第21章 一元二次方程 课件2025-2026学年 人教版（2024）九年级数学上册

第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课堂讲练 返回目录 知识点　用直接开平方法解方程 例1　用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝49；　　　　 解：根据平方根的意义，得x＝±7， 即x1＝7，x2＝－7. (2)x2－3＝0. 解：整理，得x2＝3. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 训练　1.用直接开平方法解下列方程： (2)x2－4＝4. 解：整理，得x2＝8. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 例2　用直接开平方法解下列方程： (1)4x2＝9；　　　　 解：整理，得x2＝15. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 训练　2.用直接开平方法解下列方程： 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 (2)4x2－13＝12. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 例3　用直接开平方法解下列方程： (1)(x－1)2＝4；　　　　 解：根据平方根的意义，得x－1＝±2， 即x－1＝2，或x－1＝－2. 于是，方程(x－1)2＝4的两个根为x1＝3，x2＝－1. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 (2)3(x＋3)2＝27. 解：整理，得(x＋3)2＝9. 根据平方根的意义，得x＋3＝±3， 即x＋3＝3，或x＋3＝－3. 于是，方程3(x＋3)2＝27的两个根为x1＝0，x2＝－6. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 训练　3.用直接开平方法解下列方程： (1)(1－x)2＝0.81；　　　　 解：根据平方根的意义，得1－x＝±0.9， 即1－x＝0.9，或1－x＝－0.9. 于是，方程(1－x)2＝0.81的两个根为x1＝0.1，x2＝1.9. (2)10(2－x)2＝0. 解：整理，得(2－x)2＝0. 根据平方根的意义，得2－x＝0. 于是，方程10(2－x)2＝0的两个根为x1＝x2＝2. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 例4　解方程：2(1－x)2－24＝0. 解：整理，得(1－x)2＝12. 于是，方程2(1－x)2－24＝0的两个根为 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 解：整理，得(2x－5)2＝16. 根据平方根的意义，得2x－5＝±4， 即2x－5＝4，或2x－5＝－4. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 　用直接开平方法解方程的一般步骤：(1)移项、方程两边都除以“系数”，把方程整理为x2＝p或(x＋h)2＝p的形式．(2)若p>0，则方程有两个不等的实数根；若p＝0，则方程有两个相等的实数根；若p<0，则方程无实数根． 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 课堂检测 返回目录 1．方程x2＋1＝2的解是 (　　) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为 (　　) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 3．若关于x的一元二次方程x2＋3＝c有实数根，则常数c的值可以是________________．(写出一个即可) D C 4(答案不唯一) 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 4．解下列方程： (1)9x2＝1； 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 (2)3x2－5＝7； 解：整理，得x2＝4. 根据平方根的意义，得x＝±2， 即x1＝2，x2＝－2. (3)(1－2x)2＝225. 解：根据平方根的意义，得1－2x＝±15， 即1－2x＝15，或1－2x＝－15. 于是，方程(1－2x)2＝225的两个根为x1＝－7，x2＝8. 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 能力提升 5．【整体思想】(2024深圳期中)关于x的一元二次方程(x＋h)2＋k＝0(h，k均为常数)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程(x＋h－3)2＋k＝0的解是_______________． 6．【代几综合】已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长x满足方程(x－3)2＝4，则此三角形的周长为_____． x1＝0，x2＝5 15 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 思维拓展 7．【拓展延伸】解方程：(y＋2)2＝(3y－1)2. 解：根据平方根的意义，得|y＋2|＝|3y－1|， 即y＋2＝3y－1，或y＋2＝－(3y－1). 第2课时　解一元二次方程(直接开平方法) 返回目录 类型1　形如x2＝p(p≥0)，则x＝± 根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. 即x1＝2，x2＝－2. (1)x2＝；　　　　 解：根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. 根据平方根的意义，得x＝±2， 根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. 解：整理，得x2＝. 根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. (2)x2－5＝0. (1)2x2－＝0；　　　　 解：整理，得x2＝. 根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. 解：整理，得x2＝. 根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. 类型2　形如(x＋h)2＝p(p≥0)，则x＋h＝± 根据平方根的意义，得1－x＝±2， 即1－x＝2，或1－x＝－2. x1＝1－2，x2＝1＋2. 训练　4.解方程：(2x－5)2－3＝5. 于是，方程(2x－5)2－3＝5的两个根为 x1＝，x2＝. 解：整理，得x2＝. 根据平方根的意义，得x＝±， 即x1＝，x2＝－. 于是，方程(y＋2)2＝(3y－1)2的两个根为y1＝，y2＝－. $$ 第4课时　解一元二次方程(公式法) 知识导学 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 能用公式法解数字系数的一元二次方程．(抽象能力、运算能力、模型观念、推理能力) 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 知识导学 返回目录 1．(衔接回顾)将一元二次方程x2－2＝3x化成一般形式为_______________，其中a＝____，b＝______，c＝______． 2．请用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 解：移项，得_______________． 二次项系数化为1，得________________． 配方，得__________________________，即________________． 一元二次方程的求根公式 其中，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，可用“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. x2－3x－2＝0 1 －3 －2 ax2＋bx＝－c 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点　用公式法解一元二次方程 类型1　Δ>0⇒x1≠x2 例1　用公式法解方程：x2＋5x＋3＝0. 解：a＝1，b＝5，c＝3. Δ＝b2－4ac＝52－4×1×3＝13>0. 方程有两个不等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 训练　1.用公式法解方程：3x2＋2x＝1. 解：方程化为3x2＋2x－1＝0. a＝3，b＝2，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝22－4×3×(－1)＝16＞0. 方程有两个不等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 方程有两个相等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 训练　2.用公式法解方程：x2＝3(2x－3). 解：方程化为x2－6x＋9＝0. a＝1，b＝－6，c＝9. Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0. 方程有两个相等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 类型3　Δ＜0⇒方程无实数根 例3　用公式法解方程：3x2＋2x＝7x－4. 解：方程化为3x2－5x＋4＝0. a＝3，b＝－5，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0. 方程无实数根． 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 方程无实数根． 　用公式法解一元二次方程的一般步骤： 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 A．3x2＋2x－1＝0　 B．2x2＋4x－1＝0　 C．－x2－2x＋3＝0　 D．3x2－2x－1＝0 2．(2024佛山期中)若关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根，则下列各式中一定成立的是 (　　) A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0 C．p2－4q＞0 D．p2－4q＜0 D A 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 3．用公式法解下列方程： (1)x2－3x－3＝0； 解：a＝1，b＝－3，c＝－3. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21＞0. 方程有两个不等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 (2)x2＋4＝4x； 解：方程化为x2－4x＋4＝0. a＝1，b＝－4，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0. 方程有两个相等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 (3)x(2x＋3)＋6＝0. 解：方程化为2x2＋3x＋6＝0. a＝2，b＝3，c＝6. Δ＝b2－4ac＝32－4×2×6＝－39＜0. 方程无实数根． 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 能力提升 4．用公式法解下列方程： (1)x2＋6x＋8＝8x＋11； 解：方程化为x2－2x－3＝0. a＝1，b＝－2，c＝－3. Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0. 方程有两个不等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 (2)x(x－4)＝2－8x. 解：方程化为x2＋4x－2＝0. a＝1，b＝4，c＝－2. Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0. 方程有两个不等的实数根 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 A．m B．－m C．2m D．－2m D 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 思维拓展 6．【数形结合】如图1，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A对应的数是2x－1，点B对应的数是x2＋x.若AB＝5，则x的 值为_____． 第4课时　解一元二次方程(公式法) 返回目录 由此可得x＝(b2－4ac≥0). x2＋x＝－ x2＋x＋＝－＋ ＝ x＝＝， 即x1＝，x2＝. x＝＝＝， 即x1＝，x2＝－1. x1＝x2＝－＝－＝－2. 类型2　Δ＝0⇒x1＝x2＝－ 例2　用公式法解方程：x2＋2x＝－2. 解：方程化为 x2＋2x＋2＝0. a＝，b＝2，c＝2. Δ＝b2－4ac＝22－4××2＝0. x1＝x2＝－＝－＝3. 训练　3.用公式法解方程：2x2－x＋1＝0. 解：a＝2，b＝－，c＝1. Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×2×1＝－3＜0. 1．(2024东莞期中)若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是 (　　) x＝＝＝， 即x1＝，x2＝. x1＝x2＝－＝－＝2. x＝＝＝＝1±2，即x1＝3，x2＝－1. x＝＝＝－2±， 即x1＝－2＋，x2＝－2－. 5．若关于x的方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0)，则b＋＝ (　　) $$ 第3课时　解一元二次方程(配方法) 知识导学 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程．(抽象能力、运算能力、模型观念) 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 知识导学 返回目录 1．(衔接回顾)完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝__________； a2－2ab＋b2＝__________． 2．(衔接回顾)填空： (1)x2＋8x＋_____＝(x＋____)2； (2)x2－6x＋____＝(x－____)2； (3)x2＋5x＋_____＝(x＋_____)2., (a＋b)2 (a－b)2 16 4 9 3 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 3．用配方法解方程：x2＋4x－5＝0. 解：移项，得x2＋4x＝____． 配方，得x2＋4x＋____＝5＋____， 即(_______)2＝____． 两边开平方，得____________， 即__________，或____________． 所以x1＝____，x2＝______． 5 4 4 x＋2 9 x＋2＝±3 x＋2＝3 x＋2＝－3 1 －5 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点　用配方法解一元二次方程 类型1　a＝1，b为偶数 例1　用配方法解方程：x2＋2x－2＝0. 解：移项，得x2＋2x＝2. 配方，得x2＋2x＋12＝2＋12，(x＋1)2＝3. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 训练　1.用配方法解方程：x2－15＝14x. 解：移项，得x2－14x＝15. 配方，得x2－14x＋72＝15＋72， (x－7)2＝64. 由此可得x－7＝±8， x1＝15，x2＝－1. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 类型2　a＝1，b为奇数 例2　用配方法解方程：x2＋5x＋4＝0. 解：移项，得x2＋5x＝－4. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 训练　2.用配方法解方程：x2＝4－x. 解：移项，得x2＋x＝4. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 类型3　a≠1 例3　用配方法解方程：4x2－8x＋1＝0. 解：移项，得4x2－8x＝－1. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 训练　3.用配方法解方程：2x2－x＝1. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 　用配方法解一元二次方程的基本思路： 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．将方程x2－3x＝31配方时，方程两边需要同时加上 (　　) A．3 B．9 D C 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 3．用配方法解方程： (1)x2＋10x＋9＝0； 解：移项，得x2＋10x＝－9. 配方，得x2＋10x＋52＝－9＋52，(x＋5)2＝16. 由此可得x＋5＝±4，x1＝－1，x2＝－9. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 4．用配方法解方程： (1)2x2－3x＋1＝0； 解：移项，得2x2－3x＝－1. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 (2)x(x＋4)＝8x＋12. 解：去括号，得x2＋4x＝8x＋12. 移项、合并同类项，得x2－4x＝12. 配方，得x2－4x＋22＝12＋22，(x－2)2＝16. 由此可得x－2＝±4，x1＝6，x2＝－2. 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 能力提升 5．(2024东营)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0时，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为 (　　) A．－2 024　 B．2 024 C．－1　 D．1 6．已知方程x2－8x＋1＝*，等号右侧的数印刷不清楚(记为“*”)．若该方程可以配方成(x－m)2＝5的形式，则*所表示的数是_______.　 D －10 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 思维拓展 7．【创新题】已知a，b满足a2＋b2＝12a＋4b－40，则ab的值为_____． 　首先将等号右侧的式子移到等号左侧，再分别对a，b进行配方，利用完全平方式的非负性分别求出a，b的值，即可求出最终结果． 12 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 8．【代数推理】用配方法证明：无论x取任何实数，代数式x2－4x＋5的值恒大于零． 证明：x2－4x＋5＝x2－4x＋22－22＋5＝(x－2)2＋1. ∵(x－2)2≥0， ∴(x－2)2＋1＞0， 即代数式x2－4x＋5的值恒大于零． 　通过配方法将代数式化成(x＋m)2＋n的形式． 第3课时　解一元二次方程(配方法) 返回目录 由此可得x＋1＝±，x1＝－1，x2＝－－1. 配方，得x2＋5x＋＝－4＋， ＝. 由此可得x＋＝±，x1＝－1，x2＝－4. 配方，得x2＋x＋＝4＋，＝. 由此可得x＋＝±， x1＝，x2＝. 二次项系数化为1，得x2－2x＝－. 配方，得x2－2x＋12＝－＋12，(x－1)2＝. 由此可得x－1＝±，x1＝1＋，x2＝1－. 解：二次项系数化为1，得x2－x＝. 配方，得x2－x＋＝＋， ＝. 由此可得x－＝±，x1＝1，x2＝－. C． D． 2．将方程x2－2 x＋1＝0配方，得 (　　) A．(x＋)2＝2　 B．(x＋)2＝4 C．(x－)2＝2　 D．(x－)2＝4 由此可得x＋＝±2，x1＝，x2＝－. (2)x2＋4x＝x＋. 解：移项、合并同类项，得x2＋3x＝. 配方，得x2＋3x＋＝＋， ＝4. 二次项系数化为1，得x2－x＝－. 配方，得x2－x＋＝－＋，＝. 由此可得x－＝±，x1＝1，x2＝. $$ 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．(抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识) 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 “边框”问题 例1　(北师九上P48改编)如图1，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为 20 m2的矩形空地，求原正方形空地的边长． 解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余矩形空地的两边长分别为_________m与_________m. 由题意，得___________________． 化为一般形式，得________________． 解得___________________________________． 答：原正方形空地的边长为____m. 图1 (x－3) (x－2) (x－3)(x－2)＝20 x2－5x－14＝0 x1＝7，x2＝－2(不符合题意，舍去) 7 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 训练　1.如图2，幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺一块面积为18 m2的地毯，且四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度． 解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度为x m，则地毯的长为(8－2x)m，宽为(5－2x)m. 答：四周未铺地毯的条形区域的宽度为1 m． 图2 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 知识点2　“小路”问题 例2　(北师九上P38改编)如图3，某校生物小组有一块长22 m，宽14 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为240 m2，小道的宽应为多少米？ 解：设小道的宽应为x m. 由题意，得(22－x)(14－x)＝240.解得x1＝2，x2＝34(不符合题意，舍去)． 答：小道的宽应为2 m． 图3 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 训练　2.如图4，某社区决定在一块长16 m，宽9 m的矩形场地ABCD上修建三条等宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分为草坪．要使草坪部分的总面积为112 m2，小路的宽应为多少米？ 解：设小路的宽应为x m. 由题意，得(16－2x)(9－x)＝112.　 解得x1＝1，x2＝16(不符合题意，舍去)． 答：小路的宽应为1 m． 　　解决“小路”问题时，可以利用平移将问题转化为类“边框”问题，再进行解答． 图4 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 知识点3　 围栏问题 例3　(人教九上P25改编)如图5，利用一面墙(墙足够长)，用20 m长的篱笆围成一个面积为48 m2的矩形场地ABCD，求AD的长． 解：设AD的长为x m，则AB的长为(20－2x)m. 由题意，得x(20－2x)＝48. 解得x1＝4，x2＝6. 经检验，两个根都符合题意． 答：AD的长为4 m或6 m． 图5 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 训练　3.如图6，现有总长为12 m的建筑材料，借助一面长6 m的砖墙MN，围成一个矩形场地ABCD.已知矩形场地的面积为16 m2，求AB的长． 解：设AB的长为x m，则BC的长为(12－2x)m. 由题意，得x(12－2x)＝16. 解得x1＝4，x2＝2. ∵BC＝12－2x≤6，∴x≥3.∴x＝4. 答：AB的长为4 m． 　　解决“围墙”问题时，要注意题目中是否给出墙的长，求解出结果后，需要判断与墙平行的一边的长是否超出墙的长，根据实际情况进行取舍． 图6 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．小强用一根10 m长的铁丝围成了一个面积为6 m2的矩形．设矩形的长为x m，则可列方程为_____________． 2．(2024珠海期中)如图7，小明将一张长11 cm， 宽7 cm的矩形纸板的四个角各剪去一个同样大小的正 方形，制作成一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒． 设剪去的正方形的边长为x cm，则可列方程为 ______________________． 图7 x(5－x)＝6 (11－2x)(7－2x)＝21 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 3．(2024青岛)如图8，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为____m. 2 图8 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 能力提升 4．(2024广州月考)如图9，在长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分打造成草坪．要使草坪的面积为540 m2，道路的宽应为多少米？ 解：设道路的宽应为x m. 由题意，得(20－x)(32－x)＝540. 解得x1＝2，x2＝50(不符合题意，舍去)． 答：道路的宽应为2 m． 图9 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 5．如图10，利用总长为24 m的篱笆以及一面墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD，试通过计算说明所围成花圃的面积能否为50 m2? 解：设AB的长为x m，则BC的长为(24－3x)m. 由题意，得x(24－3x)＝50. 整理，得3x2－24x＋50＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×3×50＝－24＜0， ∴原方程没有实数根． 答：所围成花圃的面积不能为50 m2. 图10 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 思维拓展 6．【易错】如图11，李大爷要建一个矩形羊圈ABCD，羊圈的一边靠墙，另三边用长为34 m的竹篱笆围成，墙对面有一个2 m宽的门EF.设AD的长为x m. (1)若墙长为18 m，要围成羊圈的面积为160 m2，求AD的长； 解：由题意，得AB＝(34－2x＋2)m. ∵AB＝34－2x＋2≤18，∴x≥9. 根据题意，得x(34－2x＋2)＝160. 解得x1＝8(不符合题意，舍去)，x2＝10. 答：AD的长为10 m． 　　　　注意竹篱笆的长不包括小门EF，故AB＝(34－2x＋2)m. 图11 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 (2)在墙足够长的情况下，羊圈的面积_______达到200 m2.(填“能”或“不能”) 　　羊圈的面积能否达到200 m2，即方程x(34－2x＋2)＝200有无实数解． 不能 图11 第9课时　实际问题与一元二次方程(面积问题) 返回目录 由题意，得(8－2x)(5－2x)＝18.解得x1＝1，x2＝. 又5－2x＞0，∴x＜.∴x＝1. $$ 　一元二次方程 知识导学 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．(模型观念、抽象能力、运算能力、应用意识) 第1课时　一元二次方程 返回目录 知识导学 返回目录 1．一个矩形的长比宽多2 cm，面积为15 cm2．若设该矩形的宽为x cm，则该矩形的长为_________ cm．根据矩形的面积为15 cm2，可列方程为_____________．化简，得______________．像这样，等号两边都是________，只含有______个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_____(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是____________________．其中_____是二次项，_____是二次项系数；______是一次项，_____是一次项系数；_____是常数项． 3．使方程左右两边________的未知数的值就是这个一元二次方程的解(根)． (x＋2) x(x＋2)＝15 x2＋2x－15＝0 整式 一 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 a bx b c 相等 第1课时　一元二次方程 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 一元二次方程的定义 例1　下列是一元二次方程的打“√”，不是的打“×”． (1)2x2＋3x－4＝0； (　　) (2)x2＋y－2＝0； (　　) (3)x3＋1＝2x； (　　) (4)x(x＋2)＝x2－6． (　　) √ × × × 第1课时　一元二次方程 返回目录 训练　1．下列是一元二次方程的是 (　 　) A．2x＋3＝0 B．x(x＋6)＝0　 C．x2－6xy＋9＝0　 B 一元二次方程时，先化简、合并同类项，再判断等号两边是否为整式、未知数的个数是否为1、最高次数是否为2． 第1课时　一元二次方程 返回目录 例2　若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则 (　 　) A．a＞1 B．a＝1　　 C．a≠1 D．a≥0, C 训练　2．【易错】若关于x的方程(2－m)x|m|－2x＋1＝0是一元二次方程，则m的值为______．　 －2 　1．知识层面：一元二次方程中的二次项系数不能为0； 2．技巧层面：对于含有参数的方程，一定注意参数所在的位置及其对应要求． 第1课时　一元二次方程 返回目录 一元二次方程 一般形式 a b c 3x2＝5－x x(x－3)＝2 (x＋5)(x－5)＝0 2(x＋2)2＝x 知识点2　 一元二次方程的一般形式 例3　(人教九上P4改编)填空： 3x2＋x－5＝0 3 1 －5 x2－3x－2＝0 1 －3 －2 x2－25＝0 1 0 －25 2x2＋7x＋8＝0 2 7 8 第1课时　一元二次方程 返回目录 训练　3．填空： 一元二次方程 一般形式 二次项 一次项 常数项 x2－1＝5x 2x(x＋6)＝0 3x(x＋1)＝5x－3 (x＋2)2＝2x x2－5x－1＝0 x2 －5x －1 2x2＋12x＝0 2x2 12x 0 3x2－2x＋3＝0 3x2 －2x 3 x2＋2x＋4＝0 x2 2x 4 第1课时　一元二次方程 返回目录 知识点3　 列一元二次方程 例4　(人教九上P2改编)把一块长与宽之比为2∶1的矩形铁皮的四角各剪去一个边长为1 cm的小正方形，可制作成一个无盖方盒．若该方盒的容积是15 cm3，设铁皮的宽为x cm，则可列方程为_______________，将其化为一般形式为_______________． (x－2)(2x－2)＝15 2x2－6x－11＝0 训练　4．(人教九上P4改编)参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手15次．若设参加聚会的有x人，根据题意，可列方程为_________________，将其化为一般形式为_________________．　 第1课时　一元二次方程 返回目录 知识点4　 一元二次方程的解 例5　下列选项中，是方程x2＋x＝6的一个根的是 (　 　) A．1　　　 B．－2　　　 C．－3　　　 D．4 训练　5．若－2是某个一元二次方程的一个根，则该一元二次方程可以是 (　 　) A．x2－x＋2＝0　　　　 B．x2－x－2＝0 C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0 C D 第1课时　一元二次方程 返回目录 例6　一元二次方程x2－4x＋a＝0的一个解为x＝1，则a＝_____． 训练　6．【整体思想】若a是方程x2＋2x－3＝0的一个根，则a2＋2a的值为_____． 3 3 第1课时　一元二次方程 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．下列是关于x的一元二次方程的是 (　　) A．3x2－5x＝3x2＋9 B．x(3x－2)＝2x2＋1 C．ax2＋2x－5＝0 D．4x－x3＝2 2．(2024东莞期末)将一元二次方程x(－x＋2)＝3化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是 (　　) A．1 B．2 C．－2 D．3 B C 第1课时　一元二次方程 返回目录 3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋3b＝0的解，则4a＋6b的值为______． 4．(2024南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为______． －8 －4 第1课时　一元二次方程 返回目录 能力提升 5．(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为 (　　) A．2 B．－2 A 第1课时　一元二次方程 返回目录 6．一块矩形菜地的面积是150 m2，将其长减少5 m后，菜地变为正方形．若设原菜地的长为x m，则可列方程为______________，将其化为一般形式为_______________． 7．已知关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，求m的值． x(x－5)＝150 解：化简，得(m－3)x2＋(m2－9)x－5＝0． ∴m＝－3． x2－5x－150＝0 第1课时　一元二次方程 返回目录 思维拓展 将方程②等号右边的“b－c”移到等号左边，可得“a(x－1)2＋bx－b＋c＝0”，再将bx－b合并为b(x－1)，观察此时的方程②与方程①，有何相似之处呢？ 第1课时　一元二次方程 返回目录 x2－x－15＝0 x(x－1)＝15 x1＝－，x2＝6 $$ 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 知识导学 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 了解一元二次方程的根与系数的关系．(抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识) 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 知识导学 返回目录 已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根． 注：利用一元二次方程的根与系数的关系的前提：①方程为一般形式；②方程存在实数根，即Δ≥0. ≥ 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 利用根与系数的关系求代数式的值 例1　(人教九上P16改编)已知x1，x2是方程x2－6x＋5＝0的两个根，求x1＋x2及x1x2的值． 解：a＝1，b＝______，c＝____． －6 5 －6 6 5 5 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 (1)x1x2＝____，x1＋x2＝____； (2)x1＋2x1x2＋x2＝_____． 2 8 12 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 例2　已知方程x2－x－1＝0的两个根分别为x1，x2，求下列代数式的值： 解：由根与系数的关系， 得x1＋x2＝1，x1x2＝－1. (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝12－4×(－1)＝5. 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 训练　2.已知方程2x2－3x－8＝0的两个根分别为m，n，求下列代数式的值： (1)m2n＋mn2； (2)(m－2)(n－2). (2)(m－2)(n－2)＝mn－2(m＋n)＋4 ＝－3. 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 知识点2　 利用根与系数的关系求参数的值 例3　已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m－2＝0. (1)求证：不论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2＝1＋3x1x2，求m的值． (1)证明：a＝1，b＝－(2m＋1)，c＝m－2. Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4(m－2)＝4m2＋9＞0. ∴不论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝m－2. ∴2m＋1＝1＋3(m－2).解得m＝6. 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 训练　3.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根． (1)m的取值范围为_______； m≤0 解：由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m. ∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12， 即m2－m－6＝0.解得m1＝－2，m2＝3. ∵m≤0，∴m的值为－2. 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(人教九上P16改编)若x1，x2是一元二次方程x2－15＝6x的两个实数根，则x1x2的值为 (　　) A．6　 B．－6　 C．－15　 D．15 2．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是 (　　) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2－2＝0 C．－x2＋2x－3＝0 D．x2－2x－3＝0 C D 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 3．若关于x的方程x2－(a－4)x－a＝0的两个根互为相反数，则a的值是 (　　) A．－2 B．2 C．±2 D．4 D 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 能力提升 4．(2024西宁)已知方程x2＋2x－1＝0的两根分别为a和b，则4a2＋8ab＋4b2的值为_____． 　　α2＋2α＋β＝(α2＋α)＋(α＋β) 6．【整体思想】(2024东莞期末)设α，β是方程x2＋x＋2 024＝0的两个实数根，则α2＋2α＋β的值为__________． 16 6 －2 025 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 思维拓展 7．【数形结合】若直角三角形的两条直角边的长a，b是方程x2－8x＋14＝0的两个根，则其斜边长c为____． 6 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 8．(原创)【实例分析】(1)(北师九上P51改编)已知方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 解：设方程的另一根为x2. －6 －3 1 ∴它的另一根为______，k的值为____． 【举一反三】(2)已知关于x的方程x2＋3x＋m＝0有一个根为x1＝－2，则另一个根为__________，m的值为____． －3 1 x2＝－1 2 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 【拓展运用】(3)已知x1，x2为关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0的两个实数根，且x1－x2＝0，求m的值． 解：由根与系数的关系， 得x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1. ∵x1－x2＝0，x1＋x2＝6，∴x1＝x2＝3. ∴x1x2＝2m－1＝9. 解得m＝5. (4)若关于x的一元二次方程x2－mx＋12＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为_________．　 8或－8 第7课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 当根的判别式Δ＝b2－4ac_____0时，根据求根公式x＝ 可知，x1＝____________，x2＝_____________． 由此可得x1＋x2＝_______，x1x2＝_____． － ∴x1＋x2＝_______＝－＝____， x1x2＝＝＝____． － 训练　1.已知一元二次方程1－4x＝－x2的两个根分别为x1，x2，则 (1)＋； (2)(x1－x2)2. (1)＋＝＝＝－1. 解：由根与系数的关系，得m＋n＝，mn＝－4. (1)m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－4×＝－6. ＝－4－2×＋4 　常见的与x1＋x2，x1x2有关的变形： ①＋＝； ②x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ③xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)； ④(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ⑤|x1－x2|＝. (2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x＋x＝12，求m的值． ∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12， 5．已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，则代数式 ＋的值为____． 则解得 $$ 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．(抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识) 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 直接给出单件(单价)变化关系 例1　某型号的书包平均每天能销售30件，每件利润为10元，若销售单价每上涨1元，每天的销售量将减少1件．当销售单价上涨多少元时，该型号书包每天的销售利润为400元？ 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 分析：设销售单价上涨x元．填写下表：   每件利润/元 销售量/件 总利润/元 涨价前       涨价后       10 30 300 10＋x 30－x (10＋x)(30－x) 解：根据题意，可列方程______________________． 解得_____________． 答：当销售单价上涨_____元时，该型号书包每天的销售利润为400元． (10＋x)(30－x)＝400 x1＝x2＝10 10 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 训练　1.某商场购进一种服装，进价为46元/件，在试营销阶段发现：当销售单价定为90元时，每天能卖出20件；销售单价每下降1元，每天可多卖出5件． (1)设每件降价x元，则每天的销售单价为__________元，每天可卖出___________件；(用含x的代数式表示) (90－x) (20＋5x) 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 (2)该商场要想该服装每天的销售利润为1 600元，并使顾客得到实惠，每件应降价多少元？ 解：由题意，得(90－x－46)(20＋5x)＝1 600. 解得x1＝4，x2＝36. ∵要使顾客得到实惠，∴x＝36. 答：每件应降价36元． 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 知识点2　 间接给出单件(单价)变化关系 例2　某文具店销售一款成本价为每本6元的笔记本，销售期间发现：当单价定为10元时，每天可售出80本；单价每降低0.5元，每天可多售出20本． (1)这款笔记本的单价每降低1元，每天可多售出_____本； (2)设这种笔记本的单价降低x元，则每本的利润为_________元，每天可售出____________本；(用含x的代数式表示) 40 (4－x) (80＋40x) 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 (3)为使这种笔记本每天的销售利润达到360元，文具店应把这种笔记本的单价定为多少元？ 解：由题意，得(4－x)(80＋40x)＝360. 解得x1＝x2＝1.10－x＝9. 答：文具店应把这种笔记本的单价定为9元． 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 训练　2.某电商计划对一款成本价为每件300元的商品进行直播销售，通过市场调研发现：按每件400元的价格销售，每月可卖出600件；每件商品的售价每上涨10元，每月的销售量减少100件．现决定涨价销售，要使该商品每月的销售利润为15 000元，每件商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出该商品多少件？ 解：设每件商品涨价x元，则每月能售出商品(600－10x)件． 由题意，得(400＋x－300)(600－10x)＝15 000. 解得x1＝50，x2＝－90(不符合题意，舍去)． 400＋x＝400＋50＝450，600－10x＝600－10×50＝100. 答：每件商品的售价应定为450元，这时电商每月能售出该商品100件． 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 　　1．营销问题常用关系式：(售价－成本)×销售量＝总利润． 2．一般情况下，为方便建立等量关系，常将涨价数(或降价数)设为未知数x. 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2025深圳模拟)某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售单价为20元时，平均每天能售出50个；销售单价每降低1元，平均每天能多售出4个．超市要想使这种文创产品平均每天的销售利润达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为 (　　) A．(20－15－x)(50＋4x)＝220 B．(20－15＋x)(50＋4x)＝220 C．(20－15－x)(50－4x)＝220 D．(20－15＋x)(50－4x)＝220 A 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 2．(2025广州开学考)《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式施行．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人和乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店调研了某品牌头盔的销售情况，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个；若在此基础上每个头盔涨价2元，则每月少卖出40个．为使该品牌头盔每月的销售利润达到6 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 解：设该品牌头盔每个应涨价y元，则每个盈利(10＋y)元，月销售量为(500－20y)个． 由题意，得(10＋y)(500－20y)＝6 000. 解得y1＝5，y2＝10. ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝5. 答：该品牌头盔每个应涨价5元． 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 能力提升 3．(2024深圳月考)某商店销售一种商品，平均每周可售出20件，每件利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，考虑到运营过程中其它成本，此商品每件的利润不得低于30元．若此商品的销售单价每降价1元，平均每周将多售出2件，要使该商品平均每周的销售利润达到1 650元，则此商品每件需要降价多少元？ 解：设此商品每件需要降价x元，则每周销售(20＋2x)件． 由题意，得(60－x)(20＋2x)＝1 650. 解得x1＝5，x2＝45. ∵此商品每件的利润不得低于30元，所以x＝5. 答：此商品每件需要降价5元． 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 思维拓展 4．【数形结合】某商店新购进一批桶装洗衣液，每桶进价为35元，原计划以每桶55元的价格销售，为迎接妇女节的到来，现决定降价销售．已知这种洗衣液的销售量y(单位：桶)与每桶降价x(单位：元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图1所示． (1)求y与x之间的函数关系式； 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 将(1，110)，(3，130)代入， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100. 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 (2)在这次节日促销活动中，该商店共获利1 760元，求这种洗衣液每桶的实际售价． 解：由题意，得(10x＋100)(55－x－35)＝1 760. 解得x1＝12，x2＝－2(不符合题意，舍去)． 55－x＝43. 答：这种洗衣液每桶的实际售价为43元． 第11课时　实际问题与一元二次方程(营销问题) 返回目录 得解得 $$ 第10课时　实际问题与一元二次方程 (互赠、握手、数字问题) 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．(抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识) 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 互赠、握手(双循环、单循环)问题 例1　(1)3名同学互赠礼物，每名同学送出____份礼物，共送出____份礼物； (2)4名同学互赠礼物，每名同学送出____份礼物，共送出_____份礼物； (3)x名同学互赠礼物，每名同学送出_________份礼物，共送出__________份礼物； (4)若干名同学互赠礼物，共送出132份礼物，则共有_____名同学． 2 6 3 12 (x－1) x(x－1) 12 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 训练　1.某学习小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个学习小组有多少人？ 解：设这个学习小组有x人． 根据题意，得x(x－1)＝72. 解得x1＝9，x2＝－8(不符合题意，舍去)． 答：这个学习小组有9人． 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 例2　(1)3位新同事互相握手，每位新同事需握手____次，共握手____次； (2)4位新同事互相握手，每位新同事需握手____次，共握手____次； (3)x位新同事互相握手，每位新同事需握手_________次，共握手____________次； (4)若干位新同事互相握手，共握手120次，则共有_____位新同事． 2 3 3 6 (x－1) 16 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 训练　2.(人教九上P25改编)某地举行篮球比赛，参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，则有多少个队参加比赛？ 解：设有x个队参加比赛． 　　1.互赠问题(甲乙)：x人互赠礼物，则共赠送x(x－1)份礼物． 解得x1＝10，x2＝－9(不符合题意，舍去)． 答：有10个队参加比赛． 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 知识点2　 数字问题 例3　(人教九上P21改编)已知两个相邻正偶数的积是168，求这两个相邻正偶数中较大的数． 解：设这两个相邻正偶数中较大的数是x，则较小的数是(x－2). 由题意，得x(x－2)＝168. 整理，得x2－2x－168＝0. 解得x1＝14，x2＝－12(不符合题意，舍去)． 答：这两个相邻正偶数中较大的数是14. 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 训练　3.有一个两位数，它十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 解：设这个两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋2). 由题意，得3x(x＋2)＝10x＋(x＋2). 整理，得3x2－5x－2＝0. x＋2＝4. 答：这个两位数为24. 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 　　解决一元二次方程的数字问题，关键是找到数字与数字之间的关系或不同数位上的数字之间的关系，再根据题目条件构造方程求解． 注：一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则这个三位数可以表示为100a＋10b＋c. 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向组内的其他成员各赠送一本，全组共互赠了210本图书．若设该读书小组共有x名同学，由题意，可列出的方程为 (　　) A．x(x＋1)＝210 B．x(x－1)＝210 B 2．若两个连续整数的积为72，则这两个数的和为 (　　) A．16　 B．17 C．±16　 D．±17 D 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 3．(人教九上P17改编)在一次商品交易会上，参加交易会的公司每两家之间均签订了一份合同，共签订了78份合同，则共有多少家公司参加了这次交易会？ 解：设共有x家公司参加了这次交易会． 解得x1＝13，x2＝－12(不符合题意，舍去)． 答：共有13家公司参加了这次交易会． 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 能力提升 4．一个两位数的个位数字与十位数字的和为10，且这个两位数等于它个位数字的平方的4倍．求这个两位数． 解：设这个两位数的个位上的数字是x，则十位上的数字是(10－x). 由题意，得10(10－x)＋x＝4x2. 整理，得4x2＋9x－100＝0. 10－x＝6. 答：这个两位数是64. 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 思维拓展 5．(原创)【构建模型】(1)在一次聚会上，规定每两个人必须握一次手．若参加聚会的人共握手36次，则有多少个人参加这次聚会？ 解：设有x个人参加这次聚会． 解得x1＝9，x2＝－8(不符合题意，舍去)． 答：有9个人参加这次聚会． 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 【模型变式】(2)小明由握手问题想到了另一个数学问题：如图1，在线段AB上取P1，P2，P3，…，Pm，共m个点，若在线段AB上任意两点所连线段的总数为66条，则m的值为_____.　 【模型应用】(3)某市的轨道交通2号线试运行期间，从始发站到终点站，轨道公司共设计了90种往返车票，则这条轨道交通线路共有_____个站点． 10 10 第10课时　实际问题与一元二次方程(互赠、握手、数字问题) 返回目录 x(x－1) 由题意，得x(x－1)＝45. 2．握手问题(甲—乙)：x人互相握手，则共握手 x(x－1)次． 解得x1＝2，x2＝－(不符合题意，舍去)． C．x(x＋1)＝210 D．x(x－1)＝210 由题意，得 x(x－1)＝78. 解得x1＝4，x2＝－(不符合题意，舍去)． 由题意，得 x(x－1)＝36. $$ 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 知识导学 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 理解因式分解法解数字系数的一元二次方程．(抽象能力、运算能力、模型观念) 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 知识导学 返回目录 1．(衔接回顾)因式分解： (1)ax＋bx＝__________； (2)x2＋3x＝__________； (3)x(x－2)＋4(x－2)＝_______________； (4)a2＋2ab＋b2＝__________； (5)a2－b2＝_______________． x(a＋b) x(x＋3) (x－2)(x＋4) (a＋b)2 (a＋b)(a－b) 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 2．(1)若A·B＝0，则A＝____或B＝____． (2)用上面的知识解方程：(x－3)(x＋2)＝0. 解：(x－3)(x＋2)＝0. 于是得_______＝0，或_______＝0， x1＝____，x2＝______． 0 0 x－3 x＋2 3 －2 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点　用因式分解法解一元二次方程 类型1　提公因式法 例1　用因式分解法解方程： (1)(2024滨州)x2－4x＝0； 解：因式分解，得x(x－4)＝0. 于是得x＝0，或x－4＝0， x1＝0，x2＝4. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 (2)x(x＋3)－2(x＋3)＝0. 解：因式分解，得(x＋3)(x－2)＝0. 于是得x＋3＝0，或x－2＝0， x1＝－3，x2＝2. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 训练　1.用因式分解法解方程： (1)5x－2x2＝0； 解：因式分解，得x(5－2x)＝0. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 (2)3x(x－1)＝2x－2. 解：整理，得3x(x－1)－2(x－1)＝0. 因式分解，得(x－1)(3x－2)＝0. 注：公因式可以是单项式，也可以是多项式，注意移项后的符号变化． 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 类型2　平方差公式或完全平方公式法 例2　用因式分解法解方程： (1)4x2＋x＝x＋9； 解：整理，得4x2－9＝0. 因式分解，得(2x＋3)(2x－3)＝0. 于是得2x＋3＝0，或2x－3＝0， 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 (2)2x2＋4x＝－2. 解：移项、二次项系数化为1，得x2＋2x＋1＝0. 因式分解，得(x＋1)2＝0. 于是得x＋1＝0， x1＝x2＝－1. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 训练　2.用因式分解法解方程： (1)(x－2)2－4x2＝0； 解：因式分解，得(x－2＋2x)(x－2－2x)＝0. 于是得3x－2＝0，或－x－2＝0， 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 (2)(3x－2)2＝x2－2x＋1. 解：整理，得(3x－2)2－(x－1)2＝0. 因式分解，得(3x－2＋x－1)(3x－2－x＋1)＝0. 于是得4x－3＝0，或2x－1＝0， 　用因式分解法解一元二次方程的基本思路： 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．方程(x－3)(x＋1)＝0的解是 (　　) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝－3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－3，x2＝－1 2．方程x2＝－2 025x的解是_____________________． C x1＝0，x2＝－2 025 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 3．用因式分解法解下列方程： (2)x(5－x)＝9－x； 解：整理，得x2－6x＋9＝0. 因式分解，得(x－3)2＝0. 于是得x－3＝0，x1＝x2＝3. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 (3)2x(x－1)＝3(x－1). 解：移项，得2x(x－1)－3(x－1)＝0. 因式分解，得(x－1)(2x－3)＝0. 于是得x－1＝0，或2x－3＝0， 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 4．用因式分解法解下列方程： (1)4(x＋1)2＝(x＋9)2； 解：整理，得(2x＋2)2－(x＋9)2＝0. 因式分解，得(2x＋2＋x＋9)(2x＋2－x－9)＝0. 于是得3x＋11＝0，或x－7＝0， 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 (2)2(x＋3)＝x2－9. 解：整理，得2(x＋3)－(x＋3)(x－3)＝0. 因式分解，得(x＋3)(2－x＋3)＝0. 于是得x＋3＝0，或－x＋5＝0， x1＝－3，x2＝5. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 能力提升 5．若代数式3－2x与代数式x2－2的值互为相反数，则x的值是____． 6．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2－ab.例如：5※3＝ 52－5×3＝10.若(x＋1)※(3x－2)＝0，则x的值为__________． 1 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 思维拓展 7．(原创)【问题背景】配方法、公式法和因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次是解一元二次方程的基本思路，此外还可以用换元法来研究某些特殊方程． 【实例剖析】(1)已知实数m，n满足(m＋n＋2)(m＋n－5)＝0，将“m＋n”看作一个整体，令m＋n＝y，则原方程可化为(y＋2)(y－5)＝0.可得y1＝______，y2＝____，即m＋n的值为_________． 【举一反三】(2)若实数m，n满足(m2＋n2＋3)(m2＋n2－3)＝0，则m2＋n2的值为____． －2 5 －2或5 3 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 【解决问题】(3)解方程：(x2＋2x)2－4(x2＋2x)＋4＝0. 解：令x2＋2x＝p，则原方程可化为p2－4p＋4＝0. 因式分解，得(p－2)2＝0. 于是得p－2＝0， p1＝p2＝2. ∴x2＋2x＝2. 配方，得x2＋2x＋12＝2＋12，(x＋1)2＝3. 第5课时　解一元二次方程(因式分解法) 返回目录 于是得x＝0，或5－2x＝0，x1＝0，x2＝. 于是得x－1＝0，或3x－2＝0，x1＝1，x2＝. x1＝－，x2＝. x1＝，x2＝－2. x1＝，x2＝. (1)3x2－6x＝0； 解：因式分解，得3x(x－2)＝0. 于是得3x＝0，或x－2＝0， x1＝0，x2＝2. x1＝1，x2＝. x1＝－，x2＝7. －1或 由此可得x＋1＝±， x1＝－1，x2＝－－1. $$ 第6课时　一元二次方程根的判别式 知识导学 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．(抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识) 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 知识导学 返回目录 一元二次方程 根的判别式 求根公式 方程的根与Δ的关系 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) Δ＝________ _____________ ①Δ>0⇔方程有____________实数根； ②Δ_____0⇔方程有两个相等的实数根； ③Δ<0⇔方程_____实数根． 注：Δ≥0⇔方程有(两个)实数根． b2－4ac 两个不等的 ＝ 无 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 计算根的判别式Δ，判断方程根的情况 例1　(人教九上P17改编)填空： 方程 a，b，c的值 Δ的值 根的情况 x2＋2x－2＝0 a＝____，b＝____， c＝______ _____ 方程_________________实数根 2x2－4x＋2＝0 a＝____，b＝______，c＝____ ____ 方程_______________实数根 x2－4 x＋9＝0 a＝____，b＝________，c＝____ ______ 方程_______实数根 1 2 12 有两个不相等的 －2 2 －4 2 0 有两个相等的 1 9 －4 没有 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 训练　1.不解方程，判断方程2x2＝6x＋7的根的情况是 (　　) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定, 训练　2.(2024自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根　 B．有两个相等的实数根　 C．只有一个实数根　 D．没有实数根 C A 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 知识点2　 根据方程根的情况，求参数的值或取值范围 例2　(2024广州节选)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不等的实数根．求m的取值范围． 解：a＝1，b＝－2，c＝4－m. Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(4－m)＝4m－12. ∵方程有两个不等的实数根， ∴Δ＝4m－12＞0.解得m＞3. ∴m的取值范围是m＞3. 思考：若该方程根的情况是有实数根，则m的取值范围是多少？ 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 训练　3.若关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0无实数根，求k的取值范围． 解：a＝1，b＝4，c＝－k. Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－k)＝16＋4k. ∵方程无实数根，∴Δ＝16＋4k＜0. 解得k＜－4. ∴k的取值范围是k＜－4. 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 4．【易错】若关于x的一元二次方程mx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______________．　 m>－1且m≠0 　当一元二次方程的二次项系数含有参数时，要注意二次项系数不能为0. 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 知识点3　 根据根的判别式Δ，证明方程根的情况 例3　(人教九上P17改编)已知关于x的方程(x－3)(x－2)－p2＝0.求证：无论p取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 证明：方程化为x2－5x＋6－p2＝0. a＝1，b＝－5，c＝6－p2. Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1＞0. ∴无论p取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 训练　5.已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0.求证：无论k取任何实数，该方程总有两个实数根． 证明：a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2. Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0. ∴无论k取任何实数，该方程总有两个实数根． 常见的证明类型 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2024湛江期末)下列方程没有实数根的是 (　　) A．x2－4＝0　 B．x2－4x＋4＝0 C．x2－3x＋1＝0　 D．x2－2x＋4＝0 2．(2024广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝____.　 3．【开放性】(2024南通)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值_______________ ____． D 1 －1(答案不唯一) 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 能力提升 4．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 A 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 5．【代几综合】已知关于x的方程x2－kx＋k－1＝0. (1)求证：不论k为何值，方程总有实数根； 证明：a＝1，b＝－k，c＝k－1. Δ＝b2－4ac＝(－k)2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0. ∴不论k为何值，方程总有实数根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 (2)若等腰三角形的一边长为2，另外两边的长为这个方程的两个根，求k的值． 解：解方程x2－kx＋k－1＝0， 得x1＝k－1，x2＝1. 由题意，得等腰三角形两边恰好是这个方程的两个实数根． ①当腰长为2时，k－1＝2.解得k＝3. ②当腰长为1时，1＋1＝2，不符合题意，舍去． 综上所述，k的值为3. 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 思维拓展 6．【新定义】规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 (　　) D 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 x＝ －4 A．m<　 B．m> C．m>－且m≠0　 D．m<且m≠0 $$ 第8课时　实际问题与一元二次方程 (传播、增长率问题) 课标要求 课堂讲练 第二十一章　一元二次方程 课堂检测 课标要求 返回目录 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．(抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识) 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点1　 传播问题 例1　(人教九上P19改编)某流感携带者未被有效隔离，经过两轮传染后，共有100名感染者，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？(假设每轮传染人数相同) 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染新增加____名感染者，一轮传染后共有_________名感染者； 第二轮传染新增加___________名感染者，两轮传染后共有_______ __________名感染者． 列方程，得_____________________． 解得____________________________________． 答：每轮传染中平均一个人传染了____个人． x (1＋x) x(1＋x) [1＋x＋ x(1＋x)] 1＋x＋x(1＋x)＝100 x1＝9，x2＝－11(不符合题意，舍去) 9 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 训练　1.某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑． 由题意，得2＋2x＋x(2＋2x)＝288. 解得x1＝11，x2＝－13(不符合题意，舍去)． 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑． 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 (2)若病毒得不到有效控制，则三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 解：288＋288×11＝3 456(台). 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3 456台． 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 　 设a表示传播之前的初始数，x表示每轮每单位的传播数，n表示传播的轮数． (1)传播一轮(n＝1)时，最终感染数为a＋ax； (2)传播两轮(n＝2)时，最终感染数为a(1＋x)2； (3)传播n轮时，最终感染数为a(1＋x)n. 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 知识点2　 增长率问题 例2　某车店新能源汽车的销售量自2025年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车50辆，3月份销售了72辆．求该车店新能源汽车销售量的月平均增长率． 解：设该车店新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则2月份销售新能源汽车___________辆，3月份销售新能源汽车____________辆．(用含x的式子表示) 列方程，得________________． 解得_____________________________________________． 答：该车店新能源汽车销售量的月平均增长率为_______． 50(1＋x) 50(1＋x)2 50(1＋x)2＝72 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去) 20% 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 训练　2.某地为解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，其中某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至每盒162元．求这种药品两次降价的平均下降率． 解：设这种药品两次降价的平均下降率为x. 由题意，得200(1－x)2＝162. 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)． 答：这种药品两次降价的平均下降率为10%. 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 　　设初始值为a，平均增长(下降)率为x，增长(下降)后的值为b. (1)连续增长两次问题：a(1＋x)2＝b； (2)连续下降两次问题：a(1－x)2＝b. 注：增长率不能为负，可以超过1，但下降率不可以超过1. 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2024云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是 (　　) A．80(1－x2)＝60　 B．80(1－x)2＝60 C．80(1－x)＝60　 D．80(1－2x)＝60 B 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 2．某店铺新开业，店长在朋友圈发布开店消息并委托一位朋友转发帮助宣传，称转发此消息者均可参与抽奖，经过2轮传播后，共有900个人转发了此消息．(假设每人每轮传播人数相同) (1)每人每轮传播了多少个人转发此消息？ 解：设每人每轮传播了x个人转发此消息． 由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝900. 解得x1＝29，x2＝－31(不符合题意，舍去)． 答：每人每轮传播了29个人转发此消息． 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 (2)若满25 000个人参与抽奖即可开奖，则再传播一轮后，能否开奖？ 解：900×(1＋29)＝27 000(个). ∵27 000＞25 000， ∴再传播一轮后，能够开奖． 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 能力提升 解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x. 根据题意，得2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－3.2(不符合题意，舍去)． 答：该公司11，12两个月营业额的月均增长率为20%. 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 4．(2024绵阳)超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝_______． 10% 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 思维拓展 5．(人教九上P26改编)某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，降价后的售价比之前降低36%，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_______． 　　解决这类没有给出初始值的问题时，可以设初始值为单位1. 20% 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 6．【类比应用】(人教九上P22改编)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支． (1)根据问题中的数量关系，填空： ①主干的数目为____； ②从主干中长出的支干的数目为____；(用含x的式子表示) ③从支干中长出的小分支的数目为_____．(用含x的式子表示) 　 　主干不参与下一轮分支． 1 x x2 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 (2)请完成该问题的解答． 解：由题意，得1＋x＋x2＝91. 整理，得x2＋x－90＝0. 解得x1＝9，x2＝－10(不符合题意，舍去)． 答：每个支干长出9个小分支． 第8课时　实际问题与一元二次方程(传播、增长率问题) 返回目录 3．【易错】(北师九上P55)某公司今年10月的营业额为2 500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9 100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率． $$