精品解析：甘肃省渭源县第二中学2026届高三第一次模拟考试数学试题

渭源县第二高级中学高三第一次模拟考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据题干的条件即可求出. 【详解】由题干知，，，，， 则，即，所以实数的取值范围是. 故选：B． 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算结合复数的模长公式求解即可. 【详解】， 则. 故选：C. 3. 已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解. 【详解】，则向量， 则在的投影向量为， 故选：A． 4. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：A 5. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合两角和余弦公式可得，两边平方可求，根据同角三角函数关系可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 两边平方，可得，又， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 252 B. 162 C. 126 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：先求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案. 方法2：将变形为，求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案. 【详解】方法1：的通项公式为， 分别令可得，，， 所以的展开式中含的项为， ∴的系数为． 方法2：由， 的通项公式为， 分别令可得项的系数分别为， 所以的展开式中含的项为 所以的系数为． 故选：B． 7. 2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 16800 C. 14280 D. 25200 【答案】B 【解析】 【分析】先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可. 【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式． 若是3，1，1，1，1，则有种； 若是2，2，1，1，1，则有种． 所以共有种. 故选：B． 8. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 10. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. C. D. 点到轴的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形， 因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误； 对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列， 因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】对求导得，，切点为， 故切线方程为，即． 故答案为： 13. 已知函数，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为： 14. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，即可根据条件列不等式求解. 【详解】由已知得，得． 令得；令得；令得；令得；令得， ，即的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）已知，求边上的中线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到； （2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则． 由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 17. 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． （1）补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ （3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下： 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 （2） 能 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件即可完成列联表； （2）由独立性检验知识可以完成判断； （3）依据组合的知识和古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 首次活动劳动技能提升的学生人数70%人； 首次活动劳动技能未提升的学生人数人； 第二次活动劳动技能提升的学生人数为人； 第二次活动劳动技能未提升的学生人数人， 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 【小问2详解】 零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过. 【小问3详解】 抽取的名学生中劳动技能得到提升的人数为人，抽取的名学生中劳动技能未得到提升的人数为人， 记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件，则. 18. 已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点． （1）求C的方程； （2）若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）过定点，定点坐标； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和双曲线上的点结合，解得，即可得出答案； （2）（ⅰ）设， 方法一：由，设，得直线即的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理求得，写出直线的方程，进而可得，分和两种情况，得直线的方程即可得直线所过的定点； 方法二：设直线的方程为，一方面，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到；另一方面，写出直线的方程，进而得到的坐标，再由得到.从而有，即可得到直线所过的定点. （ⅱ）由（ⅰ）结合得到在双曲线的右支上根据渐近线方程得到，通过换元并利用导数可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为离心率，所以，而，所以． 所以双曲线的方程为． 将点代入双曲线方程，得，所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）直线过定点． 由双曲线的方程可知，设． 方法一：由，可设，则直线即的方程为． 联立整理得. 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以． 所以，即． 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以， 所以. ∴． 当时，直线的斜率 ． 直线的方程为． 化简整理得，直线过定点． 当时，，即， 解得．直线也过定点． 综上，直线过定点． 法二：设直线的方程为，联立 整理得， 则． 所以． 直线．令，得． 直线，令，得． 由，得， 即， 所以． 即． 因为， 所以． 整理可得． 所以，所以直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点， 则． 由（ⅰ）知， ∴． 又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为． 所以． 令，则， 于是． 令，，则，在单调递减， 所以在单调递增， 当，即时，取得最小值． 所以的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，根据导数求得最小值后可得，即可求得的单调区间； （2）求导，要使当时，成立，则，再分，，三种情况，结合导数证明即可. 【小问1详解】 当时，的定义域为， ，显然， 令，， 则，令，则， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由，， 则，因为， 所以要使当时，，则必须满足，即． 下面证明：． 当时，， 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以，即当时，； 而当时，令，， 则，故在上单调递增， （ⅰ）当时，，， 所以存在，使得， 又在上单调递增， 所以当时， 即在上单调递减，所以； （ⅱ）当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭源县第二高级中学高三第一次模拟考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 252 B. 162 C. 126 D. 36 7. 2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 16800 C. 14280 D. 25200 8. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. C. D. 点到轴的距离为 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为________． 13. 已知函数，若，则实数的值为______． 14. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）已知，求边上的中线的长. 16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 17. 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． （1）补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ （3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点． （1）求C的方程； （2）若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $