2.1认识实数（第2课时） 课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”，核心内容包括实数的概念、有理数与无理数的关系及运算，通过复习有理数分类（整数、分数），结合具体数分类练习引出无理数，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是通过探究活动（如比较无理数大小、数轴表示√2）培养数学眼光中的几何直观和抽象能力，数学思维中的推理意识，作业分层设计兼顾不同学生，课堂小结系统梳理知识。学生能发展数感和探究能力，教师可高效开展教学。

第二章实数 2.1认识实数(2) 01 教学目标 02 复习旧知 03 探究新知 04 典例精析 05 课堂小结 06 课堂小结 05 课堂练习 07 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 理解实数、有理数、无理数三者之间的关系. 01 掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数仍然适应. 02 掌握无理数在数轴上的表示方法。理解数轴上的任何点多可以用实数来表示。 03 充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感. 04 02 复习旧知 到目前为止,我们认识了哪些数? 试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方: 按数的大小来分： 正数的有：( ) 负数的有:( ) 非正非负数：( ) 0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 , 0.35 ,1,5.34 , -12 , -3.14 , -58 , 0 02 复习旧知 试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方: 0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 , 按数 的概 念来 分： 整数有：( ) 分数有:( ) 有理数的有 :( ) 上述各数中除了有理数，还剩下的数有:( ) 0, -12 , 1 ,-58 0.35 , -3.14 ,5.34, 0, -12 , 1 ,-58, 0.35 , -3.14 ,5.34, 03 新知探究 探究一 实数 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 知识要点1 方法点拔: 判定一个数是否无理数: (1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数. 具体从以下几方面来判断: (1)开方开不尽的数是无理数; (2)π是无理数; (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数； 03 新知探究 实数、有理数、无理数的关系？ 整数 有理数 无理数 实数 分数 有限小数或无限循环小数 ：无限不循环小数 03 新知探究 探究二 无理数的大小比较 解：5.232232223≈5.23223 2π≈2×3.1415962=6.2831852 由于5.23223＜5.47225＜6.2831852 ∴ 知识要点2 1、在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内相反数、倒数、绝对值完全一样。 2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应. 3、在实数运算中，无理数求近似数的方法与有理数求近似数的方法相同。 03 新知讲解 探究三 无理数在数轴表示 知识要点3 1、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数。 2、用数轴上的点来表示无理数时，构建一个直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径，与数轴的交点就是斜边的长度。与正半轴相交就是正无理数，与负半轴相交就是负无理数。 03 新知讲解 阅读课本第29页，无理数的发现 希伯索斯第一次发现边长为1的正方形的对角线并不能用整数比来表达，出现了无理数。他的发现引起了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派最终建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。而希伯索斯为此献出了年轻的生命。 第二次数学危机，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。 第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾. 03 典例精析 例1 把下列各数填入相应的集合. 0.351 3.14159 6 有理数集合 无理数集合 0.351 3.14159 6 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1．一个正方形的边长为a，面积为20，则(　　) A．a可能是整数   B．a可能是分数 C．a可能是有理数   D．a不是有理数 2．下列各数中，是有理数的是(    ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长 D B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3．已知正数m满足条件m2＝40，则m的整数部分为(　 　) A．9  B．8   C．7  D．6 4．下列各数：，0， ， ，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数有(    ) A．2个  B．3个  C．4个  D．5个 5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是(　　) A．3.0＜AB＜3.1   B．3.1＜AB＜3.2 C．3.2＜AB＜3.3   D．3.3＜AB＜3.4 D A B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 6．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（　　） A．1和2  B．2和3 C．3和4  D．4和5 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 7.请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示 的点(不写作法，但要保留清晰的作图痕迹)． 解：如图，点A即为所求． 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 8．已知直角三角形的两条直角边长分别是9 cm和5 cm，斜边长是x cm. (1)估计x在哪两个整数之间； (2)如果把x的结果精确到十分位，估计x介于哪两个数之间．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值． 解：(1)∵ ∴x在整数10和11之间　 x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间， x精确到百分位时，x在10.29与10.30之间. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．(1)若圆形纸片从点A处滚动到点C处，恰好滚动了n(n为正整数)圈，则a＝__________(用含n的代数式表示)，a是__________(填“有理数”或“无理数”)； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C，D之间的距离(结果保留π)； 20 04 课堂练习 【综合拓展类作业】  解：(1) ；无理数 (2)由题意得a＋b＝π， 所以CD＝(5a＋2b)－(2a－b)＝3a＋3b＝3(a＋b)＝3π， 故C，D之间的距离为3π. 21 05 课堂小结 1、实数的分类，判定一个数是无理数的方法:无限不循环的小数 2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应. 3、每一个实数都可以有数轴上的点表示，反过来数轴上的每一个都可以表示一个实数，方法：构建直角三角形，以原点为圆心，以斜边为半径画弧. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.把 ， ，0，3.14， ， ，7.151 551 555 1…(每相邻两个1之间依次多一个5)这些数填入下面的集合中． 整数集合：（ ） 分数集合：（ ） 无理数集合： 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 从-2,0,π，0.101001---每相邻2个1之间依次多一个0)，   ，这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是(    ) B 3.下列结论正确的是(    ) A. 无限不循环小数叫做无理数,  B. 有理数包括正数和负数, C. 0除以任何数都得0,   D. 两个有理数的和一定大于每一个加数. A 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 4.下列说法：①带根号的数是无理数；②不含根号的数一定是有理数；③无理数是开方开不尽的数；④无限小数是无理数；⑤π是无理数，其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.1个 5.下列说法中：①有理数都是有限小数，②有限小数都是有理数③无理数都是无限不循环小数④无限小数都是无理数正确的是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ D C 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 6．如图，数轴上的点A所表示的实数为(　　) B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 7.如图所示，数轴上点A所表示的数为:  ( ) 06 作业布置 【综合拓展类作业】 8．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π(Day)”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对于圆周率的四个表述： ①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数； ③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比； ④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比． 其中表述正确的序号是(　　) ②③      B．①③      C．①④      D．②④ A 06 作业布置 【综合拓展类作业】 9.如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数.     06 作业布置 【综合拓展类作业】 解：∵AB=a+b;    BC=2a-b;    BD=5a+2b ∴  AC=AB+BC=3a,    CD=BD-BC=3a+3b=3（a+b)）=3AB 因为圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C处滚动了3圈， 因此①当A，B之间的距离为π时，B，C之间的距离为2π，C，D之间的距离为3π， 所以A，D之间的距离为π＋2π＋3π＝6π. 又因为点A表示的数为π， 所以点D表示的数为π＋6π＝7π； 06 作业布置 【综合拓展类作业】 ②当A，B之间的距离为2π时，B，C之间的距离为π，C，D之间的距离为2π×3＝6π， 所以A，D之间的距离为2π＋π＋6π＝9π. 又因为点A表示的数为π， 所以点D表示的数为π＋9π＝10π. 故点D表示的数为7π或10π. Thanks! 下节课，再见！ $$