九年级数学上学期第一次月考（华东师大版二次根式+配方法解一元二次方程，高效培优·强化卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师版九年级上册第21章∽第22章配方法解方程部分知识。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B． C． D．2 2．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．已知当时，代数式的值是（      ） A． B． C． D． 8．已知是方程的根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．8 9．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 10．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 12．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 13．已知，则的值是 ． 14．若，则代数式的值是 ． 15．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16． (1) ； (2) (2)（配方法） 17．已知． (1)求，的值． (2)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值． 18．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“”“”填空：______0，______0． (2)化简：． 19．新考法． 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_______的解法是错误的，错误的原因是_______； (2)求代数式的值，其中． 20．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足+b2-4b+4=0． （1）求a、b的长； （2）求△ABC的面积． 21．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 22．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 23．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数        B．互为倒数            C．绝对值相等        D．没有任何关系 (2)已知，，求的值． (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D B B A C D A C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．-2 12．且 13．0 14．-1 15． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．（10分） 【答案】(1)1； (2) ①【详解】 （1）解： (2分) (4分) ．(5分) （2）解：， (7分) (9分) 解得：．(10分) 17．（9分） 【答案】 (1)， (2)的值为 【详解】 （1）解：， 根据二次根式非负性可得且， 解之：， ， ，．(4分) （2）解：依（1）得：该一元二次方程为， 关于的一元二次方程有一个根是， ，(7分) 解之：， 的值为．(9分) 18．（9分） 【答案】 (1)； (2) 【详解】 （1）解：由数轴得： ，且， ，， 故答案为：；．(4分) （2）由数轴得： ，且， 原式(6分) (8分) ．(9分) 19．（9分） 【答案】 (1)小亮；未能正确运用二次根式的性质 (2) 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）．(4分) （2）解：， ，(6分) 则 ．(8分) 当时，原式．(9分) 20．（9分） 【答案】 （1） a=3，b=2； （2） 3或． 【详解】 （1） b2﹣4b+4＝0，配方得：（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝3，b＝2；(4分) （2）分两种情况讨论： ①a＝3是直角边时，2是直角边，△ABC的面积3×2＝3；(6分) ②a＝3是斜边时，另一直角边，△ABC的面积．(8分) 综上所述：△ABC的面积为3或．(9分) 21．（9分） 【答案】 (1)，， (2) 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴， ∴； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴；(6分) （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为．(9分) 22．（10分） 【答案】 (1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【详解】 （1）解：， 故答案为：4；(2分) （2）解： ；(5分) （3）解： ，(7分) ， ， ，(9分) 当时，多项式有最大值，最大值为20．(10分) 23．（10分） 【答案】 (1)B (2) (3)x=-1 【详解】 【详解】（1）解：∵（）×（）=4-3=1， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B；(3分) （2）由题意得=，=， ∴x+y=2，x-y=4，xy=1， ∴；(6分) （3）令，则两边同乘以，得 24-x-（8-x）=2t， 解得t=8， ∵①，②， ∴①+②，得=10， 两边同时平方得4（24-x）=100， 解得x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解．（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师版九年级上册第21章∽第22章配方法解方程部分知识。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方运算，解题的关键是掌握二次根式乘方运算的法则． 利用二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：将代入得， ， 故选：A． 2．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的范围，求函数自变量的取值范围，需确保根号内的表达式非负． 【详解】解：根据题意得：． 解得， 故选：C． 3．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】构造二元一次方程组求解、已知最简二次根式求参数、求二次根式中的参数 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 4．如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，结合网格利用勾股定理分别求出各线段的长度，比较即可得出答案． 【详解】解：，， ，， ∵ ∴线段长度最长的是， 故选：B 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 6．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 7．已知当时，代数式的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式的值、带有字母的绝对值化简问题 【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可. 【详解】解：∵， ∴. 故选：C. 8．已知是方程的根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查方程根的概念及代数式的整体代入思想． 已知是方程的根，可将代入方程得到等式，再通过整体代入法求解目标代数式的值． 【详解】解：由题意，，得， ∴， 故选D． 9．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 10．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 12．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是被开方数大于等于0，二次根式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13．已知，则的值是 ． 【答案】0 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的非负性可以得到,分别求出即可求解； 【详解】由题意可得： 解得： 故答案是:   14．若，则代数式的值是 ． 【答案】-1 【知识点】已知字母的值，化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】将代入计算求解即可 【详解】当时， 15．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质与判定求线段长、利用二次根式的性质化简、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．(1)；(2)（配方法） 【答案】 (1)1； (2) 【知识点】(1)利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 （2）用配方法解一元二次方程即可． 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】 （1）解： ． （2）解：， 解得：． 17．已知． (1)求，的值． (2)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值． 【答案】 (1)， (2)的值为 【知识点】二次根式有意义的条件、一元二次方程的解 【分析】本题考查的知识点是二次根式的非负性、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握二次根式的非负性． （1）利用二次根式的非负性，可得到且，由此可求出的值，然后求出的值； （2）将，的值代入方程，可得到，再将代入方程，可求出的值． 【详解】（1）解：， 根据二次根式非负性可得且， 解之：， ， ，． （2）解：依（1）得：该一元二次方程为， 关于的一元二次方程有一个根是， ， 解之：， 的值为． 18．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“”“”填空：______0，______0． (2)化简：． 【答案】 (1)； (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】（1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案． （2）根据数轴得到且，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案． 【详解】 （1）解：由数轴得： ，且， ，， 故答案为：；． （2）由数轴得： ，且， 原式 ． 19． 新考法． 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_______的解法是错误的，错误的原因是_______； (2)求代数式的值，其中． 【答案】 (1)小亮；未能正确运用二次根式的性质 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． （2）解：， ， 则 ． 当时，原式． 20．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足+b2-4b+4=0． （1）求a、b的长； （2）求△ABC的面积． 【答案】 （1） a=3，b=2； （2） 3或． 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据完全平方公式整理，然后利用非负数的性质列式求解即可得到a、b的值； （2）分a是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】 （1）b2﹣4b+4＝0，配方得：（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2； （2）分两种情况讨论： ①a＝3是直角边时，2是直角边，△ABC的面积3×2＝3； ②a＝3是斜边时，另一直角边，△ABC的面积． 综上所述：△ABC的面积为3或． 21．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】 (1)，， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根和算术平方根求原数，无理数的估算，化简二次根式： （1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于a、b的方程求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出c的值即可； （2）根据（1）所求先求出的值，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴， ∴； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 22．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】 (1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 23．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数        B．互为倒数            C．绝对值相等        D．没有任何关系 (2)已知，，求的值． (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】 (1)B (2) (3)x=-1 【知识点】二次根式的乘法、分母有理化、分式化简求值、二次根式有意义的条件 【分析】（1）计算对偶式（）×（）=4-3=1，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简x，y，求出x+y，x-y，xy的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）令，则两边同乘以，得24-x-（8-x）=2t，求出t，根据①，②，解得=10，即可求出x值，检验即可． 【详解】（1）解：∵（）×（）=4-3=1， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B； （2）由题意得=，=， ∴x+y=2，x-y=4，xy=1， ∴； （3）令，则两边同乘以，得 24-x-（8-x）=2t， 解得t=8， ∵①，②， ∴①+②，得=10， 两边同时平方得4（24-x）=100， 解得x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$