24.3.1　锐角三角函数 同步练 2025-2026学年 华东师大版（2024）九年级数学上册

24.3.1　锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，我们把∠A的　邻边与斜边　的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝＝，tan A＝＝. 3.锐角三角函数值都是正实数，并且0<sin A<　1　，0<cos A<　1　． 4.同角三角函数关系：sin 2A＋cos 2A＝　1　． 考点1　求一个锐角的三角函数值 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sin A、cos A、tan A的值． 解：∵∠C＝90°，AC＝3， BC＝4，∴AB＝＝＝5， ∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝. 1.锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关． 2.在锐角三角函数中，用一个大写字母或一个小写希腊字母表示角时，可以省略符号“∠”；用三个大写字母或一个数字表示角时，不能省略“∠”． 【变式训练】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求sin A、cos A、tan A的值． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3， ∴AB＝＝＝， ∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.tan A＝＝. 考点2　利用锐角三角函数值求线段的长 【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知sin B＝，AD＝2CD＝2，则BE的长为(　B　) A．4 B． C． D．3 解析：∵AD＝2CD＝2， ∴AD＝2，CD＝1，∴AC＝3. ∵∠C＝90°，sin B＝， ∴sin B＝＝，∴AB＝5. ∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠B＝90°－∠A， ∴sin ∠ADE＝sin ∠B＝＝， ∴AE＝，∴BE＝AB－AE＝5－＝. 在直角三角形中，根据锐角三角函数值求三角形边长的两种题型： (1)当已知边长与已知锐角三角函数值有直接关系时，可利用锐角三角函数的定义直接求出另一条边的长，再利用勾股定理求出第三边的长； (2)当已知边长与已知锐角三角函数值没有直接关系时，可利用已知锐角三角函数中的两边之比设参数，再根据勾股定理和已知的第三边长列方程求解． 【变式训练】 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，BC＝5，则AB的长为(　D　) A.2 B．3 C．2 D．3 考点3　锐角三角函数之间的关系 【典例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值等于(　C　) A． B． C． D．1 解析：cos B＝cos (90°－A)＝sin A＝. 本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A＋∠B＝90°时，正余弦之间的关系为一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos (90°－∠A)是解题的关键． 【变式训练】 3.若sin (α＋20°)＝cos 50°，则α的度数是(　D　) A．50° B．40° C．30° D．20° 知识点1　锐角三角函数的定义 1.（海南海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cos B等于(　A　) A． B． C． D． 2.（海南海口龙华区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是(　D　) A. B． C． D． 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，则AC＝(　B　) A．3 B．9 C．10 D．15 4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin ∠BAC＝，若将△ABC三边都扩大3倍得到△A′B′C′，则sin ∠B′A′C′＝　　． 知识点2　锐角三角函数之间的关系 5.如果α是锐角，且sin α＝，那么cos (90°－α)的值为(　B　) A. B． C． D． 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是(　D　) A．tan A＝ B．sin2A＋sin2B＝1 C．sin2A＋cos2A＝1 D．sinA＝sin B 知识点3　锐角三角函数值的范围 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cos A的值的变化情况是(　B　) A.不断变大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定 易错易混点　忽视锐角三角函数的取值范围 8.对于锐角A，sin A的值不可能为(　D　) A． B． C． D．1 9.（海南海口美兰区校级二模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，那么cos ∠BAC的值为(　A　) A． B． C． D． 设网格小正方形的边长为1，则AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，∴△ABC为等腰三角形． 如图所示，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，∴AD＝AC＝×2＝，∴cos ∠BAC＝＝＝. 10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是(　A　) A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ 11.已知三角形纸片ABC的两直角边长分别为6、8，现将△ABC按如图所示的方式进行折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则sin ∠CBE的值是(　C　) A． B． C． D． 由折叠得BE＝AE，∵BC＝6，AC＝8，∴BE＝AE＝8－CE，∵∠C＝90°，∴BC2＋CE2＝BE2，∴62＋CE2＝(8－CE)2，解得CE＝，∴BE＝8－＝，∴sin ∠CBE＝＝＝. 12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5，0)，sin∠COA＝.若反比例函数y＝(k≠0)经过点C，则k的值等于　12　． 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于　　. 如图， 过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AB＝4，sin A＝，∴BC＝AB·sin A＝，根据勾股定理，得AC＝＝，∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝. 14.（推理能力）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连结AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是(　C　) A． B． C． D．3 如图， 过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP∶AC＝OC∶BC＝1∶2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ∶AO＝CP∶AC＝1∶2，∵P(1，1)，∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan ∠OAP＝＝＝. 第2课时　特殊角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 考点1　特殊角的三角函数值的运算 【典例1】(1)计算：sin 45°＋2cos 30°－tan 60°. (2)计算：3tan 30°－tan245°＋2sin60°. 解：(1)原式＝＋2×－＝＋－＝. (2)原式＝3×－12＋2×＝－1＋＝2－1. 含特殊角的三角函数值的计算的注意事项： (1)熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； (2)注意运算顺序和法则； (3)注意特殊角三角函数值的准确代入． 【变式训练】 1.(1)计算：2sin 30°－cos245°＋cos60°. (2)计算：tan260°＋. (1)原式＝2×－＋＝1－＋＝1. (2)原式＝（）2＋＝3＋＋＝3＋. 考点2　由锐角三角函数值求特殊角 【典例2】在锐角△ABC中，若（tan C－）2＋|－2sin B|＝0，则∠A＝(　D　) A.30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75° 解析：∵（tan C－）2＋|－2sin B|＝0， ∴tan C＝，sin B＝， ∴∠C＝60°，∠B＝45°，∴∠A＝75°. 由三角函数值确定特殊角的一般步骤： 第1步：通过边之间的关系或者其他关系得到三角函数值； 第2步：根据特殊角的三角函数值，确定锐角的度数． 【变式训练】 2.已知α为锐角，且tan (90°－α)＝，则α的度数为(　A　) A．30° B．60° C．45° D．75° 知识点1　特殊角的三角函数值 1.计算sin 45°的值等于(　C　) A． B． C． D． 2.（海南陵水县期末）式子2cos 30°－tan 45°－的值是(　B　) A．2－2 B．0 C．2 D．2 3.（海南海口琼山区校级期末）小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，cos ∠AOB的值为(　C　) A． B． C． D． 4.计算：(1)tan 30°cos 60 °＋tan 45°cos 30°； (2)sin 30°＋3tan 60°－cos245°； (3)cos245°＋－·tan 30°. (1)原式＝×＋1×＝＋＝. (2)原式＝＋3－＝3. (3)原式＝（）2＋－×＝＋－1＝. 知识点2　已知特殊角的三角函数值求角度 5.若sin (x＋15°)＝，则锐角x＝　45　°. 6.如图，若点A的坐标为（1，），则∠1＝　60°　． 7.点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是(　B　) A．（，） B．（－，－） C．（－，） D．（－，－） 8.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则3tan 的值是(　A　) A． B．2 C．3 D．3 9.（海南海口龙华区校级期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足＋＝0，则△ABC是(　B　) A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 10.已知α是锐角，tan (α－15°)＝，则sin α的值为　　． ∵α是锐角，tan (α－15°)＝，∴α－15°＝30°，∴α＝45°，∴sin α＝sin 45°＝. 11.（运算能力）已知∠A是锐角，且tan A、是关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2－3＝0的两个实数根． (1)求k的值； (2)问∠A能否等于45°，请说明你的理由． (1)∵tan A、是关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2－3＝0的两个实数根，∴tan A·＝1＝k2－3，即1＝k2－3，k2＝4，∴k＝±2.由∠A是锐角知，tan A>0，>0.∴2k＝－<0，即k<0，∴k＝－2，此时方程的根的判别式Δ＝(－4)2－4［(－2)2－3］＝12>0，所以方程有实数根，∴k＝－2； (2)若A＝45°，则tan A＝＝1，将x＝1代入方程x2－4x＋4－3＝0，左边＝1－4＋1＝－2≠0， ∴1不是方程的根，∴∠A不能等于45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3.1　锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，我们把∠A的 的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝＝，tan A＝＝. 3.锐角三角函数值都是正实数，并且0<sin A< ，0<cos A< ． 4.同角三角函数关系：sin 2A＋cos 2A＝ ． 考点1　求一个锐角的三角函数值 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sin A、cos A、tan A的值． 1.锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关． 2.在锐角三角函数中，用一个大写字母或一个小写希腊字母表示角时，可以省略符号“∠”；用三个大写字母或一个数字表示角时，不能省略“∠”． 【变式训练】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求sin A、cos A、tan A的值． 考点2　利用锐角三角函数值求线段的长 【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知sin B＝，AD＝2CD＝2，则BE的长为( ) A．4 B． C． D．3 在直角三角形中，根据锐角三角函数值求三角形边长的两种题型： (1)当已知边长与已知锐角三角函数值有直接关系时，可利用锐角三角函数的定义直接求出另一条边的长，再利用勾股定理求出第三边的长； (2)当已知边长与已知锐角三角函数值没有直接关系时，可利用已知锐角三角函数中的两边之比设参数，再根据勾股定理和已知的第三边长列方程求解． 【变式训练】 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，BC＝5，则AB的长为( ) A.2 B．3 C．2 D．3 考点3　锐角三角函数之间的关系 【典例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值等于( ) A． B． C． D．1 本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A＋∠B＝90°时，正余弦之间的关系为一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos (90°－∠A)是解题的关键． 【变式训练】 3.若sin (α＋20°)＝cos 50°，则α的度数是( ) A．50° B．40° C．30° D．20° 知识点1　锐角三角函数的定义 1.（海南海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cos B等于( ) A． B． C． D． 2.（海南海口龙华区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是( ) A. B． C． D． 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，则AC＝( ) A．3 B．9 C．10 D．15 4.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin ∠BAC＝，若将△ABC三边都扩大3倍得到△A′B′C′，则sin ∠B′A′C′＝ ． 知识点2　锐角三角函数之间的关系 5.如果α是锐角，且sin α＝，那么cos (90°－α)的值为( ) A. B． C． D． 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是( ) A．tan A＝ B．sin2A＋sin2B＝1 C．sin2A＋cos2A＝1 D．sinA＝sin B 知识点3　锐角三角函数值的范围 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cos A的值的变化情况是( ) A.不断变大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定 易错易混点　忽视锐角三角函数的取值范围 8.对于锐角A，sin A的值不可能为( ) A． B． C． D．1 9.（海南海口美兰区校级二模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，那么cos ∠BAC的值为( ) A． B． C． D． 10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是( ) A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝ 11.已知三角形纸片ABC的两直角边长分别为6、8，现将△ABC按如图所示的方式进行折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则sin ∠CBE的值是( ) A． B． C． D． 12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(5，0)，sin∠COA＝.若反比例函数y＝(k≠0)经过点C，则k的值等于 ． 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于 . 14.（推理能力）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连结AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是( ) A． B． C． D．3 第2课时　特殊角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 考点1　特殊角的三角函数值的运算 【典例1】(1)计算：sin 45°＋2cos 30°－tan 60°. (2)计算：3tan 30°－tan245°＋2sin60°. 含特殊角的三角函数值的计算的注意事项： (1)熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； (2)注意运算顺序和法则； (3)注意特殊角三角函数值的准确代入． 【变式训练】 1.(1)计算：2sin 30°－cos245°＋cos60°. (2)计算：tan260°＋. 考点2　由锐角三角函数值求特殊角 【典例2】在锐角△ABC中，若（tan C－）2＋|－2sin B|＝0，则∠A＝( ) A.30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75° 由三角函数值确定特殊角的一般步骤： 第1步：通过边之间的关系或者其他关系得到三角函数值； 第2步：根据特殊角的三角函数值，确定锐角的度数． 【变式训练】 2.已知α为锐角，且tan (90°－α)＝，则α的度数为( ) A．30° B．60° C．45° D．75° 知识点1　特殊角的三角函数值 1.计算sin 45°的值等于( ) A． B． C． D． 2.（海南陵水县期末）式子2cos 30°－tan 45°－的值是( ) A．2－2 B．0 C．2 D．2 3.（海南海口琼山区校级期末）小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，cos ∠AOB的值为( ) A． B． C． D． 4.计算：(1)tan 30°cos 60 °＋tan 45°cos 30°； (2)sin 30°＋3tan 60°－cos245°； (3)cos245°＋－·tan 30°. 知识点2　已知特殊角的三角函数值求角度 5.若sin (x＋15°)＝，则锐角x＝ °. 6.如图，若点A的坐标为（1，），则∠1＝ ． 7.点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( ) A．（，） B．（－，－） C．（－，） D．（－，－） 8.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则3tan 的值是( ) A． B．2 C．3 D．3 9.（海南海口龙华区校级期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足＋＝0，则△ABC是( ) A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 10.已知α是锐角，tan (α－15°)＝，则sin α的值为 ． 11.（运算能力）已知∠A是锐角，且tan A、是关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2－3＝0的两个实数根． (1)求k的值； (2)问∠A能否等于45°，请说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$