第二十一章 一元二次方程 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

数学(人教版)九年级上 1 第二十一章拔尖测评 ◎ 满分:120分 ◎ 时间:120分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为 ( ) A. 3(x+1)2=2(x+1) B. 1 x2+ 1 x-2=0 C. ax2+bx+c=0 D. x2+2x=x2-1 2. 若关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项,则m 的值为 ( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 3. 若a是一元二次方程2x2=6x-4的根,则代数式a2-3a+2025的值为 ( ) A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 4. 用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是 ( ) A. x-32 2 =134 B. x-34 2 =12 C. x-34 2 =1716 D. x-32 2 =114 5. 若关于x的方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 6. 若关于x的一元二次方程(a-2)x2-4x+1=0有两个不等的实数根,则a的取值范围是 ( ) A. a<2 B. a<5且a≠2 C. a<6且a≠2 D. a<6 7. 某专卖店销售一种机床,三月份每台的售价为2万元,共销售60台.根据市场调查发现,这种机 床每台的售价每增加0.1万元,就会少售出1台.四月份该专卖店想将销售额提高25%,则这 种机床每台的售价应定为 ( ) A. 3万元 B. 5万元 C. 8万元 D. 3万元或5万元 (第8题) 8. 如图,AB 的长为2,以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB,在边AB 上取一 点E,以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM,过点E 作EF⊥CD,垂足为 F.若正方形ACDB 与四边形MNFC 的面积相等,则AE 的长为 ( ) A. 5-2 B. 5-1 C. 5-1或-5-1 D. 5+1 9. 已知实数a,b,c满足a2+b2+c2+2ab=1,ab(a2+b2+c2)=18 ,α,β为方程(a+b)x2- (2a+c)x-(a+b)=0的两个根,则α 3+β3 α+β 的值为 ( ) A. 1 16 B. 1 C. 4 D. 16 10. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=m,BC=12n ,以点C 为圆心,CB 长为半径画弧,交 AC 于点D;以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交AB 于点E,连接BD.下列线段的长中,一 定是关于x的一元二次方程x2+nx=m2的一个根的是 ( ) (第10题) A. AE B. BE C. CD D. BD 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 若关于x的一元二次方程(k+1)x2-x+k2-2k-3=0的一个根为x=0,则实数k的值为 . 12. 若方程x2-17x+60=0的两个根恰为一个直角三角形的两边的长,则这个直角三角形的斜 边长为 . 13. 如图,数轴上点A 代表的数为3x+1,点B 代表的数为x2+2x.已知AB=5,且点A 在数轴 的负半轴上,则x的值为 . (第13题) 14. 某商店经销一批小家电,每件小家电的成本为40元,市场预测当每件的定价为50元时,可销 售200件,当每件的定价每增加1元时,销售量将减少10件.若商店进货全部售完后赚了 2250元,则这批小家电每件的定价是 元. 15. 若关于x的一元二次方程x2-2(2-k)x+k2+8=0有实数根α,β,设t= α+β k ,则t的最小 值是 . 16. 已知关于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0(m>0),当m=1,2,…,2024时,相应地, 一元二次方程的两个根分别记为α1,β1;α2,β2;…;α2024,β2024,则 1 α1+ 1 β1 +1α2+ 1 β2 +…+ 1 α2024+ 1 β2024 的值为 . 三、 解答题(共72分) 17. (8分)用指定的方法解方程: (1) (x-5)2-25=0(直接开平方法). (2) x2-2x-3=0(因式分解法). (3) x2-4x-5=0(配方法). (4) x2+3x-4=0(公式法). 18. (8分)是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共 根? 如果存在,求出这个实数m 及两个方程的公共根;如果不存在,请说明理由. 19. (8分)若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个整数根,且满足|x1-x2|=1,则称此类 方程为“差1方程”.例如:(x-2)(x-3)=0是“差1方程”. (1) 有下列方程:① 1 4-x 2=0;② x2+7x+12=0;③ x2-x=1.其中,是“差1方程”的为 (填序号). (2) 若方程x2-(m+1)x+m=0是“差1方程”,求m 的值. 2 20. (8分)阅读下面的例题: 解方程:x2-|x|-2=0. 解:当x≥0时,原方程化为x2-x-2=0,解得x=2或x=-1(不合题意,舍去); 当x<0时,原方程化为x2+x-2=0,解得x=1(不合题意,舍去)或x=-2. ∴ 原方程的根是x1=2,x2=-2. 请参照例题解方程:x2-|x-1|-2=0. 21. (8分)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,根据一元二次方程的解的概 念,知ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=0,即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),这样我们 可以在实数范围内分解因式. 如分解因式:2x2+2x-1. 解:∵ 2x2+2x-1=0的根为x1= -1+3 2 ,x2= -1-3 2 , ∴ 2x2+2x-1=2x--1+32 x--1-32 =2x- 3-12 x+ 3+12 . 仿照上例,在实数范围内分解因式:3x2-5x+1. 22. (10分)已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4k-12 =0. (1) 求证:无论k取什么实数值,这个方程总有实数根. (2) 能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数? 若能,请求出k的值;若不能,请说 明理由. (3) 当等腰三角形ABC 的一边长a=4,另两边的长b,c恰好是这个方程的两根时,求 △ABC 的周长. 23. (10分)某班准备集体购买一种T恤衫参加社会活动.了解到某商店正好在举办这种T恤衫 的促销活动,当购买10件时,每件140元,购买数量每增加1件,单价减少1元;当购买数量 为60件以上(含60件)时,一律每件80元. (1) 如果购买x件(10<x<60),单价为y元,请写出y关于x的函数解析式. (2) 该班共购买了100件T恤衫,由于某种原因分两批购买,且第一批购买的数量多于30件 且少于60件.已知购买T恤衫一共花了9200元,求第一批T恤衫的购买数量. 24. (12分)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=8cm,AB=AD=10cm, 点P 从点A 出发,以每秒3cm的速度沿折线ABC 方向运动,点Q 从点D 出发,以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动,连接PQ,BP,DP.已知动点P,Q 同时出发,当点P 运 动到点C 时,点P,Q 停止运动,设运动时间为ts. (1) 求CD 的长. (2) 当四边形PBQD 为平行四边形时,直接写出四边形PBQD 的周长. (3) 在点P,Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△BPQ 的面积为 15cm2? 若存在,请 求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由. (第24题) ∵ AP=AQ, ∴ △APQ 是等边三角形. ∴ PQ=PA. ∴ PB+PC=PA. (2) 16. (3) ∵ AB=AC,∠BAC=90°, ∴ BC 是☉O 的直径,且圆心O 在 BC上. ∴ OB=OC=8,BC=16. 如图①,将△APC绕点A 顺时针旋转 90°得到△AQB,使点C与点B重合. ∴ QA=PA,QB=PC,∠ABQ= ∠ACP. ∵ ∠ACP+∠ABP=180°, ∴ ∠ABQ+∠ABP=180°. ∴ P,B,Q 三点在同一条直线上. ∵ ∠PAQ=90°, ∴ PB+PC=PB+QB=PQ= PA2+QA2=2PA. ∵ 当PA 经过圆心O,即PA 是☉O 的直径时,PA 的长最大,为16, ∴ PB+PC的最大值为162. ∴ △PBC周长的最大值是162+16. (4) 82-8. 解析:如图②,连接 OA,将线段AO 绕点A 逆时针旋转 90°到AE,连接OE,EC,OB.∴ EA= OA=8,∠OAE =90°.∴ OE = OA2+EA2 =8 2.∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠EAC = ∠OAB =90°- ∠OAC.∵ AC=AB,∴ △EAC≌ △OAB.∴ EC=OB=8.∵ OC+ EC≥OE,∴ OC+8≥82.∴ OC≥ 82-8.∴ OC长的最小值为82-8. (第11题) 拔尖测评 第二十一章拔尖测评 一、 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. C 解析:∵ a2+b2+c2+2ab= 1,ab(a2+b2+c2)=18 ,∴ a2+b2+ c2,2ab为方程x2-x+14=0 的两个 根.∴ a2 +b2 +c2 =2ab= 12. ∴ ab=14. 由a2+b2+c2=2ab,得 (a-b)2+c2=0.∴ a=b=12 , c=0 或 a=b=-12 , c=0. 把两组值代入(a+ b)x2-(2a+c)x-(a+b)=0得到 的方程相同,为x2-x-1=0.∴ α+ β=1,αβ=-1.∴ α3+β3 α+β =α2+β2- αβ=(α+β)2-3αβ=4. 10. A 解析:在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,AB=m,BC= 12n ,则 AC= AB2+BC2= m2+14n 2.∴ AE= AD =AC -CD =AC -BC = m2+14n 2 - 12n. 对 方 程 x2+ nx=m2,有x2+nx-m2=0.∴ x= -n± n2+4m2 2 =± n2+4m2 4 - 1 2n=± 1 4n 2+m2-12n.∴ 一定 是关于x的一元二次方程x2+nx= m2的一个根的是AE 的长. 二、 11. 3 12. 12或13 13. -2 14. 55 15. -6 16. 4048 2025 解析:∵ x2+2x-m2- m=x2+2x-m(m+1)=0,∴ α+ β=-2,αβ=-m(m+1).当m=1, 2,…,2024 时,α1β1 = -1×2, α2β2 = -2×3,…,α2024β2024 = -2024×2025.∴ 原式= α1+β1 α1β1 + α2+β2 α2β2 +…+ α2024+β2024 α2024β2024 = 21×2+ 2 2×3+ …+ 22024×2025=2× 1- 1 2+ 1 2- 1 3+ …+ 12024- 1 2025 = 2× 1- 12025 =40482025. 三、 17. (1) x1=0,x2=10. (2) x1=3,x2=-1. (3) x1=5,x2=-1. (4) x1=1,x2=-4. 18. 存在. 由题意,得m≠2. 联立方程,得 x2+mx+2=0, x2+2x+m=0, 解得 x=1. 把x=1代入x2+mx+2=0,得1+ m+2=0,即m=-3. ∴ 当m=-3时,两个方程有且只有 一个公共根,公共根为1. 19. (1) ②. (2) 分解因式,得(x-1)(x-m)=0, 解得x1=1,x2=m. ∵ 方程是“差1方程”, ∴ |m-1|=1,解得m=2或m=0. 20. 当x≥1时,原方程化为x2-x- 1=0,解得x=1+52 或x=1-52 (不合题意,舍去); 当x<1时,原方程化为x2+x-3= 0,解得x=-1+ 132 (不合题意,舍 去)或x=-1- 132 . ∴ 原 方 程 的 根 是 x1 = 1+5 2 , x2= -1- 13 2 . 21. ∵ 3x2-5x+1=0的根为x1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 76 5+ 13 6 ,x2= 5- 13 6 , ∴ 3x2-5x+1=3 x-5+ 136 · x-5- 136 =3 x- 13+56 · x+ 13-56 . 22. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2- 16k-12 =(2k-3)2≥0, ∴ 这个方程总有实数根. (2) 能. ∵ 两实数根互为相反数, ∴ x1+x2=2k+1=0,解得k=-0.5. (3) ① 当b=c 时,Δ=0,即(2k- 3)2=0,解得k=32. ∴ 方程可化为x2-4x+4=0. ∴ x1=x2=2,即b=c=2. ∵ b+c=4=a, ∴ 不合题意,舍去. ② 当b=4或c=4时,42-4(2k+ 1)+4k-12 =0,解得k=52. ∴ 方程化为x2-6x+8=0,解得 x1=4,x2=2. ∴ C△ABC=10. 综上所述,△ABC的周长为10. 23. (1) 当购买x件(10<x<60)时, y=140-(x-10)=150-x. (2) 设第一批购买x 件,则第二批购 买(100-x)件. ① 当30<x≤40时,60≤100- x<70. ∴ x(150-x)+80(100-x)=9200, 解得x1=30(舍去),x2=40. ② 当40<x<60时,40<100- x<60. ∴ x(150-x)+(100-x)[150- (100-x)]=9200,解得x1=30(舍 去),x2=70(舍去). ∴ 第一批T恤衫的购买数量为40件. 24. (1) 过点A 作AM⊥CD 于点M. ∵ AM⊥CD,∠BCD=90°, ∴ AM∥CB. ∵ AB∥CD, ∴ 四边形ABCM 是矩形. ∴ CM=AB=10cm,AM=BC= 8cm. 在Rt△ADM 中,AD=10cm,AM= 8cm,根据勾股定理,得DM=6cm. ∴ CD=DM+CM=16cm. (2) ∵ 四边形PBQD 是平行四边形, ∴ 点P 在AB 上,点Q 在DC 上,且 PB=DQ. ∵ BP=(10-3t)cm,DQ=2tcm, ∴ 10-3t=2t,解得t=2. ∴ BP=DQ=4cm,CQ=12cm. 根据勾股定理,得BQ= BC2+CQ2= 4 13cm. ∴ 四边形PBQD 的周长为2(4+ 4 13)=(8+8 13)cm. (3) 存在. ① 当点P在线段AB上时,0≤t≤103. ∵ BP=(10-3t)cm, ∴ 1 2 (10-3t)×8=15,解得t=2512. ② 当点 P 在线段BC 上时,103 < t≤6. ∵ BP=(3t-10)cm,CQ=(16- 2t)cm, ∴ 1 2 (3t-10)(16-2t)=15,解得 t=5或t=193 (舍去). 综上所述,满足条件的t的值为2512 或5. 第二十二章拔尖测评 一、 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. A 9. B 解析:在y=x2+2x-3中,当 x=0时,y=-3,∴ 点C 的坐标为 (0,-3).∵ 点D 的坐标为(0,-1),在 第三象限的抛物线上有一点P,使得 △PCD是以CD为底边的等腰三角形, ∴ 点P的纵坐标为-1+ (-3) 2 =-2. 当y=-2时,-2=x2+2x-3,解得 x1=-1-2,x2=-1+2(不合题意, 舍去).∴ 点P 的横坐标为-1-2. 10. C 解析:由题意,知二次函数 y=x2+2x+c的两个不相等的不动 点x1,x2是方程x2+2x+c=x的两 个不相等的实数根,且x1,x2 都小于 1,整理,得x2+x+c=0.由x2+x+ c=0有两个不相等的实数根,知Δ> 0,即1-4c>0①.令y=x2+x+c, 画出该二次函数的草图如图所示. ∵ x1,x2(设x2 在x1 的右侧)都小 于1,∴ 当x=1时,y=x2+x+c= 2+c>0②.联立①②,得 1-4c>0, 2+c>0, 解得-2<c<14. (第10题) 二、 11. 4 12. 3 13. (2,0) 14. 8 15. ①②④ 解析:∵ y=x2+ (2m-1)x+2m=x2+2mx-x+ 2m=2m(x+1)+x2-x,当x=-1 时,y=2,∴ 该函数图象过定点(-1, 2).故①正确.当m=1时,y=x2+ x+2,∵ b2-4ac=1-4×2=-7< 0,∴ 函数图象与x轴无交点.故②正 确.∵ 函数图象的对称轴为直线x= -b2a= 1-2m 2 = 1 2 -m ,m ≠ 12 , ∴ 1 2-m≠0.∴ 当m>12 时,函数 图象的对称轴在y轴左侧,当m< 1 2 时,函数图象的对称轴在y 轴右侧. 故③错误.∵ 1<m<32 ,∴ -1< 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 86