第二章 5-6 一元二次方程的根与系数的关系 应用一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

5一元二次方程的根与系数的关系 要点提示 一元二次方程的根与系数的关系：设一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个实数根为1，x,则x十a= b a O1固县础】之 0卡++·0为 02提能力 知识点1利用根与系数的关系求两根之和 7.已知m,n是一元二次方程x2十x一2025=0 与两根之积 的两个实数根，则代数式m2+2m十n的 1.若无1，x2是方程x2一6.x一7=0的两个根 值为 () 则无1十x2一01·的值等于 ( ) A.2021B.2022C.2023 D.2024 A.6 B.-7C.13 D.-1 8.若关于x的方程x2十2(k十2)x十k2=0的 2.已知关于x的方程x十mx一20=0的一个 两个实数根之和大于一4，则k的取值范围 根是一4，则它的另一个根是 是 3.已知x1x2是方程2x2一3x十1=0的两根， A.>-1 B.k<0 则代数式年云的值为 C.-1<k<0 D.-1≤k<0 9.(2024烟台)若一元二次方程2x2一4x一1= 知识点2利用根与系数的关系确定代数 0的两根为m,n,则3m2一4m十n2的值为 式的值或字母的取值范围 4.已知关于x的一元二次方程x一(2m十3)x 10.已知关于x的一元二次方程x3一kx十k一3 十m2=0有两个不相等的实数根x,x2,且 =0的两个实数根分别为1，x2,且x十x 石十x2=x1·x2,则m的值为 =5,则k的值为 A.-1 B.3 11.(2024一2025抚州临川区月考)已知关于x C.3或-1 D.-3或1 的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2 5.关于x的一元二次方程x2+2x一2m+1=0 =0有两个不相等的实数根1，x2. 的两个实数根之积为负数，则实数m的取值 (1)求a的取值范围. 范围是 (2)若x1,x2满足x十x-x1x2=16,求a 的值 6.已知一元二次方程x2一3x十k=0的两个实 数根分别为x1,x2.若工1xa十2x1十2x2=1, 求实数飞的值 上册第二弹 6 应用一元二次方程 第1课时 一元二次方程在数字及几何问题中的应用 要点提示 面积、体积问题： )面积公式：Sw=ab,5w=d,5a=元R,5=ah (2)体积公或：V-abh,Vt-d,Van-元R,V:a一}R元 O1因县础念 知识点2利用一元二次方程解决动点问题 5.如图，在矩形ABCD中，AB 知识点利用一元二次方程解决几何图形 =10cm,AD=8cm.点P从 面积及数字问题 点A出发沿AB以2cm/s的 A- 1.如果两个连续偶数的积为288，那么这两个 速度向点B运动，同时点Q第5题国 数的和为 ( 从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C A.34 B.34或-34 运动，点P到达终点后，P,Q两点同时停止 C.35或-34 D.-34 运动.第 秒时，PQ的长为 2.(教材变式)某农场计划修 5 cm. 一条断面为等腰梯形的水 6.如下图，在△ABC中，∠C=90°，AC= 渠，其断面如图所示.断面 第2题围 16cm,BC=8cm.一动点P从点C出发沿 面积为0.65m2,上口比渠底宽1.4m,渠深 着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点 比渠底少0.1m,则渠底宽 Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速 3.如下图，用一根长为60cm的铁丝制作一个 度运动，P,Q两点同时出发，运动时间为t$ “日”字形框架ABCD,铁丝恰好全部用完. 若所围成的矩形框架ABCD的面积为 (I)若△PCQ的面积是△ABC的面积的}， 144cm2,则AB的长为多少厘米？ 则t的值为 (2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的 面积相等？若能，求出t的值；若不能，请说 明理由 4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字 的平方少9.如果把十位上的数字与个位上 的数字对调，得到的两位数比原来的两位数 小27，求原来的两位数 数学九年级BS版 02提能力 (1)请用含x的代数式表示正方形的边长 为 m 7.空地上有一段长为am的旧墙MN,利用旧 (2)求小路的宽x和矩形空地的面积. 墙和木栏围成一个矩形菜园（如图①或图 ②).已知木栏总长为40m,所围成的菜园面 积为Sm2.下列说法错误的是 绿化区境 绿化区城 M 拉a整空 烧达整止 单位：四 图① 图2 第7题图 A.若a=16,S=196,则有一种围法 B.若a=20,S=198,则有一种围法 C.若a=24,S=198,则有两种围法 D.若a=24,S=200,则有一种围法 ，0，。◆4。++ 03拓思维 8.如图，有一块长90m、宽60m的长方形绿 12.如右图，一艘轮船以 地.在绿地中开辟两条宽为am,bm的道 l0 n mile/h的速度由西向 路，使得a:b=2:3,开辟道路后剩余绿地 东航行，在途中接到台风 的面积为5046m2,则b的值为 警报，台风中心正以 A.1 B.2 C.3 D.4 20 n mile/h的速度由南向北移动，距台风 中心l0 n mile的圆形区域（包括边界）都 属于台风区域.当轮船航行到点A处时， B 第8题图 第10围 测得台风中心已经移动到位于点A正南 9.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字 方向的点B处，且AB=50 n mile.若这艘 大3，百位上的数字等于个位上的数字的平 轮船自点A处按原速度继续航行，在途中 方.如果这个三位数比它个位上的数字与十 是否会遇到台风？若会，请求出轮船最初 位上的数字的积的25倍大202，则这个三位 遇到台风的时间：若不会，请说明理由， 数是 10.如图，要建造一个直角梯形花 圃，要求AD边靠墙，另外三边 的和为20m,CD⊥AD,ABt CD=5;4.若该花圃的面积为40m,则 AB的长为 11.如下图所示，某校准备对一块矩形空地进 行绿化，空地的宽为12m,在空地上建两个 大小相同的正方形绿化区域和宽度相同的 “T”字形的小路，且绿化区域的总面积为 242m3. 上册第二章 33 第2课时 一元二次方程在营销及其他问题中的应用 要点提示 平均增长（降低）率问题： (1)增长率问题的规律：设美数为4，平均增长率为x,划增长一次后的值为a(1十x),增长两次后的值为a(1十 x)8,….依此类推，增长次后的值为a(1十x)"; (2)降低单问题的规律：设某数为a,平均降低率为x,则降低一次后的值为a(1一x),降低两次后的值为a(1一 x)”,….依此奥狼，降低程次启的值为a(1一x)", 解决销售问题常用的关系式：1)利润=售价一进价；2)利润率一利海×100%-售价进价×100%，(3)售价 进价 进价 =进价×(1十利涧率)：(4)总利润=单个利润×销售量=总收入一总支出， O1因基础 期的利润为6120元，则每件商品应降价 ( 知识点平均增长（降低）率问题 A.3元 B.2.5元 1.(2024云南)两年前生产1kg甲种药品的成 C.2元 D.1.5元 本为80元，随着生产技术的进步，现在生产 5.古代数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记 1kg甲种药品的成本为60元.设甲种药品 载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人 成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方 去买几株橡.每株脚钱三文足，无钱准与一 程正确的是 ( A.80(1-x2)=60B.80(1-x)2=60 株橡.”其大意为现请人代买一批椽，这批橡 C.80(1-x)=60D.80(1-2x)=60 的价钱为6210文，如果每株橡的运费是3 2.(2024一2025武汉期中)为促进消费，某地方 文，那么少拿一株椽后，剩下的橡的运费恰 政府开展发放政府补贴消费的“消费券活 好等于一株像的价钱.试问6210文能买多 动”.某商场的月销售额逐步增加，据统计8 少株橡？设这批橡的数量为x株，则符合题 月份的销售额为300万元，接下来9月、10 意的方程是 ( 月的月增长率相同，10月份的销售额为700 A.3(x-1)x=6210B.3(x-1)=6210 万元.若设9月、10月每月的增长率为x,则 C.(3x-1)x=6210D.3x=6210 可列方程为 知识点3单双循环、传播等问题 3.(2024一2025广州期中)新能源汽车已逐渐 6.参加足球友谊赛的每2支球队之间都要进 成为人们喜爱的交通工具.据某品牌新能源 行1场比赛，共比赛了21场.设参加比赛的 汽车经销商8月份至10月份统计，该品牌 球队有x支，根据题意，下面列出的方程正 新能源汽车8月份销售1000辆，10月份销 确的是 售1690辆.设月平均增长率为x,根据题意 可列方程为 A2x+D=21 B2(x-1D=21 知识点2销售问题 C.x(x+1)=21 D.x(x1)=21 4.某商品的进价为每件40元，当售价为每件 7.有1个人患了流行性感冒，经过两轮传染后 60元时，每星期可卖出300件，为占有市场 共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中 份额，现需降价处理，且经市场调查，每降价 平均1个人传染的人数是 ) 1元，每星期可多卖出20件.现在要使每星 A.14 B.11 C.10 D.9 数学九年级BS版 02提能力© (2)若该连锁超市想要获得9万元的日均 销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？ 8.毕业前夕，九(1)班的学生每人与其他每一名 (3)该超市的日均销售利润能否达到13万 学生互赠1件礼物，作为珍贵的纪念.全班共 元？请说明理由。 赠出1980件礼物，那么九(1)班共有学生 () A.40人B.42人C.44人D.45人 9.某商店以每件16元的价格购进一批商品， 根据规定，每件商品的利润不得超过30%. 若每件商品的售价定为x元，则可卖出(170 一5x)件.如果商店预期要盈利280元，那么 每件商品的售价应定为 ( ) A.20元 B.20.8元 C.20元或30元 D.30元 10.某菜农在某年10月底投资1600元种植大 棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400kg,当天 O3拓思维 就可以按6元/千克的价格售出.若将所采 12.篮球作为越来越多区域的中考体育项目， 摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失 受到了广大中学生的喜爱.某品牌篮球年 10kg,且每天需支付各种费用共40元，但每 初时的售价为150元/个，经过两次降价 天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不 后，现在的售价为96元/个， 超过10天).若该菜农想获得1175元的利 (1)求从年初到现在该品牌篮球售价平均 润，则需要将采摘的黄瓜储藏 天 每次降价的百分率。 11.某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌 (2)现某校准备购进150个篮球，购买时发 牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不 现该品牌篮球在甲、乙两个商店有不同的 高于5.5元.经市场调研发现，牙膏的日均 促销方案：甲店全场九折，乙店买十送一 销售量y(单位：万支)与销售单价x(单位： 请问去哪家店购买合算？ 元)之间存在着如下图所示的关系， (1)求牙膏的日均销W万麦↑ 12 售量y关于销售单价 A(3.5.10.5) x的函数表达式（写出 x的取值范围). 01234567元 上册第二章1±1+12_1士13 6 6 西-1+ 6 3,61-13 6 第2课时 公式法的应用 1.A2.0.25 3.解：设自行车车糊的宽为xm,则长为(38一2x)m. (1)根据题意可列方程x(38一2x)=180, 解得x1=10,x1=9. 当x=10时，38-2x=18: 当x=9时，38-2x=20,而墙长为19m,不符合题意， 舍去 故若围成的自行车车糊的面积为180m,自行车车棚 的长和宽分别为18m,10m. (2)不能.理由：根据题意，得x(38一2x)=200, 整理，得x2-19x十100=0 △=方-4ac=361-400=-39<0, ,此方程没有实数根 故不能围成面积为200m的自行车车得. 4.B5.B6.4-23 7.解：设DG的长是xm,则CG=2DG=2xm,AD= 3(42-3x)=(14-x)m. 依题意，得3x·(14-x)-2xX1=100, 整理，得3x2-40x十100=0， 解得-10 x=10(不符合题意，舍去). 放DG的长是m 8.解：(1)不符合，理由：设小路的宽度均为xm 根据题意，得(16-2)12-2)-号×12×16， 解得x1=2,x=12(不符合题意，舍去)， ∴，x=2,即小路的宽度应该均为2m 故小芳的方案不符合条件。 (2)示例： 16m 如图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边长的 两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积 等于矩形面积的一半， 4用因式分解法求解 一元二次方程 1.B2.B3C45=7,4-5.15 6.(1)④(2)②(3)①(4)③ 7.解：(1)原方程可变形为(2x-3)2-9(x十2)°=0， ,.[(2x-3)+3(x+2)][(2x-3)-3(x+2)]=0, 即(5x+3)(-x-9)=0, ∴.5x+3=0或-x-9=0, 176 数学九年级B$版 三西=二9 (2)配方，得x-6x+9=1十9， 即(x-3)2=10, .x-3=士√10， ,.x1=3+/10,x8=3-/10. 8.解：不正确.正确的解题过程如下： 3x(x一1)=2(x-1),移项，得3x(x-1)一2(x一1)= 0,因式分解，得(3x-2)(x-1)=0, 2 3x-2=0或x-1=0,=3西=1 9.A10.D11.112.0 13.解：(1)原式可变形为x(x-7)-8(7-x)=0, .x(x-7)+8(x-7)=0, ,(x-7)(x十8)=0， 解得x1=7,xa=一8. (2)整理，得x2+2x-3=0, 配方，得(x+1)2=4, 两边开平方，得x十1=士2， 解得x1=1,x2=-3. (3)移项，得3x-6x=-√5， 两边同除以3，得x2一2,3x=-1, 配方，得x2-25x+(W3)2=-1+(3),即(x 5)2=2, 两边开平方，得x一√3=士√2， 解得x1=√3+区，x=√-2. 14.解：a(x-m)2-2a(xm)=0, .a(x-m)(x-m-2)=0. :<1< =m,x=m+2, ∴.m<1,m+2>1, 解得一1<m<1. 15.解：分两种情况讨论：当x≥一2时， x@(-2)=10, .x2+x-2=10,即x2+x-12=0, .(x+4)(x-3)=0, .x+4=0或x-3=0, 解得1=-4（舍去），x=3: 当x<-2时，x☒(-2)=10， .(-2)+x-2=10,解得x=8(舍去). 综上所述，实数x的值为3. 16.解：(1)3-9x2+2m.x-3m2=0m-3m (2)由(1)可知，x十8x-48=0为方程4， .方程的解为x1=4,=一12， ·5一元二次方程的根与系数的关系 1.C25314B5.m>号 6.御：”x1十x=3,马1x=k, ·x+2名+2x-x1x十2（名1+x2)一k+6=1, ∴，k=-5. 7.D8.D9.610.1 11.解：(1)关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x十a 一一2=0有两个不相等的实数根， ,.△=[-2(a-1)]-4(a°-a-2)>0,解得a<3. (2)关于x的-一元二次方程x2一2(a一1)x十a2一a -2=0, ∴，x1十x1=2(a-1),x1x4=a°-a-2. ,x十x-x1xa=16, .(1+xm)2-3x1x4=16,即[2(a-1)]-3(a-a -2)=16,解得a1=-1,a=6.:a<3,a=-1. 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程在数字 及几何问题中的应用 1.B2.0.6m 3.解：设AB的长为xcm. 根据题意，得03，工-144. 2 解得x1=12,x1=8: ,.AB的长为12cm或8ctm. 4.解：设原来的两位数个位上的数字为x,则十位上的数 字为x-9, 由题意，得10(x-9)+x-10x-(x2-9)=27,解得 x1=4,x=一3（不符合题意，舍去），.x2-9=7, .10(x2-9)十x=74.故原来的两位数为74. 5.3或5 6.解：(1)2 (2)△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等 理由如下： 当△PCQ的面积与四边形ABPQ的面积相等时， 5aw=号5ae,p号×2(16-40=64× 整理，得2一4t十8=0. :△=(-4)2-4×1×8=-16<0， ∴.此方程没有实数根， .△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等 7A8.C9.452109n或10m 11.解：(1)(12-x) (2)根据题意，得（12-x)=号×242，即2-24x十 23=0,解得x1=1,x4=23(不符合题意，舍去)： .小路的宽为1m, .矩形空地的面积为12×(11+11+1)=276(m). 12.解：不会遇到台风.理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，且最初遇到台风时轮 船从点A处开始航行了th,此时轮船位于点C处， 台风中心移动到点E处，连接CE,则AC= 10t n mile,AE=AB-BE=(50-20tn mile. AC+AE=EC, .(10t)2+(50-20t)2=102 整理，得5f-20t十24=0. A=(-20)2-4×5×24=-80<0, ,方程无实数根， 轮船在途中不会遇到台风。 北 B 第2课时一元二次方程在 营销及其他问题中的应用 1.B2.300(1+x)2=7003.1000(1+x)2=1690 4.A5.A6.B7.B8.D9.A10.5 11.解：(1)设牙誉的日均销售量y关于销售单价x的函 数表达式为y=x十b(k≠0)，将(3.5,10.5)，(5,6) 代人y一x十6，得很.5张+-10,5”解得k-3, 15k+b=6, 1b=21, ,牙膏的日均销售量y关于销售单价x的函数表达 式为y=-3x+21(3≤x≤5.5). (2)根据题意，得(x一3)（一3x十21）=9， 整理，得x一10x+24=0, 解得名1=4，x=6. 3≤x≤5.5，.x=4 故牙膏的销售单价应定为4元 (3)该超市的日均销售利润不能达到13万元.理由 如下： 假设该超市的日均销售利润能达到13万元，根据题 意，得(x-3)(-3x+21)=13, 整理，得3x-30x十76=0. ,△=900-4×3×76=-12<0. ,原方程没有实数根， 假设不成立，即该超市日均销售利润不能达到13 万元 12.解：(1)设从年初到现在该品牌篮球售价平均每次降 价的百分率为x 依题意，得150(1-x)2=96, 解得=0.2=20%，x=1.8(不符合题意，舍去). 故从年初到现在该品难篮球售价平均每次降价的百 分率为20%. (2)乙店买十送一，设只需在乙店购买m个篮球 依题意，得器十m=150,解得m=1500 11 136<1500<137, 11 ∴只需在乙店购买137个篮球， 在甲店购买所需费用为96×0.9×150=12960（元）， 在乙店购买所需费用为96×137-13152（元）. :12960<13152,.去甲店购买合算. 本章小结 1.A2.A3.C4.B5.16 6.解：x=一1是一元二次方程x十ax+b=0的一 个根， ,.1-a十b=0,,.a-b=1 ,∴.a2+b-2ab-2 177 上册参考答案