16.1第2课时　幂的乘方与积的乘方课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十六章　整式的乘法 16.1　幂的运算 第2课时　幂的乘方与积的乘方 思考： (32)3表示_______个_______相乘. (a2)3表示_______个_______相乘. (am)3表示 个_______相乘. 3 32 3 a2 3 am 新知探究 探究一：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (32)3=32×32×32 = 3( ) (2) (a2)3=a2·a2·a2 = a( ) (3) (am)3=am·am·am = a( ) (m是正整数) 6 6 3m 新知探究 思考：对于任意底数 a 与任意正整数m，n.(am)n =？ (am)n =am•am•…•am =am + m +…+m =amn n个am n个m 幂的乘方法则：(am)n=______.(m，n都是正整数) 即：幂的乘方，底数_____，指数_____. amn 不变 相乘 新知探究 例1 计算： (1) (103)5 (2) (a4)4 (3) (am)2 (4) -(x4)3 解：(1) (103)5=103×5=1015 (2) (a4)4=a4×4=a16 (3) (am)2=am×2=a2m (4) -(x4)3=-x4×3=-x12 典例精析 运算性质 公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 底数不变 底数不变 指数相加 指数相乘 am·an=am+n (am)n=amn 同底数幂的乘法和幂的乘方的联系与区别： 归纳总结 1.填一填：(1) a10 =(a2)(   )=(a5)(  ) (2) 若am =3，那么：a2m = = . 幂的乘方法则的逆用： 想一想：amn可以写成什么形式？ amn = (am)n= (an)m 5 2 (am)2 9 探究二： 填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？ （1）(ab)2=(ab)•(ab)=(a•a)•(b•b)=a( )b( ) （2）(ab)3= = =a( )b( ) 2 2 (ab)•(ab)•(ab) (a•a•a)•(b•b•b) 3 3 那么，(ab)n=？（n为正整数） 新知探究 思考：积的乘方(ab)n =? (ab)n 即：(ab)n=anbn (n为正整数) =(ab)· (ab)· ··· ·(ab) =(a·a···a)·(b·b···b) =anbn n个ab n个a n个b 新知探究 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n =anbn（n为正整数） 积的乘方法则： 推广：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数） 新知探究 积的乘方的性质可以逆用，即anbn= (ab)n（n为正整数）. 重点： (1)在积的乘方中，底数中的a，b可以是单项式，也可以是多项式； (2)在进行积的乘方的运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项. 新知探究 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （am）n=amn (m,n都是正整数） 积的乘方 幂的乘方法则的逆用： amn=(am)n=(an)m 课堂小结 (ab)n=anbn（n为正整数）. 积的乘方法则的逆用： anbn=(ab)n（n为正整数）. 1. 下列各式中，结果等于x3m＋3的是（　A　） A. （x3）m＋1 B. x·（xm）3 C. （x3）m·x D. （x2m＋1）2 A 2. 计算 的结果是（　D　） A. －2x6y3 B. x6y3 C. － x5y3 D. － x6y3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 已知2m＝5，3m＝2，则6m的值为（　B　） A. 7 B. 10 C. 25 D. 32 4. 已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝ ⁠. B 12　 5. 易错题　计算： （1） －（－x3）3·（－x2）2－x4·（－x3）3. 解：原式＝x9·x4－x4·（－x9）＝x13＋x13＝2x13. （2） （x4）2＋（x2）4－x（x2）2·x3－（－x）3·（－x2）2·（－x）. 解：原式＝x8＋x8－x8－x8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 计算： （1） （－x4y2）3－ . 解：原式＝－x12y6－ x12y6＝－ x12y6. （2） （－2a）6－（－3a3）2＋[－（2a）2]3. 解：原式＝64a6－9a6＋（－4a2）3＝64a6－9a6－64a6＝－9a6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，则这四个数按从小到大的顺 序排列是（　B　） A. a＜b＜c＜d B. d＜a＜c＜b C. a＜d＜c＜b D. b＜c＜a＜d B 8. 如果 ＝a10b15，那么3m（n2＋1）的值为（　D　） A. 0 B. 8 C. 12 D. 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （1） 已知a2n＝2，则（2a3n）2－3（a2）2n的值为 ⁠. （2） 已知a＝5，b＝－ ，n为正整数，则a2n＋2·b2n·b4的值为 ⁠. 20　 　 10. 已知4x＝6，2y＝8，8z＝48，则x，y，z之间满足的等量关系 是 . 11. 已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a＋4b的最小值为 ⁠. 2x＋y＝3z　 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⁠ 12. （1） 已知a3m＝3，b3n＝2，求（a2m）3＋（bn）3－a2m·bn·a4m·b2n的值. 解：原式＝a6m＋b3n－a6m·b3n＝（a3m）2＋b3n－（a3m）2·b3n.当 a3m＝3，b3n＝2时，原式＝9＋2－9×2＝－7. （2） 已知（16a3）2× ＝5，求a12的值. 解：∵ （16a3）2× ＝5，∴ 256a6× ＝5.∴ a6＝5.∴ a12＝ （a6）2＝52＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 化简：（－a2）n－2·（－an＋1）3·a＋a3n·[（－a2）n＋（－an）2] （n为大于2的正整数）. 解：当n为大于2的奇数时，原式＝－a2n－4·（－a3n＋3）·a＋a3n·（－ a2n＋a2n）＝a2n－4＋3n＋3＋1＝a5n.当n为大于2的偶数时，原式＝a2n－ 4·（－a3n＋3）·a＋a3n·（a2n＋a2n）＝－a2n－4＋3n＋3＋1＋2a5n＝－a5n ＋2a5n＝a5n.综上所述，原式＝a5n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 已知2a＝5b＝10c，求证：ab＝ac＋bc. 解：设2a＝5b＝10c＝k，则 10ab＝2ab×5ab＝（2a）b×（5b）a＝ kb·ka＝ka＋b，10ac＋bc＝（10c）a＋b＝ka＋b.∴ 10ab＝10ac＋bc.∴ ab＝ ac＋bc. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2025·沈阳期中）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们 把m叫作n的D数，记作m＝D（n）. （1） 填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ⁠. 1　 4　 （2） 已知D数有如下运算性质：D（s·t）＝D（s）＋D（t）； D ＝D（q）－D（p），其中q＞p.根据运算性质，解决下列问题： ① 若D（a）＝1，求D（a3）. 解：① D（a3）＝D（a2·a）＝D（a2）＋D（a）＝D（a·a）＋D （a）＝D（a）＋D（a）＋D（a）＝1＋1＋1＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ② 若D（3）＝2a－b，D（5）＝a＋c，试求D（15），D ，D （108），D 的值（用含a，b，c的代数式表示）. ② D（15）＝D（3×5）＝D（3）＋D（5）＝（2a－b）＋（a＋ c）＝3a－b＋c.D ＝D（5）－D（3）＝（a＋c）－（2a－b） ＝－a＋b＋c.D（108）＝D（3×3×3×2×2）＝D（3）＋D（3） ＋D（3）＋D（2）＋D（2）＝3×D（3）＋2×D（2）＝3×（2a －b）＋2×1＝6a－3b＋2.D ＝D（27）－D（20）＝D （3×3×3）－D（5×2×2）＝D（3）＋D（3）＋D（3）－[D（5） ＋D（2）＋D（2）]＝3×D（3）－[D（5）＋2D（2）]＝3×（2a－ b）－（a＋c＋2×1）＝6a－3b－a－c－2＝5a－3b－c－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$