15.3 第3课时　等边三角形的性质与判定 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3　等腰三角形 第3课时　等边三角形的性质与判定 第十五章　轴对称 思考：满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三条边都相等的三角形是等边三角形． A B C 定义： 新知探究 思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ A B C A B C 新知探究 探究1 等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？   已知：如图，AB=AC=BC. ∵AB=AC ∴∠B=∠C 同理∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° A B C 新知探究 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C 符号语言：∵AB=BC=AC， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 新知探究 探究2 等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？ 性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. A B C 新知探究 探究3 等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？ 性质：等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. A B C D F E 新知探究 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. A B C 总结归纳 探究4 三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？ 已知：如图，∠A=∠B=∠C. ∵∠A=∠B ∴AC=BC 同理 AB=AC ∴AB=AC=BC 即△ABC是等边三角形 A B C 新知探究 判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 符号语言：∵∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形. A B C 新知探究 探究5 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？  假若AB=AC，则∠B=∠C 当顶角∠A=60°时， ∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60° ∴∠A=∠B=∠C=60° ∴△ABC是等边三角形. 当底角∠B=60°时，∠C=60° ∠A=180°-∠B-∠C=60° ∴∠A=∠B=∠C=60° ∴△ABC是等边三角形. A B C 新知探究 判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言：∵AB=AC，∠B=60°, ∴△ABC是等边三角形. A B C 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形的判定： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 课堂小结 课堂小结 1.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D 为圆心，DB长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则 ∠DEC的度数为（　C　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 2. 如图，AB＝AC，D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E. 若BE∥AC，则∠C的度数为 ⁠. C 60°　 （第1题） （第2题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，△ABC为等边三角形，BD平分 ∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E. 求证： （第3题） （1） △ADE是等边三角形. 解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.∵ DE∥BC，∴ ∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°.∴ ∠A＝∠AED＝∠ADE. ∴ △ADE是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） AE＝ AB. （2） ∵ △ABC为等边三角形，∴ AB＝BC＝AC. ∵ BD平分 ∠ABC，∴ AD＝ AC. 由（1）知，△ADE是等边三角形，∴ AE＝ AD. ∴ AE＝ AB. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，AC上的动点，BD ＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边三角形DEF，连接 CF. 当点D从点A出发向点B运动（不与点B重合）时，∠ECF的度数 的变化情况是（　A　） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 A （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°.若AB＝ 2，BC＝3，则BD的长为（　A　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 （第5题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，且E 为边BC的中点，连接AE，以AE为边向上作等边三角形ADE，连接 BD，则BD的长为 ⁠. （第6题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图①，△ABC 是等边三角形，点D在△ABC 内部，且∠BDC＝120°. （1） 设∠ABD＝α，求∠ACD的度数（用含α的式子表示）.解： （1） ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，即 ∠ABD＋∠DBC＝60°，∠ACD＋∠BCD＝60°.∵ ∠BDC＝ 120°，∴ ∠DBC＋∠BCD＝180°－120°＝60°.∴ 易得∠ABD＋ ∠ACD＝60°.∴ ∠ACD＝60°－∠ABD＝60°－α. 解：（1） ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，即 ∠ABD＋∠DBC＝60°，∠ACD＋∠BCD＝60°.∵ ∠BDC＝ 120°，∴ ∠DBC＋∠BCD＝180°－120°＝60°.∴ 易得∠ABD＋ ∠ACD＝60°.∴ ∠ACD＝60°－∠ABD＝60°－α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 如图②，E是BC的中点，连接AD，DE，用等式表示线段AD与 DE之间的数量关系，并加以证明. （第7题） （2） AD＝2DE. 延长CD至点F，使DF＝BD，连接BF，AF. ∵ ∠BDC＝120°，∴ ∠BDF＝180°－∠BDC＝60°.∵ DF＝BD， ∴ △BDF是等边三角形.∴ BF＝DF＝BD，∠FBD＝∠BFD＝60°. ∴ ∠ABF＋∠ABD＝60°.∵ ∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°， ∴ ∠ABF＝∠DBC. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴ △ABF≌△CBD. ∴ AF＝CD，∠BFA＝∠BDC＝120°.∴ ∠AFD＝∠BFA－∠BFD＝60°.延长DE至点G，使GE＝DE，连接BG. ∵ E是BC的中点，∴ BE＝CE. 又∵ ∠BEG＝∠CED，GE＝DE， ∴ △BEG≌△CED. ∴ BG＝CD，∠GBE＝∠DCE. ∴ BG＝AF. ∵ ∠BDC＝120°，∴ ∠DCB＋∠DBC＝60°.∴ ∠GBE＋∠DBC ＝60°，即∠GBD＝60°.∴ ∠GBD＝∠AFD＝60°.在△DFA和 △DBG中， ∴ △DFA≌△DBG. ∴ AD＝GD＝DE ＋GE＝2DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 8. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿边CB向 点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿边BA向点A以5cm/s的速度 移动.P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts. （第8题） （1） 试用含t的代数式表示BP和BQ的长. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ BC＝AB＝9cm.∵ 点P的速度为2cm/s，时间为ts，∴ CP＝2tcm.∴ BP＝BC－CP＝（9－2t）cm.∵ 点Q的速度为5cm/s，时间为ts，∴ BQ＝5tcm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 移动几秒时，△PBQ为等边三角形？ （2） 若△PBQ为等边三角形，则BQ＝BP，即5t＝9－2t，解得t＝ .∴ 移动 s时，△PBQ为等边三角形. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3） 若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC的三边移动，则几秒时点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ （3） 设ts时，点Q与点P第一次相遇.根据题意，得5t－2t＝9×2，解得t＝6.∴ 6s时，点Q与点P第一次相遇.当t＝6时，点P移动的路程为2×6＝12（cm），而9＜12＜18，即此时点P在边AB上.∴ 6s时点P 与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$