1.1.1 课时2 共线向量与共面向量 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 课时2 共线向量与共面向量 【基础巩固】 1．在正方体中，下列向量与平行的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在正方体中，根据共线向量的定义求出结果为． 故选：． 2．已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，变形可得， 变形可得：， 又由为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线． 则有，解可得． 故选：． 3．下列条件中，使与，，一定共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是． 由此可得，，不正确； 选项：点为三角形的重心，所以共面． 故选：． 4．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，， ， 得， 即， 根据空间向量共面定理的推论，，解得．故选：． 5．（多选）下列命题正确的是（ ） A．若，则与，共面 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，则，，，共面 【答案】ABD 【解析】选项，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项是正确的； 选项，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以，，，共面，故正确； 选项，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点，，，不在同一个平面上，所以选项是错误的； 选项，由可得， 则，即， 则，此时与选项一样，可以判断共面，即选项是正确的； 故选：. 6．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则________． 【答案】 【解析】因为，，是三个不共面的非零向量， ，，， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得．故答案为：． 7．已知，，，四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，均大于，则的最小值________． 【答案】4 【解析】已知，，，四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，均大于， 则：， 故，解得； 故（当且仅当等号成立）． 故最小值为4．故答案为：4． 8．如图，在四面体中，，，，，． (1)求证：、、、四点共面． (2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示． 【答案】见解析； 【解析】(1)因为， ， 所以，则，因此、、、四点共面． (2)由(1)知，，，因此， 、不在同一条直线上，， 则，则，即， 当时，，即，可得， 因为，即，可得， 所以， ． 【能力拓展】 9．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，延长，，至点，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边△的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边△，因为，可得， 在直角△中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为． 故选：． 10.（多选）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ） A．若点在直线上，则 B．若点在直线上，则 C．若点在平面内，则 D．若点在平面内，则 【答案】BCD 【解析】对于，若点在直线上，则，则， 由于，，三点共线，故，错误； 对于，若点在直线上，则，而， 结合，得，正确； 对于，若点在平面内，即，，，四点共面，则由，可知，正确， 对于，若点在平面内，则，则， 又，则，正确．故选：． 11．已知三棱锥，如图所示，为△重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若，，，四点共面，则________． 【答案】4 【解析】设中点为，连接，，如图所示： 因为点为△重心，所以点在线段上面， 因为，，，， 所以， 所以， 若，，，四点共面，则，解得． 故答案为：4． 【拓展探究】 12．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点．仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于点，的分比为，；． (1)设，；，为空间中任意取定的一点，求证： ； (2)若，，，是共线的四个不同点，满足，；，；，求，，，；的值； (3)如图，设，和分别是△的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：，；，；，；． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得，故， ，故， (2)设，；，则，因为，，是共线的三个不同点，故， 所以，， ，即， ，故，因为，，是共线的三个不同点，故． 所以，，，故，；，；． (3)设，；，，；，，；， 因为，和三点共线，，；，参照(1)证明可得： ①， 又因为，，三点共线，所以存在，使得， 代入①式可得：②， 同理，利用，；，，；，可以找到实数和， 使得③，④， 联立②③消去，联立②④消去，可得： ，， 又因为，和中任意两个向量互不共线， 故有， 由得，由得，又，故，即， 所以，；，；，；．得证． 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 课时2 共线向量与共面向量 【基础巩固】 1．在正方体中，下列向量与平行的是（ ） A． B． C． D． 2．已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 3．下列条件中，使与，，一定共面的是（ ） A． B． C． D． 4．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列命题正确的是（ ） A．若，则与，共面 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，则，，，共面 6．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则________． 7．已知，，，四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，均大于，则的最小值________． 8．如图，在四面体中，，，，，． (1)求证：、、、四点共面． (2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示． 【能力拓展】 9．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 10.（多选）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ） A．若点在直线上，则 B．若点在直线上，则 C．若点在平面内，则 D．若点在平面内，则 11．已知三棱锥，如图所示，为△重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若，，，四点共面，则________． 【拓展探究】 12．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点．仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于点，的分比为，；． (1)设，；，为空间中任意取定的一点，求证： ； (2)若，，，是共线的四个不同点，满足，；，；，求，，，；的值； (3)如图，设，和分别是△的边，和上的点，若三条直线，和交于一点， 求证：，；，；，；． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$