第二十二章 专题特训三 二次函数解析式的确定-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

36 　　　　专题特训三　二次函数解析式的确定 ▶ “答案与解析”见P15 类型一 用一般式确定二次函数的解析式 1. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过 点A(0,6),B(3,3),C(4,6). (1) 求此二次函数的解析式. (2) 观察函数图象,当y>6时,直接写出x 的取值范围. (第1题) 2. 如图,四边形ABCD 是平行四边形,过点A, C,D 作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),点 A,B,D 的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4), 求抛物线对应的函数解析式. (第2题) 3. 已知二次函数y=mx2-2mx+3,其中 m≠0. (1) 若二次函数的图象经过点(-1,6),求二 次函数的解析式. (2) 若该二次函数的图象开口向上,当-1≤ x≤2时,图象的最高点为M,最低点为N, 点M 的纵坐标为6,求点M,N 的坐标. (3) 在二次函数的图象上任取两点(x1,y1), (x2,y2),当a≤x1<x2≤a+2时,总有 y1>y2,求a的取值范围. 类型二 用顶点式确定二次函数的解析式 4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点 A(-1,0),且它的顶点P 的坐标为(1,-4). (1) 求该抛物线对应的函数解析式. (2) 若直线y=-2x+1与该抛物线相交于点 C,D,点C在点D 的左侧,求△PCD 的面积. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 37 5. 如图,抛物线y=a(x-1)2-3(a≠0)与 y轴交于点A(0,-2),顶点为B. (1) 试确定a的值,并写出点B 的坐标. (2) 若一次函数的图象经过A,B 两点,试写 出该一次函数的解析式. (3) 试在x轴上求一点P,使得△PAB 的周 长取最小值. (第5题) 类型三 用交点式确定二次函数的解析式 6. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过 点A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),D 是抛物 线的顶点,过点D 作x 轴的垂线,交BC 于 点E. (1) 求二次函数的解析式及点D 的坐标. (2) 连接CD,求△CDE 的面积. (第6题) 类型四 用平移、对称确定二次函数的解析式 7. 已知抛物线y=a(x-1)2+h 经过点(0, -3),(3,0). (1) 求a,h的值. (2) 将该抛物线向上平移2个单位长度,再 向右平移1个单位长度,得到新的抛物线,直 接写出新抛物线对应的函数解析式. 8. 已知抛物线y=2x2-4x+1,求: (1) 它关于x 轴对称的抛物线对应 的函数解析式. (2) 它关于y轴对称的抛物线对应的函数解 析式. (3) 它关于原点对称的抛物线对应的函数解 析式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 ∵ PQ∥y轴,点P 的横坐标为m, ∴ P(m,m2+2m-3),Q(m,-m-3). ∴ PQ=(-m-3)-(m2+2m- 3)=-m2-3m=- m+32 2 +94. ∵ -1<0,-3<m<0, ∴ 当m=-32 时,PQ 的长取得最大 值,最大值为9 4. ∴ PQ 长的最大值是94. 12. y= 3 4x 2-3x+4或y=- 3 4x 2+ 3x+1 解析:① 若a<0,则当x= --4a2a =2 时,函数有最大值4;当 x = 4 时,函 数 有 最 小 值 1. ∴ 4a-8a+b=4, 16a-16a+b=1, 解得 a=- 3 4 , b=1. 此时抛物线对应的函数解析式为 y=- 3 4x 2+3x+1.② 若a>0,则 当x=--4a2a =2 时,函数有最小值 1;当 x=4时,函 数 有 最 大 值4. ∴ 4a-8a+b=1, 16a-16a+b=4, 解得 a= 3 4 , b=4. 此时抛物线对应的函数解析式为y= 3 4x 2-3x+4.综上所述,抛物线对应 的函数解析式为y= 3 4x 2-3x+4或 y=- 3 4x 2+3x+1. 13. (1) ∵ 抛物线y=-x2+2x+c 经过点A(0,1), ∴ c=1. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-x2+2x+1. (2) ∵ y=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,2). ∵ 点Q 与此抛物线的顶点重合,点Q 的横坐标为2m, ∴ 2m=1,解得m=12. (3) ① 当AQ∥x 轴时,点A,Q 关于 抛物线的对称轴直线x=1对称,则 xQ=2m=2. ∴ Q(2,1),m=1. 当x=1时,y=-12+2×1+1=2. ∴ P(1,2). ∴ 点P 与点Q 的纵坐标的差为2- 1=1. ② 当AP∥x轴时,点A,P 关于抛物 线的对称轴直线x=1对称,则xP= m=2. ∴ P(2,1),xQ=2m=4. 当x=4时,y=-42+2×4+1=-7. ∴ Q(4,-7). ∴ 点P 与点Q 的纵坐标的差为1- (-7)=8. 综上所述,点P 与点Q 的纵坐标的差 为1或8. (4) m=13 或m=54. 解析:① 如 图①,当点P,Q 都在抛物线的对称轴 直线x=1的左侧时,0<2m<1, ∴ 0<m<12.∵ P(m,-m2+2m+ 1),∴ Q(2m,-4m2 +4m +1). ∴ h1=yP-yA=-m2+2m+1- 1= -m2 +2m,h2 =yQ -yA = -4m2+4m+1-1=-4m2+4m. ∴ h2-h1=-4m2+4m+m2- 2m=m,解得m=13 或m=0(不合题 意,舍去).② 如图②,当点P,Q 在抛 物线的对称轴直线x=1的两侧或其 中一点在对称轴上时,2m≥1,m≤1, 即1 2≤m≤1.∴ h1=-m2+2m, h2=2-1=1.∴ h2-h1=1+m2- 2m=m,解得m=3-52 或m=3+52 , 都不合题意,舍去.③ 如图③,当点P 在抛物线的对称轴直线x=1的右侧 且在直线y=1的上方时,1<m<2, ∴ h1=2-1=1,h2=2-(-4m2+ 4m+1)=4m2-4m+1.∴ h2-h1= 4m2-4m+1-1=m,解得m=54 或 m=0(不合题意,舍去).④ 如图④, 当点P 在直线y=1上或下方时, m≥2,∴ h1=2-(-m2+2m+1)= m2-2m+1,h2=2-(-4m2+4m+ 1)=4m2-4m+1.∴ h2-h1= 4m2-4m+1-(m2-2m+1)=m,解 得m=1或m=0,都不合题意,舍去. 综上所述,m=13 或m=54. (第13题) 专题特训三　二次函数 解析式的确定 1. (1) 把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分 别 代 入 y =ax2 +bx +c,得 c=6, 9a+3b+c=3, 16a+4b+c=6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=-4, c=6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 此二次函数的解析式为y=x2- 4x+6. (2) 当y>6时,x的取值范围是x<0 或x>4. 2. ∵ 点A,B,D 的坐标分别为(-2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 0),(3,0),(0,4),且四边形ABCD 是 平行四边形, ∴ AB=CD=5. ∴ 点C的坐标为(5,4). ∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过 点A,C,D, ∴ 4a-2b+c=0, 25a+5b+c=4, c=4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-27 , b=107 , c=4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=- 2 7x 2+107x+4. 3. (1) 把(-1,6)代入y=mx2- 2mx+3,得 m+2m+3=6,解得 m=1. ∴ 二次函数的解析式为y=x2- 2x+3. (2) ∵ 二次函数的图象开口向上, ∴ m>0. ∵ y=mx2-2mx+3=m(x-1)2+ 3-m, ∴ 抛物线的顶点为(1,3-m). ∴ 当x<1时y随x的增大而减小; 当x≥1时,y随x的增大而增大. ∴ 最低点为N(1,3-m). ∵ 当x=-1时,y=3m+3,当x=2 时,y=3,且m>0, ∴ 3m+3>3. ∴ 最高点为M(-1,3m+3). ∴ 3m+3=6,解得m=1. ∴ M(-1,6),N(1,2). (3) ① 若m>0,则当x≤1时,y随x 的增大而减小;当x≥1时,y随x 的 增大而增大. 又∵ 当a≤x1<x2≤a+2时,总有 y1>y2, ∴ a+2≤1. ∴ a≤-1. ② 若m<0,则当x≤1时,y 随x 的 增大而增大;当x≥1时,y随x 的增 大而减小. 又∵ 当a≤x1<x2≤a+2时,总有 y1>y2, ∴ a≥1. 综上所述,当 m>0时,a≤-1;当 m<0时,a≥1. 4. (1) 设抛物线对应的函数解析式 为y=a(x-1)2-4. ∵ 点A(-1,0)在抛物线上, ∴ 0=a×(-1-1)2-4. ∴ a=1. ∴ y=(x-1)2-4=x2-2x-3. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2-2x-3. (2) 联立 y=x2-2x-3, y=-2x+1, 解得 x=-2 , y=5 或 x=2, y=-3. ∴ C(-2,5),D(2,-3). 如图,过点P 作PH∥y 轴,交直线 CD于点H,则点H 的坐标为(1,-1). ∵ S△PCD =S△PCH +S△PDH,PH = -1-(-4)=3, ∴ S△PCD = 1 2PH ·(xD -xC)= 1 2×3× [2-(-2)]=6. (第4题) 5. (1) 将A(0,-2)代入y=a(x- 1)2-3, ∴ -2=a-3. ∴ a=1. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= (x-1)2-3. ∴ B(1,-3). (2) 设直线AB 对应的函数解析式为 y=kx+b. 将A(0,-2),B(1,-3)代入y= kx+b,得 -2=b, -3=k+b, 解得 k=-1 , b=-2. ∴ 直线 AB 对应的函数解析式为 y=-x-2. (3) 设点A 关于x轴对称的点为C, ∴ C(0,2). 设直线CB 对应的函数解析式为y= mx+n. 当直线 CB 与x 轴交于点P 时, △PAB 的周长取最小值. 把C(0,2),B(1,-3)代入y=mx+ n,得 2=n, -3=m+n, 解得 m=-5 , n=2. ∴ 直线CB 对应的函数解析式为 y=-5x+2. 把y=0代入y=-5x+2,得-5x+ 2=0,解得x=25. ∴ 点P 的坐标为 25 ,0 . 6. (1) 设二次函数的解析式为y= a(x+1)(x-5). 把C(0,-5)代入,得-5=a×(0+ 1)×(0-5),解得a=1. ∴ 二次函数的解析式为y=(x+1)· (x-5)=x2-4x-5. ∵ y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ∴ D(2,-9). (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=mx+n. 把B(5,0),C(0,-5)分别代入,得 5m+n=0, n=-5, 解得 m=1 , n=-5. ∴ 直线BC对应的函数解析式为y= x-5. 当x=2时,y=x-5=-3. ∴ E(2,-3). ∴ △CDE 的面积=12× (-3+9)× 2=6. 7. (1) 将(0,-3)和(3,0)分别代 入y = a (x - 1)2 + h,得 a×(0-1)2+h=-3, a×(3-1)2+h=0, 解得 a=1 , h=-4. (2) 新抛物线对应的函数解析式为 y=(x-1-1)2-4+2=x2-4x+2. 8. ∵ y=2x2-4x+1=2(x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 1)2-1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (1) ∵ 点(1,-1)关于x轴对称的对 应点的坐标为(1,1), ∴ 原抛物线关于x 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x- 1)2+1. (2) ∵ 点(1,-1)关于y轴对称的对 应点的坐标为(-1,-1), ∴ 原抛物线关于y 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=2(x+ 1)2-1. (3) ∵ 点(1,-1)关于原点对称的对 应点的坐标为(-1,1), ∴ 原抛物线关于原点对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x+ 1)2+1. 22.2　二次函数与一元 二次方程 1. C 2. B 3. A 4. x1=0,x2=4 5. c>14 6. (1) 将P(2,4)代入y=x2+mx+ m2-3,得4=4+2m+m2-3,解得 m1=1,m2=-3. ∵ m>0, ∴ m=1. (2) 二次函数y=x2+mx+m2-3 的图象与x轴交点的个数为2. 理由:∵ m=1, ∴ y=x2+x-2. ∵ 在方程x2+x-2=0中,Δ=12+ 8=9>0, ∴ 二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数为2. 7. B 8. D 解析:在x2+2(m-2)x- m+2=0中,Δ=[2(m-2)]2-4(2- m)≤0,易得1≤m≤2.对于y=m2- 2tm-3=(m-t)2-t2-3,若t≥2, 则当m=2时,y取得最小值.∴ 4- 4t-3=3,解得t=-12 (舍去).若 t≤1,则当m=1时,y 取得最小值. ∴ 1-2t-3=3,解得t=-52. 若 1<t<2,则当m=t时,y 取得最小 值,即t2-2t2-3=3,方程无解.综上 所述,t=-52. 9. 1或-45 解析:当 m=0时, y=-1,函数图象与坐标轴只有一个 交点,不合题意,舍去.当m≠0时,分 情况讨论:① 函数图象过坐标原点, m-1=0,解得m=1.② 函数图象与 x 轴、y轴 各 有 一 个 交 点,∴ 在 mx2+3mx+m -1=0 中,Δ= (3m)2-4m(m-1)=0,解得m=0 (不合题意,舍去)或m=-45. 综上 所述,m 的值为1或-45. 10. -4<m<-3或-83≤m<0 解析:易得抛物线过点(m,0),(m+ 6,0),∴ 抛物线的对称轴为直线x= m+3.∵ 抛物线过点(0,2),∴ 当 y=2时,另一个解为x=2m+6. ∵ 当0<x<12m+2 时,总有y>2, ∴ 1 2m+2>0.∴ m>-4.∴ 2m+ 6>-2.当2m+6>0,即m>-3时, 要使y>2恒成立,需要抛物线开口 向下,∴ 1 2m+2≤2m+6 ,m<0. ∴ -83≤m<0. 当2m+6=0时,(0, 2)是抛物线的顶点,此时需要抛物线 开口向上,但与抛物线与x 轴有交点 矛盾;当2m+6<0,即-4<m<-3 时,要使y>2恒成立,需要抛物线开 口向上,此时抛物线的对称轴在y 轴 左侧,符合题意.综上所述,m 的取值 范围是-4<m<-3或-83≤m<0. 11. (1) ∵ 当x=0时,y=-3a, ∴ 点A 的坐标为(0,-3a). (2) 当y=0时,有ax2+2ax-3a= 0,即a(x+3)(x-1)=0. ∵ a≠0, ∴ x=-3或x=1. ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(-3, 0),(1,0). (3) ① 如图①,当a>0时,点A(0, -3a)在y轴负半轴上,此时,点P,Q 位于抛物线内部. ∴ 抛物线与线段PQ 无交点. ② 如图②,当a<0时,点A(0,-3a) 在y轴正半轴上,当点Q 在抛物线上 时,有2=4a-4a-3a,解得a=-23. ∴ 易得当-23≤a<0 时,抛物线与 线段PQ 有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是-23≤ a<0. (第11题) 12. 5 4 或-1 解析:① 当直线y= x+b与抛物线y=-x2+6x-5只 有一个交点时,满足题意.令-x2+ 6x-5=x+b,整理,得-x2+5x- 5-b=0.∴ Δ=52-4×(-1)× (-5-b)=0,解得b=54. 令-x2+ 6x-5=0,解得x1=1,x2=5,∴ 原 抛物线与x轴的交点坐标为(1,0), 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71