专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（5个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题05有理数的乘法与除法重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数的乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数的乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除混合计算问题 题型九 有理数混合运算的实际应用 题型十 有理数乘除中的简便运算 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一、有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 0与任何数相乘都得0； 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 拓展： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即时训练】 1.（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，据此即可解答． 【详解】解：的倒数是． 故选：C 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 知识点二、有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即时训练】 1．（24-25六年级上·河南商丘·期中）计算的最简便算法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简便计算，理解分配律是解答关键． 将带分数折分成，再变形为，然后利用分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三、倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即时训练】 1．（2025·湖南永州·二模）若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求解即可． 【详解】解：∵5的倒数是x， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·福建三明·期末），那么□中填入正确的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，乘积为1的两个数，计算即可． 【详解】∵， ∴故答案为：． 知识点四、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2) (3)0 (4) 【分析】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除． （1）先判断出符号，再绝对值相除即可； （2）先判断出符号，再绝对值相除即可； （3）零除以任何一个不为零的数，商为零， （4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点五、有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某工厂生产一批服装，原计划每天生产1000套，实际每天生产800套，实际每天生产的是原计划每天生产的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用实际每天生产的套数除以原计划每天生产的套数，再转化为百分数即可．本题主要考查了百分数的实际应用，熟练掌握求一个数是另一个数的百分之几的计算方法是解题的关键． 【详解】解：原计划每天生产套，实际每天生产套， 实际每天生产的是原计划每天生产的． 故选：B． 2．（25-26七年级上·重庆·开学考试）生产双一次性筷子需要棵生长了 30年的大树，照这样计算，生产100双一次性筷子需要 棵生长了30年的大树． 【答案】 【分析】本题主要考查了小数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．根据生产双一次性筷子需要棵生长了 30年的大树，求出生产1双一次性筷子需要多少棵生长了 30年的大树，然后求出100双一次性筷子需要生长了30年的大树的数量即可． 【详解】解： （棵）， 即生产100双一次性筷子需要棵生长了30年的大树． 故答案为：． 【经典例题一 有理数的两个乘法运算】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）根据，，下面算式的得数在它们之间的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数的乘法，分别计算四个选项中的算式，找出得数在 750 与 900 之间的一项即可． 【详解】解：A：； B：； C：； D：． 所以得数在 750 与 900 之间的算式是． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解∶原式； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式； （6）解∶原式 ． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）目前，全国已有多个省份采用“3+1+2”新高考模式，“3”是统考科目语文、数学和外语三科必选，“1”是首选科目物理和历史二选一，“2”是再选科目政治、地理、化学和生物四选二，共有（  ）种选科组合 A．5 B．6 C．12 D．15 【答案】C 【分析】先确定“1”（物理和历史二选一）的选法，再确定“2”（政治、地理、化学和生物四选二）的选法，最后将两类选法数相乘得到总的选科组合数．本题主要考查分类计数与分步计数原理的简单应用，熟练掌握分类与分步的思考方式，清晰列举出不同类别的选法是解题的关键． 【详解】解： “1”是首选科目物理和历史二选一，选法有种，即选物理或者选历史． “2”是再选科目政治、地理、化学和生物四选二，（政治，地理）、（政治，化学）、（政治，生物）、（地理，化学）、（地理，生物）、（化学，生物），共种． 所以总的选科组合数为“1”的选法数乘以“2”的选法数，即种． 故选：C ． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记同号得正、异号得负是解题的关键．根据有理数的乘法，同号得正、异号得负对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．若，则不一定正确，如：； B．若，则不一定正确，如：； C．若，则，则，正确； D．若，则不一定正确，如：； 故选C． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）一个漏水的水龙头每小时滴水桶，小时滴水( )桶，如果不修理，天会滴水( )桶． 【答案】 /0.625 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题意列出算式即可求解，掌握乘法法则是解题的关键． 【详解】解：小时滴水（桶）， 由天小时，则天会滴水（桶）， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先把带分数化为假分数，然后进行乘法计算，再计算减法，即可求解； （2）先计算乘法再计算减法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的乘法，根据0乘以任何数都为0即可解答． 【详解】解：∵六个有理数相乘，积为0， 故这六个有理数中至少有一个为0， 故选：C． 【例2】（2025六年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）从，，，2，7，3这六个数中取其中3个不同的数作为因数，则积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则解决此题． 【详解】解：根据有理数的乘法法则， 从，，，2，7，3这六个数中取个不同的数，，，此时积为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，先确定符号，再计算绝对值的乘积即可． 【详解】解： ． 【经典例题三 有理数的乘法的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）我国一元硬币厚度是1.85毫米，重6.1克．照这样计算，1亿枚硬币共重（   ）吨． A．6.1 B．61 C．610 D．6100 【答案】C 【分析】本题考查单位换算及大数乘法应用．根据题意，每枚硬币重6.1克，计算出1亿枚的总重量并转换为吨即可． 【详解】解：1亿， 克， 610000000克吨， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）现在地面的气温是，某飞机在该地上空处．若高度每增加，气温下降，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 【答案】此时飞机所在高度的气温是 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算及加法运算的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：，． 故此时飞机所在高度的气温是． 1．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）数学社团共分为个小组，每组有名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意列出算式解答即可，理解题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵人， ∴数学社团的同学们一共将拨打电话为个， 故选：． 2．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【详解】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了 辆汽车． 【答案】18750 【分析】本题考查分数混合运算的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据题意进行列式计算即可． 【详解】解：由题意可得： （辆）， 故答案为：18750． 4．（24-25七年级上·四川广安·期中）某工厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量/台 200 300 500 所需时间/天 75 50 30 (1)平均每天产量与所需时间成反比例关系吗？为什么？ (2)如果要20天生产完这批豆浆机，那么平均每天生产多少台？ 【答案】(1)成反比例，它们乘积一定 (2)750台 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）因为平均每天产量和所需时间成反比例，总台数不变，用总台数除以需要的天数即可解答． 本题考查了反比例关系，熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及求平均数的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：成反比例，理由如下： 依题意，， ∴平均每天产量×所需时间（一定），即乘积一定，故平均每天产量和所需时间成反比例； （2）解：依题意，（台） 答：平均每天产量至少要达到750台． 【经典例题四 倒数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）已知（a、b均大于0），则a的倒数（    ）b的倒数． A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查倒数，对于两个大于0的数，较大的数的倒数小于较小的数的倒数，由此可解． 【详解】解：已知（a、b均大于0），则， 即a的倒数小于b的倒数． 故选A． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较的应用，用了倒数法比较两个数的大小．先分别求出两个数的倒数，再比较倒数的大小，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 1．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）一个非0的数a的倒数是（　　） A．0 B．无法确定 C．a D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，可知：a的倒数是（），据此判断即可． 【详解】解：一个非0的数a的倒数是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）去年利川城区的最低气温为，则数的倒数是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3．（23-24六年级上·黑龙江绥化·阶段练习） . 【答案】 【分析】本题考查了倒数的性质，熟练掌握倒数的性质是解答本题的关键． 根据题意，互为倒数的两个数相乘所得的积为，由此分析判断出每个乘法式子中的因子，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，，，， 故答案为：，，，． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【答案】(1)1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2； (2)的相反数是，倒数是，绝对值是； (3)的相反数是，倒数是，绝对值是． 【分析】此题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义； （1）根据各定义依次解答即可； （2）根据各定义依次解答即可； （3）根据各定义依次解答即可． 【详解】（1）解：1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【经典例题五 有理数的乘法运算律】 【例1】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）下面的式子中应用了乘法结合律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的目的是理解掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的意义及应用， 根据乘法交换律的意义，，乘法分配律的意义，，乘法结合律的意义，，据此解答即可． 【详解】解：A、，应用的是乘法交换律，故本选项不符合题意； B、，应用的是减法运算律，故本选项不符合题意； C、，应用的是乘法分配律，故本选项不符合题意； D、，应用的是乘法结合律，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法分配律简化计算． （1）观察式子，将含和含0.34的项分别结合，运用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律将括号内的数分别与相乘，再计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）若．则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的分配律，正确掌握乘法分配律的计算法则是解题的关键．将变形为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 10 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是运用乘法交换律、结合律简化计算． （1）利用乘法交换律和结合律，将便于计算的数结合相乘； （2）先将小数和带分数化为分数，再进行乘法运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 故答案为：（1）10；（2） 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查运用有理数的乘法运算定律简化运算，熟练运用运算定律是解题关键． （1）根据乘法运算律计算即可； （2）运用乘法交换律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列化简：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的除法计算法则，属于基础题型．理解除法的计算法则是解决这个问题的关键． 逐一判断每个化简是否正确，统计正确个数． 【详解】① ，正确； ② ，正确； ③，题目结果为1，错误； ④，正确； ⑤，题目结果为，错误； 综上，正确的有①、②、④，共个. 故选：C． 【例2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）我们学习了分数除法，计算分数除以分数的方法很多．下面是4名同学计算“”的过程，想法正确的有（   ）种． 平平： 左左： 安安： 右右： A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了分数除法的计算方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除；变除法为乘法进行计算；熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐项进行分析，判断是否符合要求即可． 【详解】解： 平平：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，正确； 左左：将被除数和除数同时扩大相同的倍数变为整数，再根据整数除以整数的计算法则，进行计算，正确； 安安：将除数和被除数统分，然后让分子相除，正确； 右右：，原计算错误； 综上分析可知：想法正确的有3种． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北张家口·阶段练习）把转化为乘法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进行判断即可． 【详解】解：； 故选C． 3．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）新定义一种运算，．则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据新定义运算求出的值，再将其结果与进行新定义运算，从而得出最终答案．本题主要考查了新定义运算，熟练掌握新定义运算的规则并按照顺序逐步计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法．先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）喜迎国庆，学校在操场上悬挂了七彩气球，按照红橙黄绿蓝靛紫排列，请问第2025个气球的颜色是（   ） A．红 B．橙 C．黄 D．绿 【答案】B 【分析】本题考查规律探索，熟练掌握具有周期性的规律探索的方法是解题的关键．由题意，气球是按颜色按照红橙黄绿蓝靛紫依次循环，每7个一循环，利用，得出2025是289个循环之后的第2个气球，即可解决． 【详解】解：由题意，气球是按颜色按照红橙黄绿蓝靛紫依次循环，每7个一循环， ， 则第2025个气球的颜色是橙， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）4月23日世界读书日期间，、两家书店开展购书促销活动． 书店：每满元减元； 书店：可享折上折，先打七折，在此基础上再打九折． 王老师想为班级图书角购置一些图书，原价共元，到哪家书店购买比较便宜，共需花多少元？ 【答案】：元，：元，书店购书比较便宜，共需花元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，根据所给优惠标准，分别计算出两个书店的费用，比较即可得到答案． 【详解】解：书店需要的费用为元， 书店需要的费用为元， 因为， 所以在书店购书比较便宜， 答：在书店购书比较便宜，共需花元． 1．（2025七年级上·山东·专题练习）签字笔每支6元，铅笔每支2元，签字笔的价钱是铅笔价钱的多少倍？这道题是求（ ）． A．6的2倍是多少 B．6比2多几 C．6里面有几个2 【答案】C 【分析】此题考查有理数除法的实际应用，求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，即用较大的数除以较小的数；本题需明确“倍”的概念，即签字笔的价钱中包含多少个铅笔的价钱； 【详解】解：签字笔的价钱是铅笔价钱的倍 即求6是2的几倍，6里面有几个2 故选C 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【答案】A 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据容器底面积与水面高乘积固定为求解即可． 【详解】解：∵分别往这四个容器中注入的水， ∴A容器内部底面积为，容器内水面高为； B容器内部底面积为，容器内水面高为； C容器内部底面积为，容器内水面高为； D容器内部底面积为，容器内水面高为； ∴容器内水面最高的是A容器， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）当老师的年龄是学生年龄这么大时，学生刚好3岁，当学生是老师这么大时，老师39岁，那么老师现在的年龄是( )岁． 【答案】27 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，先根据题意求出学生和老师的年龄差为12岁，然后求出老师现在的年龄即可．解题的关键是根据题意求出老师与学生的年龄差． 【详解】解：∵当老师的年龄是学生年龄这么大时，学生刚好3岁，当学生是老师这么大时，老师39岁， ∴老师与学生的年龄差为：（岁）， ∴老师现在的年龄是（岁）， 故答案为：27． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一列火车在东西向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负，进A站以前的时间为负，出A站以后的时间为正，请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“”的含义． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，根据题意可编制问题一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米，据此求出速度即可． 【详解】解：根据题意，编制的问题为：一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米？ （千米/时）． 答：这列火车平均每小时行60千米． 【经典例题八 有理数乘除混合计算问题】 【例1】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算符号)：，，，，那么 的值是(   ) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】此题考查有理数的混合运算．原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式， 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）哥哥在市民图书馆借了一本《世界简史》，如果每天看36页，15天能全部看完．如果要在规定期限内准时归还，每天至少要看几页就不必交延时服务费？ 图书馆借阅规定 1.借阅期限：10天 2.超过10天的，每天每册收取0.5元延时服务费． 【答案】54页 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式．根据题意列式计算即可． 【详解】解： （页）， 答：要在规定期限内准时归还，每天至少要看54页就不必交延时服务费． 1．（24-25七年级上·云南丽江·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘除法．根据法则判断即可；熟练掌握有理数乘除法的法则是关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算及其运算顺序，解题的关键在于遵循从左至右的运算顺序，同时正确处理负号．先计算除法，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 4．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算：． 【答案】1 【分析】该题考查了运用乘法分配律及式子变形进行简便运算，将原式先转化为，再解答即可． 【详解】解： ． 【经典例题九 有理数混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·广西贺州·开学考试）某村去年生产油菜籽吨，比前年增加，问前年生产油菜籽多少吨？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了增长率问题，去年生产油菜籽比前年增加了，即去年生产的油菜籽占前年产量的，去年的产量是吨，用去年的产量除以所对应的分率即可求出前年的产量． 【详解】解：把前年的产量看作单位，则去年的产量占前年的产量的， 去年生产油菜籽吨， 前年油菜籽的产量为． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）一种饮料，瓶装每瓶1200毫升，10元一瓶；罐装每罐200毫升，2元一罐．现在三家商店出售这种饮料，并推出了不同的促销方式．如果要购买8瓶和8罐这种饮料，到哪一家商店购买花的钱最少？最少是多少元？ 甲商店 买一瓶，送一罐 乙商店 一律七五折 丙商店 每满40元减10元 【答案】到丙商店购买花的钱最少，最少是72元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．先算出三家商店需要花的钱数，然后进行比较得出答案即可． 【详解】解：甲商店需要花的钱数为：（元）； 乙商店需要花的钱数为： （元）； （元）， 丙商店需要花的钱数为： （元）； ∵， ∴到丙商店购买花的钱最少，最少是72元． 1．（24-25七年级上·河北张家口·阶段练习）某服装店今年上半年每月的盈亏情况如下表所示，盈利用正数表示，亏损用负数表示，则该店上半年平均每月（   ） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 盈亏/元 A．盈利2000元 B．盈利1000元 C．亏损2000元 D．亏损1000元 【答案】D 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，求和后，除以6，根据结果，进行判断即可． 【详解】解：（元）； 故该店上半年平均每月亏损1000元； 故选D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0～F来表示0～15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（   ） A．366 B．62 C．28 D．334 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义的理解与应用，解题的关键是根据新定义列出算式．根据题干中十六进制转换为十进制的规则列出算式并计算即可． 【详解】解：十六进制中对应十进制的数为： ， 故选：A． 3．（24-25七年级上·海南海口·期中）某商品成本600元，标价1000元，打九折后，再降价售出，在这次交易中，利润为 元． 【答案】120 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据利润等于实际售价减去进价，列式计算即可． 【详解】解∶ ， 答∶ 利润为120元， 故答案为∶120． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）2个老师带着25个学生乘车去外地参观，可供租的车辆有两种，一种车可乘8人，租金是每天600元；第二种车可乘4人，租金是每天400元，如何租车才能保证一天用钱最少？ 【答案】租用可乘8人的车3辆，租用可乘4人的车1辆，能保证一天用钱最少，最少为2200元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，先说明可乘8人的车价格比较便宜，因此多租用可乘8人的车，然后余下的人数不超过4人就租用可乘4人的车，超过4人租用可乘8人的车，根据，得出先租3辆可乘8人的车，剩下的3人再租用1辆可乘4人的车． 【详解】解：（元）， （元）， ， 可乘8人的车价格比较便宜，因此多租用可乘8人的车，然后余下的人数不超过4人就租用可乘4人的车，超过4人租用可乘8人的车， ， 先租3辆可乘8人的车，剩下的3人再租用1辆可乘4人的车， （元）， 答：租用可乘8人的车3辆，租用可乘4人的车1辆，能保证一天用钱最少，最少为2200元． 【经典例题十 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 【例2】（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】432 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数的四则运算，有理数乘法运算律，有理数加法中的简便计算，有理数除法的简便计算，解题的关键是熟练掌握运算法则和简便计算． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘法分配律计算即可； （3）按照有理数的乘法结合律计算即可； （4）按照有理数的乘法分配律计算即可； （5）除数和被除数同时乘，再相除即可； （6）把分成个，分别与另外个数相加，再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）张老师带了200元钱，准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A，B两种组合和C，D，E，F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（）． 商品 价格 组合A（1支笔个本方砚台瓶墨汁） 25元 组合B（1支笔个本瓶墨汁） 18元 C：1支笔 5元 D：1个本 4元 E：一方砚台 10元 F：一瓶墨汁 12元 (1)请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面，商品代码写后面即可，例如：）； (2)求n的最大值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意进行求解即可； （2）先根据题意判断出最便宜的组合A的数量，再判断其他即可． 【详解】（1）解：由该小组共有12人，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（），可得； （2）解：∵A是最便宜的， ∴尽量多的买组合A， ∵砚台2人一方， ∴组合A最多买件， 但是如果组合A买6件，则剩余的钱元， ∵买6个人的笔和本需元， ∴组合A最多买5件， 这样砚台差1个，所以加买一个砚台10元， 剩余的钱为元， ∵组合A是5件， ∴还需要买7个人的笔和本共元， ∴还满足条件的购买方案为，墨汁最多有5瓶， ∴n的最大值为5． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 【例1】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了数轴，及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键． 根据数轴上点的位置得出两个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ，，， 即①②④正确，③错误， ∴结论中正确的个数是3． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）有理数，的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上、的位置确定、的取值范围，再据此分析各选项．本题主要考查了数轴上数的大小关系以及有理数的运算性质，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，． ∵，， ∴，故A错误． ∵，， ∴，故B错误． ∵， ∴， 又∵， ∴，故C错误． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北沧州·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，把运算符号“”填入“□”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（   ） A．+ B． C．× D．÷ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的四则运算，根据数轴得到，再根据有理数的四则运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∴使运算结果最大，应该填入的符号是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）（1）阅读下面材料： 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．    当两点中有一点在原点时如图1；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边，； ②如图3，点A、B都在原点的左边，； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_____，如果，那么x为______； ③当代数式取最小值______时，相应的x的取值范围是_______． ④求的最小值． 【答案】①3，3，4；②，1或；③3，；④997002 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义、有理数的加减、乘法的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． ①根据（1）中的两点间距离公式可求答案； ②根据（1）中的两点间距离公式列出方程求解； ③根据线段上的点到两端的距离之和最小可得结果； ④根据线段上的点到两端的距离之和最小列出算式计算即可； 【详解】解：①表示2和5的两点间的距离为， 表示和的两点之间的距离为， 表示1和的两点之间的距离为． 故答案为：3，3，4； ②表示和的两点和之间的距离为， 若，则， ∴， ∴或． 故答案为：，1或； ③，是到的距离，表示到的距离， 当在和2之间时，距离之和最小，最小值为， ∴取最小值3时，相应的的取值范围是． 故答案为：3，； ④由③可知，要使最小，则在1和1997之间即可， 要使最小，则在2和1996之间即可…… 以此类推，要使最小，则在998和1000之间即可， 最后还剩余最小时，取即可， 故当时，原式取最小值， 最小值 ． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 【例1】（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）下列计算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值、有理数减法、乘法、除法运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题关键． 根据绝对值、有理数减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故选项A不符合题意； B． ，故选项B不符合题意； C． ，故选项C不符合题意； D． ，故选项D符合题意． 故选D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，． (1)当时，求的值． (2)当时，求mn的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了有理数的运算，绝对值的性质，解决本题的关键是掌握有理数和绝对值的运算法则，能够正确的分类讨论． （1）由已知条件分别求出根据可得或求出 （2）根据可得或，求出 【详解】（1）解： 当时，此时 当时，此时 综上，的值为或． （2）解 当时，此时 当时，此时 综上，的值为或． 1．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法运算，根据绝对值的意义及有理数的加法和乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若，则，该选项运算错误，不合题意； 、若， ，则或，该选项运算错误，不合题意； 、若， 则为任意有理数，该选项运算正确，符合题意； 、若  则，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应关系，然后相乘即可得解． 【详解】解：∵，， ，， ， 时，或时，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）已知：，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的乘法，有理数的减法运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据绝对值的定义求解即可； （2）由可知，或，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）知，，， ， ，或，， 或， 的值为或． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 【例1】（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 【答案】C 【分析】此题是典型的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．此题是工程问题，把此工作分段进行分析，甲自己做了3天做了，则可知道甲自己做需要天，从而求出乙的工作效率，进而求出结果即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴乙的工作效率为： ∴（天）， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）请你选择一个问题把序号填在横线上，并用比例知识解答． 乐乐5分钟可以走325米，照这样计算，__________， a．18分钟可以走多少米？ b．从家到学校相距1300米，她要走多少分钟？ 【答案】1170；20 【分析】本题主要考查了有理数的运算． a：先求出每分钟可以走多少米，然后再乘以时间即可求出路程． b∶ 先求出每分钟可以走多少米，然后用路程除以速度即可求出时间 【详解】解：a：（米） 答：18分钟可以走1170米． b：（分） 答∶ 她要走20分钟． 1．（23-24六年级下·黑龙江大庆·开学考试）用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼）（   ）个． A．11个 B．8个 C．10个 D．13个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数乘除法的实际应用，长12米、宽6米的长方形里剪出半径为1.5米的圆，就相当于要剪边长是3米的正方形．分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正方形，就可以求出至多能做多少个圆了． 【详解】解： ， （个） 故用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆8个， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按 顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意本着节目人数多先彩排的原则，按照人数排列和彩排时间排列，即可求解； （2）人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是，进而计算等待总时长，即可求解． 【详解】解：（1）两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； 故答案为：． （2）将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目， 人数较多的是节目，，故，同时进行，其次人数较多的是 ∴按照顺序，则等待时间分别为：， 故答案为：． 4．（24-25六年级下·广西南宁·开学考试）学校要订购桶矿泉水，现在有甲乙丙三个店可供选择，价格都是元每桶，但优惠办法不同．甲店：每满元，返还现金元；乙店：八折出售：丙店：买桶送桶、不满桶不送．为了节省开支，应订购哪个店家的水？请计算说明． 【答案】到丙店购买较合算． 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，分别求出甲、乙、丙各店的所花费用，然后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：甲店：（元）， （元）， （元）； 乙店：（元）； 丙店：（桶）， （元）； ∵， ∴到丙店购买较合算， 答：到丙店购买较合算． 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【答案】 【分析】根据例题中的裂项相消法即可解答 【详解】解：依题意得： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的方法是解本题的关键． 2．（23-24七年级下·广西贵港·期末）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【答案】 【分析】先计算分母，再根据“裂项相消法”计算可得答案． 【详解】解： = = = = =， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数混合运算，正确理解题意掌握解题的方法是解此题的关键． 3．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：①②，③若，则或，其中结论正确的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：，故①正确； ， ∴，故②错误； ， ∴或， ∴或；故③正确； 故选B 【例2】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若对于任意两数，定义一种运算“”，使得． (1)求的值； (2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足结合律，见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可； （2）把相应的值进行结合律运算，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：已知，令，则． 将，代入运算规则可得： ​​ ，令，则． 将，代入运算规则可得： 因为，，所以，运算 “” 满足结合律． 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．先计算出，再计算即可得出答案． 【详解】解： ， ， 故选：C 2．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当，， 当，时，，故②错误； ，故③错误 故选：B 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【定义新运算】现规定一种运算：，那么的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查新定义运算，根据先计算出，再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)0 (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法、加法运算，乘法运算律．理解运算的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2），根据，计算求解即可； （3）由，，，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：0； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为； （3）解：不满足，理由如下； ， ， ∵， ∴新定义的运算“⊕”不满足交换律． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）的商与比较，商（    ）（是非0自然数）． A．大于a B．小于a C．等于a D．小于或等于a 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法以及大小比较，先求出商，再作商比较大小即可． 【详解】解：， ∵是非0自然数， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【凑整法】算式的计算结果是（    ） A．4800 B．4720 C．4560 D．2400 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数运算中简便运算，先判断一共20个数，再结合分配律把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】解： ； 故选：D 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（   ）更优惠． A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了小数除法的实际应用以及小数大小的比较，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键．根据总价数量单价，分别求出两款修正带每米的钱数，再进行比较即可判定． 【详解】解：普通版修正带每米的钱数为： （元）， 加长版修正带每米的钱数为： （元）， ， 所以，加长版更优惠． 故选：B． 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）明明买一个文具盒，经与店主讨价还价后，只付了4元，比原价便宜1元．这个文具盒打（    ）卖给了明明． A．二五折 B．七五折 C．八折 D．二折 【答案】C 【分析】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位“1” ．单位“1”的量为除数用现价加便宜的价格求出原价，然后用实际付的价格除以原价即可． 【详解】解：原价为： (元)， 计算打折为： ， 即打八折． 故选：C 5．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）根据如图可知，某地2023年人均年收入（    ）元． A．7500 B．1500 C．4500 D．3000 【答案】A 【分析】先根据统计图得出2022年人均年收入，再结合2023年相对2022年的增长比例，计算出2023年的人均年收入．本题主要考查了分数乘法的应用，熟练掌握求比一个数多几分之几的数是多少的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由统计图可知2022年人均年收入为元，2023年比2022年增加 2023年人均年收入为（元） 故选：A． 6．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到同号，均小于0，根据当时，，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴同号，均小于0， ∵当时，， ∴； 故选：D． 7．（24-25七年级下·重庆·自主招生）为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在以内（含）的按照每立方米元计算，到（含）的按照每立方米元计算，超过按照每立方米元计算，小丽家5月份用水量为，那么小丽家本月水费共（    ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用小数计算的复合应用题，关键是水费要分三种情况来计算，然后分别求出水费总价再相加．单价数量总价，是解决本题的依据． 小丽家的水费要分三部分来求，立方米以内（含立方米）的一部分；超过立方米到立方米（含立方米）的；超过立方米的一部分，分别求出再相加．据此解答． 【详解】解：（元）， ， ， （元）， ， ， （元）， （元）， ∴小丽家本月要缴水费元， 故选：C． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）一个小数，如果小数点向右移动1位，比原数多9.45，原数是（   ） A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 【答案】B 【分析】本题考查了小数点的移动规律，掌握小数点向右移动1位，则得到的数是原来的10倍是解题的关键．根据题意可知，小数点向右移动1位，则得到的数是原来的10倍，用除以即可求出原数是多少． 【详解】解：． 故选：B． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知有理数，，，满足，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法和有理数的大小比较．根据已知条件可得，，，，．再依次对各选项进行分析判断即可．解题的关键是掌握：四个正数比较大小，分子相同，分母越大，则分数越小． 【详解】解：∵有理数，，，满足， ∴，，，， ∵， ∴，故选项A符合题意，选项B不符合题意； ∵，，，， ∴，， ，， ∵， ∴，故选项C、D不符合题意． 故选：A． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）某楼盘原来定价为每平方米20000元，由于国务院出台了一系列有关房产的政策，房产开发商为了加快资金回笼，将该楼盘价格连续两次下调，每次均降．小李在降价后购买了一套100平方米的房子，共需付（   ）万元． A．180 B．162 C．121 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了平均降低问题．熟练掌握终止量与起始量和降低次数的关系，是解题的关键． 原价每平方米20000元，连续两次降价，每次降价后价格变为前一次的．计算两次降价后的单价，再乘以面积100平方米，并将结果转换为万元． 【详解】解：第一次降价： 原价20000元， 降价后价格为（元/平方米）． 第二次降价： 以18000元为基数， 再降价，价格为（元/平方米）． 总价：购买100平方米的总费用为（元）． ∴（万元）． 故选：B． 11．（25-26七年级上·重庆·开学考试）小丽在做两位数乘两位数的计算题时，把其中一个乘数30看成了3，算出的结果是72，正确的结果是 ． 【答案】720 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据把其中一个乘数30看成了3，得出两个乘数的积必然缩小为原来的，从而得出答案． 【详解】解：∵做两位数乘两位数的计算题时，把其中一个乘数30看成了3， ∴得出的积缩小为原来的， ∵把其中一个乘数30看成了3，算出的结果是72， ∴正确的结果是． 故答案为：720． 12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在一个正方体的各个顶点上标上．若使得每个面的四个顶点的数字和都一样，则每一面四个顶点的数字和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能根据题意得出求六个面上的数字之和时，每个顶点处的数字使用了三次是解题的关键． 根据题意可得，每个顶点处的数字同时在三个面上，则当计算出六个面上的数字之和时，每个数字使用了三次，再根据每个面的四个顶点的数字和都一样即可解答． 【详解】解：因为每个顶点处的数字同时在三个面上， 所以在计算每个面的四个顶点的数字之和时，每个顶点处的数字都使用了三次， 所以， 即每一面四个顶点的数字和是． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了小数的巧算，、、、根据积的变化规律化为，然后运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为: ． 14．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先算括号里的，然后按照先乘除后加减计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：10． 15．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）五（2）班同学准备合买一批文具送给灾区学生，如果每人出6元，则多出48元；如果每人出4.5元，则少27元，这批文具一共 元？ 【答案】252 【分析】本题考查四则混合运算的应用，由题意知，每人多出元时，一共多出元，由此计算出五（2）班学生人数，进而即可求解． 【详解】解：五（2）班学生人数为：（人） 文具总价为：（元） 故答案为：252． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 根据上述方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解决本题的关键是掌握运算法则. 先将除法转化为乘法，再将带分数拆分成整数和分数的和，最后利用乘法分配律进行简便运算. 【详解】解：原式． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算，绝对值化简，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘法运算，然后计算加减法即可； （2）先化简绝对值，然后计算乘法运算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 18．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 (1)班接受视力检查的有多少人？ (2)班比班多检查多少人？ (3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ 【答案】(1)人 (2)人 (3)名 【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可； （）根据正负数的意义列式计算即可； （）根据正负数的意义列式求出七年级学生人数，再除以医生人数即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加法和减法的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：人，       答：班接受视力检查的有人； （2）解：人 ，    答：班比班多检查人； （3）解：（人）， （人）， 答：平均每位医生要检查名学生． 19．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手人数（人） 1 2 3 2 与标准身高相比（cm） (1)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有______名候选队员合格； (2)若将标准放宽为，则有______名候选队员合格； (3)求这8名候选队员的平均身高． 【答案】(1)2 (2)5 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正负数的应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据表格数据，求出真实身高，进行判断即可； （2）根据表格数据，求出真实身高，进行判断即可； （3）求出8名候选队员的身高和，再除以总人数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，， 故身高在范围内为合格时，有身高为2名候选队员合格； 故答案为：2； （2）由（1）可知，将标准放宽为，有名候选队员合格； 故答案为：5； （3）； 答：这8名候选队员的平均身高为． 20．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）有一个长方体容器，底部有一块挡板（垂直于底面，厚度忽略），将容器下面分成A、B两部分，B部分有一个漏洞，水可以往下漏．C是用来测量水面高度的尺子，D是进水管，每秒进水0.75升．如图记录的是开始注水后水面高度随时间变化的情况．请回答： (1)E表示多少？ (2)漏洞每秒钟漏出多少升水？ (3)F、G各表示几？ 【答案】(1)15 (2)0.3 (3)F表示54，G表示30 【分析】本题考查了观察信息，让学生理解统计表表示的意义，再分析数量关系进行解答． （1）根据图像可知15秒可注满A部分，时间乘流速，求出A的容积，再除以它的长和宽，可求出它的高度； （2）根据题图可知隔板的高度是15厘米，用B部分高15厘米的容积，除以注满B部分高15厘米时用的时间，就是每秒注入B部分时的流速，用0.75升减去注入B部分的流速，就是每秒从洞中流出的速度； （3）容器15厘米高度以上的水的注入速度都是0.75减去洞的流速，据此可求出F、G表示的数． 【详解】（1）解：0.75升立方厘米， （厘米）， 故E表示水面高度为15厘米； （2）（立方厘米）（升）， （升/秒）， （升/秒）， 答：漏洞每秒钟漏出0.3升水； （3）由（2）可知，在30秒到70秒之间注水速度为0.45升/秒， F点表示的数是： （秒）， G点表示的数是： （厘米）， 故F表示54，G表示30． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05有理数的乘法与除法重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数的乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数的乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除混合计算问题 题型九 有理数混合运算的实际应用 题型十 有理数乘除中的简便运算 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一、有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 0与任何数相乘都得0； 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 拓展： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即时训练】 1.（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）的倒数是（　　） A． B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二、有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即时训练】 1．（24-25六年级上·河南商丘·期中）计算的最简便算法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中） ． 知识点三、倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即时训练】 1．（2025·湖南永州·二模）若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 2．（23-24七年级上·福建三明·期末），那么□中填入正确的数是 ． 知识点四、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点五、有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某工厂生产一批服装，原计划每天生产1000套，实际每天生产800套，实际每天生产的是原计划每天生产的（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·开学考试）生产双一次性筷子需要棵生长了 30年的大树，照这样计算，生产100双一次性筷子需要 棵生长了30年的大树． 【经典例题一 有理数的两个乘法运算】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）根据，，下面算式的得数在它们之间的算式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）目前，全国已有多个省份采用“3+1+2”新高考模式，“3”是统考科目语文、数学和外语三科必选，“1”是首选科目物理和历史二选一，“2”是再选科目政治、地理、化学和生物四选二，共有（  ）种选科组合 A．5 B．6 C．12 D．15 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c、d满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）一个漏水的水龙头每小时滴水桶，小时滴水( )桶，如果不修理，天会滴水( )桶． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【例2】（2025六年级上·全国·专题练习）计算：； 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 2．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）从，，，2，7，3这六个数中取其中3个不同的数作为因数，则积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ； 4．（2025六年级上·全国·专题练习）计算：． 【经典例题三 有理数的乘法的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）我国一元硬币厚度是1.85毫米，重6.1克．照这样计算，1亿枚硬币共重（   ）吨． A．6.1 B．61 C．610 D．6100 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）现在地面的气温是，某飞机在该地上空处．若高度每增加，气温下降，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 1．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）数学社团共分为个小组，每组有名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了 辆汽车． 4．（24-25七年级上·四川广安·期中）某工厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量/台 200 300 500 所需时间/天 75 50 30 (1)平均每天产量与所需时间成反比例关系吗？为什么？ (2)如果要20天生产完这批豆浆机，那么平均每天生产多少台？ 【经典例题四 倒数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）已知（a、b均大于0），则a的倒数（    ）b的倒数． A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较和的大小． 1．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）一个非0的数a的倒数是（　　） A．0 B．无法确定 C．a D． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）去年利川城区的最低气温为，则数的倒数是（    ） A． B． C．5 D． 3．（23-24六年级上·黑龙江绥化·阶段练习） . 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【经典例题五 有理数的乘法运算律】 【例1】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）下面的式子中应用了乘法结合律的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）若．则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列化简：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 1．（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）我们学习了分数除法，计算分数除以分数的方法很多．下面是4名同学计算“”的过程，想法正确的有（   ）种． 平平： 左左： 安安： 右右： A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级上·河北张家口·阶段练习）把转化为乘法是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）新定义一种运算，．则的值是 ． 4．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算：． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）喜迎国庆，学校在操场上悬挂了七彩气球，按照红橙黄绿蓝靛紫排列，请问第2025个气球的颜色是（   ） A．红 B．橙 C．黄 D．绿 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）4月23日世界读书日期间，、两家书店开展购书促销活动． 书店：每满元减元； 书店：可享折上折，先打七折，在此基础上再打九折． 王老师想为班级图书角购置一些图书，原价共元，到哪家书店购买比较便宜，共需花多少元？ 1．（2025七年级上·山东·专题练习）签字笔每支6元，铅笔每支2元，签字笔的价钱是铅笔价钱的多少倍？这道题是求（ ）． A．6的2倍是多少 B．6比2多几 C．6里面有几个2 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 3．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）当老师的年龄是学生年龄这么大时，学生刚好3岁，当学生是老师这么大时，老师39岁，那么老师现在的年龄是( )岁． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一列火车在东西向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负，进A站以前的时间为负，出A站以后的时间为正，请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“”的含义． 【经典例题八 有理数乘除混合计算问题】 【例1】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算符号)：，，，，那么 的值是(   ) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）哥哥在市民图书馆借了一本《世界简史》，如果每天看36页，15天能全部看完．如果要在规定期限内准时归还，每天至少要看几页就不必交延时服务费？ 图书馆借阅规定 1.借阅期限：10天 2.超过10天的，每天每册收取0.5元延时服务费． 1．（24-25七年级上·云南丽江·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．8 B． C． D．2 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 4．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算：． 【经典例题九 有理数混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·广西贺州·开学考试）某村去年生产油菜籽吨，比前年增加，问前年生产油菜籽多少吨？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）一种饮料，瓶装每瓶1200毫升，10元一瓶；罐装每罐200毫升，2元一罐．现在三家商店出售这种饮料，并推出了不同的促销方式．如果要购买8瓶和8罐这种饮料，到哪一家商店购买花的钱最少？最少是多少元？ 甲商店 买一瓶，送一罐 乙商店 一律七五折 丙商店 每满40元减10元 1．（24-25七年级上·河北张家口·阶段练习）某服装店今年上半年每月的盈亏情况如下表所示，盈利用正数表示，亏损用负数表示，则该店上半年平均每月（   ） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 盈亏/元 A．盈利2000元 B．盈利1000元 C．亏损2000元 D．亏损1000元 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0～F来表示0～15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（   ） A．366 B．62 C．28 D．334 3．（24-25七年级上·海南海口·期中）某商品成本600元，标价1000元，打九折后，再降价售出，在这次交易中，利润为 元． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）2个老师带着25个学生乘车去外地参观，可供租的车辆有两种，一种车可乘8人，租金是每天600元；第二种车可乘4人，租金是每天400元，如何租车才能保证一天用钱最少？ 【经典例题十 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【例2】（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 1．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）张老师带了200元钱，准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A，B两种组合和C，D，E，F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（）． 商品 价格 组合A（1支笔个本方砚台瓶墨汁） 25元 组合B（1支笔个本瓶墨汁） 18元 C：1支笔 5元 D：1个本 4元 E：一方砚台 10元 F：一瓶墨汁 12元 (1)请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面，商品代码写后面即可，例如：）； (2)求n的最大值． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 【例1】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）有理数，的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北沧州·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，把运算符号“”填入“□”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（   ） A．+ B． C．× D．÷ 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）（1）阅读下面材料： 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．    当两点中有一点在原点时如图1；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边，； ②如图3，点A、B都在原点的左边，； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_____，如果，那么x为______； ③当代数式取最小值______时，相应的x的取值范围是_______． ④求的最小值． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 【例1】（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）下列计算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，． (1)当时，求的值． (2)当时，求mn的值． 1．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，，且，那么 ． 4．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）已知：，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 【例1】（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）请你选择一个问题把序号填在横线上，并用比例知识解答． 乐乐5分钟可以走325米，照这样计算，__________， a．18分钟可以走多少米？ b．从家到学校相距1300米，她要走多少分钟？ 1．（23-24六年级下·黑龙江大庆·开学考试）用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼）（   ）个． A．11个 B．8个 C．10个 D．13个 2．（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按 顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为 ． 4．（24-25六年级下·广西南宁·开学考试）学校要订购桶矿泉水，现在有甲乙丙三个店可供选择，价格都是元每桶，但优惠办法不同．甲店：每满元，返还现金元；乙店：八折出售：丙店：买桶送桶、不满桶不送．为了节省开支，应订购哪个店家的水？请计算说明． 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 1．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 2．（23-24七年级下·广西贵港·期末）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 3．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：①②，③若，则或，其中结论正确的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【例2】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若对于任意两数，定义一种运算“”，使得． (1)求的值； (2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由． 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 2．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【定义新运算】现规定一种运算：，那么的值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）的商与比较，商（    ）（是非0自然数）． A．大于a B．小于a C．等于a D．小于或等于a 2．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【凑整法】算式的计算结果是（    ） A．4800 B．4720 C．4560 D．2400 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（   ）更优惠． A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较 4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）明明买一个文具盒，经与店主讨价还价后，只付了4元，比原价便宜1元．这个文具盒打（    ）卖给了明明． A．二五折 B．七五折 C．八折 D．二折 5．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）根据如图可知，某地2023年人均年收入（    ）元． A．7500 B．1500 C．4500 D．3000 6．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 7．（24-25七年级下·重庆·自主招生）为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在以内（含）的按照每立方米元计算，到（含）的按照每立方米元计算，超过按照每立方米元计算，小丽家5月份用水量为，那么小丽家本月水费共（    ）元． A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）一个小数，如果小数点向右移动1位，比原数多9.45，原数是（   ） A．94.5 B．1.05 C．10.5 D．0.945 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知有理数，，，满足，那么（    ） A． B． C． D． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）某楼盘原来定价为每平方米20000元，由于国务院出台了一系列有关房产的政策，房产开发商为了加快资金回笼，将该楼盘价格连续两次下调，每次均降．小李在降价后购买了一套100平方米的房子，共需付（   ）万元． A．180 B．162 C．121 D．81 11．（25-26七年级上·重庆·开学考试）小丽在做两位数乘两位数的计算题时，把其中一个乘数30看成了3，算出的结果是72，正确的结果是 ． 12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在一个正方体的各个顶点上标上．若使得每个面的四个顶点的数字和都一样，则每一面四个顶点的数字和是 ． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）计算： ． 14．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算： ． 15．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）五（2）班同学准备合买一批文具送给灾区学生，如果每人出6元，则多出48元；如果每人出4.5元，则少27元，这批文具一共 元？ 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 根据上述方法计算：． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 18．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 (1)班接受视力检查的有多少人？ (2)班比班多检查多少人？ (3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ 19．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手人数（人） 1 2 3 2 与标准身高相比（cm） (1)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有______名候选队员合格； (2)若将标准放宽为，则有______名候选队员合格； (3)求这8名候选队员的平均身高． 20．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）有一个长方体容器，底部有一块挡板（垂直于底面，厚度忽略），将容器下面分成A、B两部分，B部分有一个漏洞，水可以往下漏．C是用来测量水面高度的尺子，D是进水管，每秒进水0.75升．如图记录的是开始注水后水面高度随时间变化的情况．请回答： (1)E表示多少？ (2)漏洞每秒钟漏出多少升水？ (3)F、G各表示几？ 学科网（北京）股份有限公司 $$