平面所成角的大小为，则 ， 解得，满足题意． 所以或．    2．如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)存在， 【分析】（1）显然底面，即为直线与底面所成角，易得为； （2）由（1）知平面，得到，又，所以平面，从而； （3）结合（1）（2）可建立空间直角坐标系，求出的坐标与平面的一个法向量为，利用点到平面的距离公式即可得解； （4）假设存在满足条件的点E，且，从而得到，再利用空间向量线面夹角公式得到关于的方程，进而求得，由此即可求出的长. 【详解】（1）底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB = 2，． 侧面为菱形，. D为AC的中点，. 点在底面上的投影为AC的中点D，底面. 即为直线与底面所成角， 在中，有，. 即直线与底面所成角为. （2）由（1）知，平面. 平面，故， 又底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，D为AC的中点，， 又，平面，故平面， 平面，故. （3）由（1）（2）知，平面，， 故以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，，，则. 在中，有， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 则点C到侧面的距离为：. （4）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则， 由（3）知，平面的一个法向量为， 因为直线与侧面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据给定条件，以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出点坐标，再求出平面AFM的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 于是，， ，， 而和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以平面ACF. （2）设点存在，，， ， 设平面法向量为，则， 取，得， 设与平面所成角为，， 由，解得， 即为中点，坐标为， ，设面AFM法向量， 则，取，得， 设平面AFM与平面的夹角为，则， 所以平面AFM与平面夹角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）连接与相交于点，连接，易得为的中点，结合为棱的中点即可得到，进而求证即可； （2）证法1：先证明，，进而求证即可； 证法2： 建立空间直角坐标系，利用空间向量可证，再结合题设可证，进而求证即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：如图1所示，连接与相交于点，连接. 因为底面为矩形，所以为的中点. 又为棱的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证法1：因为，且为棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以. 又因为底面为矩形，所以. 又，平面 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面. 证法2：以为原点，因为底面，底面为矩形， 所以分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，. 故，从而，， 所以，即. 又因为，为中点，所以， 又，平面， 所以平面. （3）以为原点，分别以，，所在的方向为轴、轴和轴， 建立如图2所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则，，. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 化简得，即， 解得或. 故或. 题型四：重点考查二面角中探索问题 典型例题 例题1．在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且. (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解， （2）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）证明：因为与都是棱长为的正方形， 所以，，又，所以，，两两垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 所以，， 所以，故，则. （2）方法一：由（1）知，，所以， 设是平面的一个法向量， 所以即 即 令，得 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值， 所以， 解得，故. 方法二： 由（1）知，，所以，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值， 所以， 解得，故. 例题2．如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． (1)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 (2)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，，再建系得出法向量，最后应用线面角正弦公式计算求解； （2）先分别求出平面和平面的法向量，再应用二面角余弦公式列式计算求参. 【详解】（1）因为，，，所以，所以， 因为，，所以，则． 可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，， 当点为棱的中点时，，，， 设平面的一个法向量， 则即， 即令，解得，，故， 设直线与平面所成角为，则,， 故直线与平面所成角的正弦值为． （2）由（1）可知，， 设，则， 设平面的一个法向量， 则即， 令解得，，故， 设平面的一个法向量为， 由得 令，解得，，故， 所以， 即，整理，得， 解得或舍去． 故． 例题3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理及正方形的性质证明平面，然后根据线面垂直的性质定理和判定定理证明平面. （2）以为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得． 【详解】（1）底面，底面，， 又底面为正方形，， 又，平面，平面， 平面，又平面，， 由，为中点，， 又，平面，平面，平面． （2）以为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 令， 则，，，，，， ，，，则， ，则， 设平面的法向量， 则，故可取， 设平面的法向量， 则故可取， 所以， 解得． 例题4．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解. 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 精练核心考点 1．如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，底面ABCD，，E是PC的中点． (1)证明：平面BDE； (2)在AP上是否存在一点F，使得二面角的正弦值为？若存在，求AF；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或． 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，可得，由线面平行的判断可证结论； （2）以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】（1）如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE， 因为E是PC的中点，所以． 又平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE． （2）存在点F，使得二面角的正弦值为． 因为底面是菱形，底面，平面， 所以，，， 故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，，， 故，，． 设，， 则，． 设平面的法向量为， 则， 则，令，则，故． 设平面BDF的法向量为， 则，即 则，令得，故． 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 令， 化简得，解得或． 因为，所以或． 2．如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理逆定理可得，结合以及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得． 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 3．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 4．如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可. （2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 题型五：重点考查距离问题中的探索问题 典型例题 例题1．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的坐标为或，理由见解析， 【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，所以，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）先证明平面，由此可得，再证明，由此可得，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）设，，由此可得，根据点到平面的距离的向量求法结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为为中点，，所以. 又，平面， 所以平面， （2） 由（1）平面，平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为四边形为正方形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，所以平面，平面， 所以，故， 由（1）平面，平面， 所以，故，又， 所以，所以， 由已知，，， 所以，故， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，易知， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面ABCD的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， （3）因为，，所以， 设，， 所以，所以，所以. 由（2）知平面的一个法向量为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 例题2．如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】存在， 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，结合条件，利用点面距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，为中点，则， 又平面底面，平面底面，面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，又，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，    因为，，， 则， 所以，假设存在点，使得它到平面的距离为， 设平面的法向量为． 则，所以，得到， 取，则平面的一个法向量为． 设， 由，得，解得或（舍去）． 此时，，所以存在点满足题意，此时． 例题3．如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）（i）先应用面面垂直性质定理得出平面，建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦；（ii）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【详解】（1）取PD的中点N， 连接AN， MN， 如图所示： 为棱PC的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面，   平面. （2） 平面平面， 平面平面， 平面， 平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，如图， 则 为棱PC的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为， 所以二面角的正弦值为. （ii） 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 精练核心考点 1．已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点 【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用线面垂直的判定推理得平面，进而由面面垂直的判定定理证明即可. （2）由二面角的定义及面面垂直的性质定理得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，设，由得以，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式列方程求出，，即可得解． 【详解】（1）因为梯形中，， 所以，所以，所以， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为分别为棱､的中点，所以，所以， 又，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，故建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）由（2）可知平面，故分别以为轴的正方向， 轴在平面内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，因为，所以，又，，，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为，所以， 因为，所以，即， 所以或，因为，所以或， 因为，所以，，所以， 所以存在点，使得点到平面的距离为. 2．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）连接BD，，先根据正方形的性质、直四棱柱的性质及线面垂直的判定可证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量为，再根据向量的加法求出，进而根据点F到平面的距离为即可求出λ的值． 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 3．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接．     为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $$