第01讲 空间向量及其运算（8大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其运算 (1.1空间向量及其运算 +1.2 空间向量基本定理 +1.3 空间向量及其坐标运算） 目录 第01讲 空间向量及其运算 1 题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 1 题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 4 题型三：重点考查用基底表示向量 9 题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 14 题型五：重点考查空间向量模 20 题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 27 题型七：重点考查空间向量夹角 30 题型八：重点考查投影向量 35 题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 典型例题 例题1．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，若、、三点共线， 则，而无解，故A错误. 因为，若、、三点共线， 则，而无解，故B错误. 因为、、， 所以，即， 所以、、三点共线，故选C正确. 因为、、， 所以，若、、三点共线， 则，而无解，故D错误. 故选：C. 例题2．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 例题3．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 精练核心考点 1．设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 2．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得. 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 3．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 典型例题 例题1．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 例题2．对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 例题3．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 例题4．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证； 方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证. （2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面 【详解】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 精练核心考点 1．下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理判断即可. 【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 2．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 3．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 4．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 题型三：重点考查用基底表示向量 典型例题 例题1．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 例题2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 例题3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 例题4．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出. 【详解】因为，则，即， 因是的中点，则， 所以. 故选：C． 精练核心考点 1．四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 2．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，得到答案. 【详解】，点为中点， . 故选：D 3．如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接ON，因为，所以()， 因为，所以， 所以. 故选：C. 4．在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 典型例题 例题1．正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，则，根据向量加法的几何性质求出的取值范围即可求解. 【详解】取的中点，由题意则， 所以， 又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立； ，当且仅当方向相反时等号成立， 因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，， 所以，即， 所以，， 又，所以，即， 所以的最大值为, 故选：B 例题2．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 例题3．已知正四面体的棱长为2，空间一点满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】由向量运算律可得点在以为球心、1为半径的球面上运动，由对称性结合向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由得，，为的中点， 如图1，则点在以为球心、1为半径的球面上运动． 由于定向，故只要看在上的投影即可，由对称性，取过三点的截面， 如图2，得． 例题4．已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 【答案】 【分析】插入分点，则有，分析可知，，即可求解. 【详解】 如图所示，插入分点，则有， 由长方体同一顶点处的一组棱长分别为，是其中心， 所以，，得， 所以. 精练核心考点 1．已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（       ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】最小时，得到在平面的交线上，故取值最小时，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案. 【详解】由题意可得， 取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，三点共线，通过点作于， 则，又，故， 所以，解得，从而， 因此. 故选：C. 2．（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设的中点为，连接，则，则， 即点在以为球心，以1为半径的球面上． 如图，因为，所以． 因为正四面体的棱长为，所以，，又， 所以．设， 则． 因为，所以． 故选：BC 3．如图，在正方体中，，点在线段上，且是正方体表面上的一个动点，是空间内的两个动点，若且，则的最小值为 ；最大值为 ．    【答案】 【分析】数形结合，第一种问题转化为是对角线长为4的立方体表面上的一点，为立方体对角线的端点，取过三点的截面，可解；第二种由极化恒等式可解. 【详解】由于，所以点位于球心在直线上、半径为2、过点的球面上，因为，所以为直径的端点． 问题转化为是对角线长为4的立方体表面上的一点，为立方体对角线的端点，取过三点的截面，如图1，    则． 另解：如图2，球心为，由极化恒等式得： ． 当点与点重合时，取到最大值， ．      故答案为：. 4．如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. （2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 题型五：重点考查空间向量模 典型例题 例题1．在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积可得的轨迹圆，从而可求线段PB的长度的最小值. 【详解】取的中点为，的中点为，连接， 则平面，而平面，故. 而， 而，故， 而，故即， 由正方体的性质可得，故， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而， 故线段的长度的最小值为， 当且仅当三点共线且在之间时的长度取最小值， 故选：C. 例题2．已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，设，可得，再根据是边上的高，计算，最后得和. 【详解】因为，，，所以，． 因为点在边上，所以设， 则． 由是边上的高可得，解得， 所以， 所以． 例题3．在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    例题4．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 精练核心考点 1．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 2．在三棱柱中，为的中点，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，，两边平方计算后求其模. 【详解】根据题意，取中点，连接, ， 又， 则 ， 所以. 故答案为：. 3．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)10 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为0证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以 . 所以. 4．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可. （2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 典型例题 例题1．向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 例题2．设，向量，，且，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即，解得， 所以， 所以， 故答案为： . 例题3．若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 精练核心考点 1．已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为向量，， 所以， 因为，所以， 即，解得，故D正确. 故选：D. 2．已知空间向量且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】，且，则，解得. 故选：C. 3．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 【答案】(1)7； (2)19或13. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【详解】（1）向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. （2）由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以值是19或13. 题型七：重点考查空间向量夹角 典型例题 例题1．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 例题2．已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据已知有，应用向量数量积的定义及运算律求夹角即可. 【详解】由题设，则，故， 所以，，可得. 故选：C 例题3．已知，．若与的夹角是钝角，则整数k的取值可以是 ．（写出一个符合条件的取值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量的坐标运算公式求出，，再利用向量夹角公式表示关系与的夹角是钝角，化简可得k的取值. 【详解】设与的夹角为，则为钝角，所以， 即且，的方向不相反． ，， 所以， 由可得，化简可得， 由，的方向相反可得且， 解得， 所以由与的夹角是钝角可得且， 即k的取值范围为， 故整数k的取值可能是，，1中的任一个， 故答案为：（答案不唯一） 例题4．如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 精练核心考点 1．已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 2．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 3．已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 【答案】 【分析】根据向量的四则运算，用表示，，再根据数量积的计算公式和运算律求解即可. 【详解】如图，设，，，， 由题意易知，则， 因为，，， 所以， 所以, 所以向量与夹角的余弦值为， 故答案为： 4．． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 题型八：重点考查投影向量 典型例题 例题1．已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知，得， 所以在方向上投影的数量为. 故选：D. 例题2．已知空间向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积的定义先求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 例题3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 精练核心考点 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 2．已知，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】向量在向量上的投影向量为，据此计算即可. 【详解】因为，， 所以， ， 向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 3．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其运算 (1.1空间向量及其运算 +1.2 空间向量基本定理 +1.3 空间向量及其坐标运算） 目录 第01讲 空间向量及其运算 1 题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 1 题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 2 题型三：重点考查用基底表示向量 3 题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 6 题型五：重点考查空间向量模 8 题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 10 题型七：重点考查空间向量夹角 11 题型八：重点考查投影向量 12 题型一：重点考查空间向量共线（三点共线） 典型例题 例题1．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 例题2．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 例题3．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 精练核心考点 1．设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 题型二：重点考查空间向量共面（四点共面） 典型例题 例题1．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 例题2．对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 例题4．如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 精练核心考点 1．下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 3．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 题型三：重点考查用基底表示向量 典型例题 例题1．若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 例题2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 例题3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 例题4．如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 精练核心考点 1．四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（    ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型四：重点考查空间向量数量积及其应用 典型例题 例题1．正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例题3．已知正四面体的棱长为2，空间一点满足，求的取值范围． 例题4．已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 精练核心考点 1．已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（       ） A．16 B． C． D． 2．（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 3．如图，在正方体中，，点在线段上，且是正方体表面上的一个动点，是空间内的两个动点，若且，则的最小值为 ；最大值为 ．    4．如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 题型五：重点考查空间向量模 典型例题 例题1．在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 例题2．已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 例题3．在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 例题4．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 精练核心考点 1．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，为的中点，则 . 3．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 4．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 题型六：重点考查空间向量平行，垂直的坐标表示 典型例题 例题1．向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 例题2．设，向量，，且，，则 . 例题3．若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 精练核心考点 1．已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知空间向量且，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 题型七：重点考查空间向量夹角 典型例题 例题1．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 例题2．已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例题3．已知，．若与的夹角是钝角，则整数k的取值可以是 ．（写出一个符合条件的取值即可） 例题4．如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 精练核心考点 1．已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 4．． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 题型八：重点考查投影向量 典型例题 例题1．已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 例题2．已知空间向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 例题3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 精练核心考点 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则向量在向量上的投影向量是 . 3．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $$