2.4 用因式分解法求解一元二次方程（导学案）数学北师大版九年级上册

2.4用因式分解法求解一元二次方程 导学案 1.理解用因式分解法解方程的依据； 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程； 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 学习重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程． 学习难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程． 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 我们已经学过哪些一元二次方程的解法? 2. 因式分解的主要方法有哪些? ①提公因式法: ②公式法: 平方差公式: 完全平方公式: ③十字相乘法: x2+(p+q)x+p q=(x+p)(x+q) 新知自研：自研课本第41--43页的内容． 【学法指导】 情景引入 问题:若 ,可以得到下面两个结论吗? 问题：若ab=0，可以得到下面两个结论吗？ （1）a和b都为0，即a=0，且b=0. （ ） （2）a和b至少有一个为0，即a=0，或b=0.（ ） 思考：你能根据上边的正确结论解一元二次方程(x+1)(x－1)=0吗？ 自研课本P46-47页的内容，思考： ●探究一：因式分解法解一元二次方程 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程 x2 = 3x.但他们的解法各有不同. ◆1.议一议 (1) 他们做的对吗?为什么?你是怎么做的? 小颖和小亮的解法都是 的，小明的解法是 的. 小颖应用了公式法解方程，是 的. 小明的解法是 的，约去x的时候必须保证 ，他的做法漏掉了根为0的情况. 小亮的方法是利用了方程 ，另一边分解成 的形式． (2) 对比小颖和小亮的方法，你有什么发现? ◆2.知识归纳 因式分解法解一元二次方程： （1）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的 的形式，再使这两个一次式分别 ，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）适用范围:一元二次方程为一般形式，方程一边为 ，另一边易于分解成两个一次因式的乘积. 依据:若a·b＝0， . 练一练 1. 解下列方程: (1) (2) ●探究二：公式法解一元二次方程- 例：解方程: (1) ; （2） . 【解答】 ◆2.知识归纳 用因式分解法解一元二次方程的步骤: （1）移项:将方程的右边 ; （2）化积:将方程的左边因式分解为两个 ; （3）转化:方程转化为两个 ; （4）求解:解两个一元一次方程，写出方程 . ●探究二：选用适当的方法解一元二次方程 ◆1.想一想：你能用因式分解法解下列方程吗? (1) (2) 思考：这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解? 例题： 用适当的方法解方程: (1) 【分析】该式左右两边可以提取公因式，所以用 解答较快. 【解答】 (2) 【分析】方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用 . 【解答】 ◆2.知识归纳 （1）一元二次方程的解法及适用类型: 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 ◆2.知识归纳 一元二次方程的解法选择思路: （1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时()，应选用 ; （2）若常数项为0()，应选用 ; （3）若一次项系数和常数项都不为0()，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用 ，不然选用 ; （4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用 也较简单. 练一练 2. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( ) A. B. C. D. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 ：用适当的方法解下列方程: (1) 【分析】出现了，并且一次项为 ，考虑用 . 【解答】 (2) 【分析】出现了，接近完全平方式的结构特点，考虑用 . 【解答】 (3) 【分析】移项易发现符合平方差公式，考虑用 . 【解答】 (4) 【分析】方程的结构没有明显特殊性，考虑 . 【解答】 例2 ：一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 【分析】先由题意列出 ，然后解方程即可解答. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用因式分解法解一元二次方程； B.交流例题的解题思路和易错点，规范解题过程. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1. 一元二次方程 的根是( ) A. 1 B. 3 C. 1和3 D. 1和2 2. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长可以是( ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 3. 经计算，整式 与 的积为 ，则一元二次方程 的根为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 方程x 2 ＝| x |的 的根是 . 5. 如果 ，那么 的值为 . 6. 若正数 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 . 7. 小华在解一元二次方程 时，只得出一个根是 ，则被她漏掉的一个根是 . 8. 用因式分解法解下列方程: (1) (2) (3) 9. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程 的一个根，求这个三角形的周长. 题型一：用因式分解法解一元二次方程 1．（2024春•通州区期末）一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A．x＝2 B．x1＝2，x2＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣1 2．（2024春•东平县期末）已知方程（x﹣2）（3x+1）＝0，则x﹣2的值为（　　） A． B．0 C．﹣2 D．或0 3．已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解 是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5 4．（2024秋•威县期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确 5．用因式分解法解方程： （1）5x2+20x+20＝0； （2）（2+x）2﹣9＝0； （3）2（x﹣5）2＝x2﹣25； （4）（x﹣1）2+x（x﹣1）＝0． 题型二 用指定的方法解一元二次方程 6．（2024秋•新丰县期中）用指定方法解方程： （1）x2﹣4x＝8；（配方法） （2）2x2+3x﹣1＝0．（公式法） 7．（2024秋•宜兴市校级月考）用指定方法解方程． （1）x2﹣4x﹣1＝7（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）． 8．（2024秋•永春县期中）用指定方法解方程 （1）3（x+1）2＝12（直接开平方法）． （2）2x2﹣x﹣5＝0．（公式法） 9．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法） 题型三 用适当的方法解一元二次方程 10．（2024秋•莲湖区校级月考）解方程： （1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3； （2）x2﹣x﹣4＝0； （3）4（x﹣1）2﹣36＝0； （4）（x+1）（x﹣2）＝4． 11．（2024春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程： （1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8； （3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2． 12．用适当的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）． （3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0． 1、因式分解法解一元二次方程： （1）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的 的形式，再使这两个一次式分别 ，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）适用范围:一元二次方程为一般形式，方程一边为 ，另一边易于分解成两个一次因式的乘积. 依据:若a·b＝0， . 2、用因式分解法解一元二次方程的步骤: （1）移项:将方程的右边 ; （2）化积:将方程的左边因式分解为两个 ; （3）转化:方程转化为两个 ; （4）求解:解两个一元一次方程，写出方程 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4用因式分解法求解一元二次方程 导学案 1.理解用因式分解法解方程的依据； 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程； 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 学习重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程． 学习难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程． 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 我们已经学过哪些一元二次方程的解法? 直接开平方法、配方法、公式法. 2. 因式分解的主要方法有哪些? ①提公因式法: ②公式法: 平方差公式: 完全平方公式: ③十字相乘法: x2+(p+q)x+p q=(x+p)(x+q) 新知自研：自研课本第41--43页的内容． 【学法指导】 情景引入 问题:若 ,可以得到下面两个结论吗? 问题：若ab=0，可以得到下面两个结论吗？ （1）a和b都为0，即a=0，且b=0. （ × ） （2）a和b至少有一个为0，即a=0，或b=0.（ √ ） 思考：你能根据上边的正确结论解一元二次方程(x+1)(x－1)=0吗？ 自研课本P46-47页的内容，思考： ●探究一：因式分解法解一元二次方程 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程 x2 = 3x.但他们的解法各有不同. ◆1.议一议 (1) 他们做的对吗?为什么?你是怎么做的? 小颖和小亮的解法都是正确的，小明的解法是错误的. 小颖应用了公式法解方程，是正确的. 小明的解法是错误的，约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了根为0的情况. 小亮的方法是利用了方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式． (2) 对比小颖和小亮的方法，你有什么发现? 小亮的方法更简单，但是小颖的方法是万能的. ◆2.知识归纳 因式分解法解一元二次方程： （1）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）适用范围:一元二次方程为一般形式，方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积. 依据:若a·b＝0，则a＝0或b=0. . 练一练 1. 解下列方程: (1) 解: ， ， 或 ， ， (2) 解: ， ， 或 ， ， ●探究二：公式法解一元二次方程- 例：解方程: (1) ; （2） . 【解答】解:(1)这里, , 即, (2)将原方程化为一般形式,得 这里 , , 即 ◆2.知识归纳 用因式分解法解一元二次方程的步骤: （1）移项:将方程的右边化为0; （2）化积:将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; （3）转化:方程转化为两个一元一次方程; （4）求解:解两个一元一次方程，写出方程两个解. ●探究二：选用适当的方法解一元二次方程 ◆1.想一想：你能用因式分解法解下列方程吗? (1) 解: ， 或 ， ， (2) 解: ， 或 ， ， 思考：这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解? 还可以用直接开平方法解方程. 例题： 用适当的方法解方程: (1) 【分析】该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 【解答】解: ， ， 即 或 ， ， (2) 【分析】方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 【解答】解: 开平方，得 ， 解得，， ◆2.知识归纳 （1）一元二次方程的解法及适用类型: 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 (x+m)2 ＝n（n ≥ 0） 配方法 x 2 + p x + q = 0 （p 2 - 4q ≥0） 公式法 ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) 因式分解法 (x + m)（x + n）＝0 ◆2.知识归纳 一元二次方程的解法选择思路: （1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时()，应选用直接开平方法; （2）若常数项为0()，应选用因式分解法; （3）若一次项系数和常数项都不为0()，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法; （4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 练一练 2. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( B ) A. B. C. D. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1 ：用适当的方法解下列方程: (1) 【分析】出现了，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 【解答】整理，得， 开平方，得 ， 即 或 ， ， (2) 【分析】出现了，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法. 【解答】解:原方程变形为 ， 配方，得 ， 即 ， 可得 ， ， (3) 【分析】移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法. 【解答】解:整理，得， 因式分解，得， 可得 或 ， 即 或 ， ， (4) 【分析】方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法. 【解答】解: ，，， ， ， 即 ， 例2 ：一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 【分析】先由题意列出一元二次方程，然后解方程即可解答. 【解答】解:设这个数为 ，根据题意，得 ， ， ， ，或 ， ， 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用因式分解法解一元二次方程； B.交流例题的解题思路和易错点，规范解题过程. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1. 一元二次方程 的根是( C ) A. 1 B. 3 C. 1和3 D. 1和2 2. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长可以是( B ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 3. 经计算，整式 与 的积为 ，则一元二次方程 的根为( B ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 方程x 2 ＝| x |的 的根是 0，±1 . 5. 如果 ，那么 的值为 2 . 6. 若正数 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 5 . 7. 小华在解一元二次方程 时，只得出一个根是 ，则被她漏掉的一个根是 x=0 . 8. 用因式分解法解下列方程: (1) 解: ， ， ， 解得 ， (2) 解: ， ， 解得 ， (3) 解: ， ， ， 解得 ， 9. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程 的一个根，求这个三角形的周长. 解:解方程 ， ， 得 ，， 当 时，，不满足三角形三边关系， 不合题意，舍去， ∴这个三角形的周长为 . 题型一：用因式分解法解一元二次方程 1．（2024春•通州区期末）一元二次方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解完全正确的是（　　） A．x＝2 B．x1＝2，x2＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣1 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：x（x﹣1）＝2（x﹣1） （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 2．（2024春•东平县期末）已知方程（x﹣2）（3x+1）＝0，则x﹣2的值为（　　） A． B．0 C．﹣2 D．或0 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入x﹣2中，即可求出值． 【解答】解：（x﹣2）（3x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或3x+1＝0， 解得：， 当x＝2时，x﹣2＝0； 当时，． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 3．已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解 是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5 【分析】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4得到x+1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可． 【解答】解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程， ∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4， ∴x+1＝2或x+1＝﹣4， 解得x＝1或x＝﹣5， ∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 4．（2024秋•威县期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确 【分析】分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：∵x﹣1的符号不能确定， ∴依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解； 乙利用解一元二次方程﹣因式分解法， 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝1，计算正确； 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 5．用因式分解法解方程： （1）5x2+20x+20＝0； （2）（2+x）2﹣9＝0； （3）2（x﹣5）2＝x2﹣25； （4）（x﹣1）2+x（x﹣1）＝0． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）5x2+20x+20＝0， 化简得：x2+4x+4＝0， （x+2）2＝0， x1＝x2＝﹣2； （2）（2+x）2﹣9＝0， （2+x+3）（2+x﹣3）＝0， （5+x）（x﹣1）＝0， 5+x＝0或x﹣1＝0， x1＝﹣5，x2＝1； （3）2（x﹣5）2＝x2﹣25， 2（x﹣5）2＝（x+5）（x﹣5）， 2（x﹣5）2﹣（x+5）（x﹣5）＝0， （x﹣5）[2（x﹣5）﹣（x+5）]＝0， （x﹣5）（x﹣15）＝0， x﹣5＝0或x﹣15＝0， x1＝5，x2＝15； （4）（x﹣1）2+x（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣1+x）＝0， （x﹣1）（2x﹣1）＝0， x﹣1＝0或2x﹣1＝0， x1＝1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 题型二 用指定的方法解一元二次方程 6．（2024秋•新丰县期中）用指定方法解方程： （1）x2﹣4x＝8；（配方法） （2）2x2+3x﹣1＝0．（公式法） 【分析】（1）运用配方法即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝8， 配方得x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12， 开方得， 解得， 即，； （2）2x2+3x﹣1＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 7．（2024秋•宜兴市校级月考）用指定方法解方程． （1）x2﹣4x﹣1＝7（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）． 【分析】（1）运用完全平方公式配方即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝7， x2﹣4x＝8， x2﹣4x+4＝8+4， （x﹣2）2＝12， ， ， ，． （2）2x2﹣3x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17， x， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 8．（2024秋•永春县期中）用指定方法解方程 （1）3（x+1）2＝12（直接开平方法）． （2）2x2﹣x﹣5＝0．（公式法） 【分析】（1）把方程变形后用平方根定义可解得方程的解； （2）先算一元二次方程根的判别式，再代入求根公式即可． 【解答】解：（1）∵3（x+1）2＝12， ∴（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法和直接开平方法；解题的关键是掌握公式法和直接开平方法解一元二次方程． 9．用指定方法解下列一元二次方程 （1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法） （3）x2+x﹣1＝0（公式法） （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法） 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0， 移项，得 3（2x﹣1）2＝12， 两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4， 两边开平方，得2x﹣1＝±2， 移项，得2x＝1±2， 解得：x1，x2； （2）2x2﹣4x﹣7＝0， 两边都除以2，得x2﹣2x0， 移项，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+1，即（x﹣1）2， 解得：x﹣1＝±， 即x1＝1，x2＝1； （3）x2+x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x， 解得：x1，x2； （4）（2x﹣1）2﹣x2＝0， 方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得：x1，x2＝1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 题型三 用适当的方法解一元二次方程 10．（2024秋•莲湖区校级月考）解方程： （1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3； （2）x2﹣x﹣4＝0； （3）4（x﹣1）2﹣36＝0； （4）（x+1）（x﹣2）＝4． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用直接开平方法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝4x+3， x2﹣6x＝3， x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12， ∴x﹣3＝±2， ∴x1＝3+2，x2＝3﹣2； （2）x2﹣x﹣4＝0， x2﹣4x＝16， x2﹣4x+4＝16+4，即（x﹣2）2＝20， ∴x﹣2＝±2， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2； （3）4（x﹣1）2﹣36＝0， （x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x1＝4，x2＝﹣2； （4）（x+1）（x﹣2）＝4， x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0或x+2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 11．（2024春•金寨县期中）用适当的方法解下列方程： （1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8； （3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2． 【分析】（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可； （2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可； （3）直接利用公式法求解即可； （4）两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0， ∴7x（x﹣3）＝0， ∴7x＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝0，x2＝3； （2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝2，x2＝4； （3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44， ∴， ∴，； （4）将方程转化为3（x﹣2）＝±2（x+1）， ∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1）， 解得：x1＝8，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 12．用适当的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣6＝0． （2）（x+4）2＝5（x+4）． （3）3x2﹣1＝4x． （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0． 【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可； （4）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0， x2+4x＝6， 配方，得x2+4x+4＝6+4， （x+2）2＝10， 开方，得x+2， x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）（x+4）2＝5（x+4）， （x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x+4﹣5）＝0， x+4＝0，或x+4﹣5＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1； （3）3x2﹣1＝4x， 3x2﹣4x﹣1＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，x， 解得：x1，x2； （4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0， （x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0， x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 1、因式分解法解一元二次方程： （1）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）适用范围:一元二次方程为一般形式，方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积. 依据:若a·b＝0，则a＝0或b=0. 3、用因式分解法解一元二次方程的步骤: （1）移项:将方程的右边化为0; （2）化积:将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; （3）转化:方程转化为两个一元一次方程; （4）求解:解两个一元一次方程，写出方程两个解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$