专题22.5 二次函数的图象与性质（4）（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题22.5 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 掌握型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2. 掌握与之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1） 型二次函数的性质； （2） 型二次函数的图象； （3）与之间的平移规律； 2. 难点 （1）函数图象的共存问题； （2）函数图象上的点的特征； （3）与之间的平移。 知识点01 1. 函数平移规律： 函数分为 平移和 平移； 左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进行加减，规律为 。 2. 与之间的平移： 由函数的平移可知： 可将进行 平移 个单位同时再 平移 个单位得到函数。 【即学即练1】 1．把抛物线y＝6x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝6（x﹣2）2+3 B．y＝6（x+2）2﹣3 C．y＝6（x+2）2+3 D．y＝6（x﹣2）2﹣3 知识点02 图象与性质 1. 的图象与性质： 由函数的平移可知，可将先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到函数。由的图象与性质可得到函数的图象与性质如下： 开口方向 开口大小 的绝对值越大，开口越 的绝对值越小，开口越 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 最值 函数轴最 值 这个值是 。 函数轴最 值 这个值是 。 【即学即练1】 2．二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 3．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】 4．指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝2（x+3）2； （2）y＝﹣（x+1）2﹣5． 【即学即练4】 5．关于抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（　　） A．开口方向向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＞2时，y随x的增大而减小 【即学即练5】 6．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【即学即练6】 7．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　） A．3或1 B．3或3 C．3或1 D．1或1 题型01 的性质 【典例1】抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式1】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【变式2】关于抛物线y＝（x﹣3）2﹣2，下列说法不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标为（3，﹣2） C．图象与y轴交点为（0，7） D．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 【变式3】关于抛物线y＝﹣（x+3）2+1，下列说法中错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标（﹣3，1） D．与y轴交点坐标（0，1） 题型02 的图象 【典例1】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1】二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【变式3】二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　 　 象限． 题型03 图象上的点的坐标特征 【典例1】设点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2﹣1的图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【变式1】抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【变式2】已知a＜﹣1，点A（a﹣1，y1）、B（a，y2）、C（1﹣a，y3）都在函数y＝（x﹣1）2+6的图象上，那么（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【变式3】已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y1），B（m，y2），C（n，y3），且|m﹣3|＜|n﹣3|＜2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 题型04 之间的平移 【典例1】将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2 【变式1】将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣x2+4 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x+1）2+4 【变式2】将抛物线y＝2x2+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2x2+5 B．y＝2（x+1）2+5 C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2+1 【变式3】将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2+4（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 【变式4】通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（　　） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 2．抛物线y＝2（x﹣9）2+3的顶点坐标是（　　） A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3） 3．已知抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论中错误的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＝﹣1时，y取最大值3 D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 4．对于二次函数y＝3（x﹣1）2+2，甲、乙各说了一条性质，关于两人的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：图象的开口向下；乙：当x≥1时，y随x的增大而增大． A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲的对 D．只有乙的对 5．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 6．二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3 8．二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 11．将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为　 　 ． 12．已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　 　 时，y随x的增大而减小． 13．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 　 　 ． 14．若A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2+a的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　 　 （用“＜”表示）． 15．已知函数，则y＝k成立的x值恰好有两个，则k的取值范围是 　 　 ． 16．已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 17．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围． 18．如图，抛物线y＝﹣3x2+m与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若BC＝4，求m的值． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点． （1）对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，求该抛物线的顶点坐标； （2）对于任意实数m，若m﹣2＜x1＜m﹣1，x2＞m+2，都有y1•y2＜0，求a的值． 20．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0），再次经过点A． （1）若a＝0时，求m的值． （2）求m与k的关系式． （3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.5 二次函数的图象与性质 教学目标 1. 掌握型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2. 掌握与之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1） 型二次函数的性质； （2） 型二次函数的图象； （3）与之间的平移规律； 2. 难点 （1）函数图象的共存问题； （2）函数图象上的点的特征； （3）与之间的平移。 知识点01 1. 函数平移规律： 函数分为 左右 平移和 上下 平移； 左右平移在 自变量 上进行加减，规律为 左加右减 ；上下平移在 函数解析式整体 上进行加减，规律为 上加下减 。 2. 与之间的平移： 由函数的平移可知： 可将进行 上下 平移 个单位同时再 左右 平移 h 个单位得到函数。 【即学即练1】 1．把抛物线y＝6x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝6（x﹣2）2+3 B．y＝6（x+2）2﹣3 C．y＝6（x+2）2+3 D．y＝6（x﹣2）2﹣3 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝6x2先向左平移2个单位得到解析式：y＝6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y＝6（x+2）2+3． 故选：C． 知识点02 图象与性质 1. 的图象与性质： 由函数的平移可知，可将先向 左右 平移 h 个单位，再向 上下 平移 个单位得到函数。由的图象与性质可得到函数的图象与性质如下： 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数轴最 小 值 这个值是 k 。 函数轴最 大 值 这个值是 k 。 【即学即练1】 2．二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知a＝2，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为（﹣1，﹣4）的抛物线， 故选：D． 【即学即练2】 3．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D； C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确． 故选：B． 【即学即练3】 4．指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝2（x+3）2； （2）y＝﹣（x+1）2﹣5． 【答案】（1）二次函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，）； （2）二次函数图象开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5）． 【解答】解：（1）∵y＝2（x+3）2， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，）； （2）∵y＝﹣（x+1）2﹣5， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5）． 【即学即练4】 5．关于抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（　　） A．开口方向向上 B．对称轴是直线x＝2 C．顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＞2时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，﹣1），故A、B、C说法是正确的； ∴当x＞2时，y随x的增大而增大， 故选：D． 【即学即练5】 6．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 【即学即练6】 7．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　） A．3或1 B．3或3 C．3或1 D．1或1 【答案】C 【解答】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最大值﹣5， 可得：﹣（1﹣h）2+1＝﹣5， 解得：h＝1或h＝1（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5， 可得：﹣（3﹣h）2+1＝﹣5， 解得：h＝3或h＝3（舍）． ③当1≤h≤3时，最大值为1，不符合题意， 综上，h的值为1或3， 故选：C． 题型01 的性质 【典例1】抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【答案】B 【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2+3的解析式可知，抛物线对称轴为直线x＝1， 故选：B． 【变式1】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【答案】A 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5， ∴抛物线顶点为（1，5）， 故选：A． 【变式2】关于抛物线y＝（x﹣3）2﹣2，下列说法不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标为（3，﹣2） C．图象与y轴交点为（0，7） D．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣2中，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点为（3，﹣2）， ∴当x＝3时，y有最小值﹣2， 当x＝0时，y＝7， ∴图象与y轴的交点为（0，7）， 故A、B、C说法正确，不符合题意， 当x＞3时，y随着x的增大而增大， D说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】关于抛物线y＝﹣（x+3）2+1，下列说法中错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标（﹣3，1） D．与y轴交点坐标（0，1） 【答案】D 【解答】解：y＝﹣（x+3）2+1中， ∵a＝﹣1，h＝﹣3，k＝1 ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，1）， ∴选项A、B、C均正确． 令x＝0，得y＝﹣8 ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣8）． ∴选项D错误， 故选：D． 题型02 的图象 【典例1】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵a＝2＞0， ∴抛物线开口方向向上； ∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2． 故选：C． 【变式1】二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在y＝（x+1）2﹣2中由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故A错误； 其对称轴为直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故B错误； 由y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），在y轴的负半轴，故D错误； 故选：C． 【变式2】如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限， 只有选项D的顶点符合要求， 故选：D． 【变式3】二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　一　 象限． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0， 则一次函数y＝mx+n不经过第一象限． 故答案为：一． 题型03 图象上的点的坐标特征 【典例1】设点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2﹣1的图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】A 【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上， 点A（﹣2，y1）离对称轴最近，点C（2，y3）离对称轴最远， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【变式1】抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】D 【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线x＝1， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵（﹣2，y1），（0，y2），， 而1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1，， ∴点（0，y2）离对称轴最近，点（﹣2，y1）离对称轴最远， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D． 【变式2】已知a＜﹣1，点A（a﹣1，y1）、B（a，y2）、C（1﹣a，y3）都在函数y＝（x﹣1）2+6的图象上，那么（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】C 【解答】解：由条件可知抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵a＜﹣1， ∴a﹣1＜﹣2＜a，1﹣a＞2， ∴C（1﹣a，y3）关于x＝1的对称点为：C′（a+1，y3）， ∵a﹣1＜a＜a+1＜1， ∴y3＜y2＜y1； 故选：C． 【变式3】已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y1），B（m，y2），C（n，y3），且|m﹣3|＜|n﹣3|＜2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【答案】B 【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝3，开口向上， ∵|m﹣3|＜|n﹣3|＜2， ∴点B离对称轴水平距离最近，其次是点C，点A离对称轴最远， ∴y2＜y3＜y1， 故选：B． 题型04 之间的平移 【典例1】将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2 【答案】D 【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2﹣2． 故选：D． 【变式1】将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣x2+4 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x+1）2+4 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣1+1）2+2+2，即y＝﹣x2+4． 故选：B． 【变式2】将抛物线y＝2x2+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2x2+5 B．y＝2（x+1）2+5 C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2+1 【答案】C 【解答】解：将抛物线y＝2x2+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+3﹣2，即y＝2（x+1）2+1． 故选：C． 【变式3】将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2+4（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 【答案】A 【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标为（﹣3，4）， 点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点（﹣3，4）． ∴抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y＝2（x+3）2+4． 故选：A． 【变式4】通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（　　） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）． 抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）． 则由二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣2x2的图象． 故选：C． 1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 【答案】A 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1． 故选：A． 2．抛物线y＝2（x﹣9）2+3的顶点坐标是（　　） A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3） 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣9）2+3， ∴该抛物线的顶点坐标为（9，3）， 故选：C． 3．已知抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论中错误的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＝﹣1时，y取最大值3 D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断如下： A：抛物线y＝﹣（x+1）2+3中，系数a＝﹣1＜0，故开口向下，正确； B：顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h，此处h＝﹣1，故对称轴为直线x＝﹣1，正确； C：开口向下时，顶点处y取得最大值，最大值为顶点纵坐标k＝3，当x＝﹣1时y＝3，正确； D：开口向下时，对称轴直线x＝﹣1右侧（x＞﹣1），y随x增大而减小，而非增大，故错误． 故选：D． 4．对于二次函数y＝3（x﹣1）2+2，甲、乙各说了一条性质，关于两人的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：图象的开口向下；乙：当x≥1时，y随x的增大而增大． A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲的对 D．只有乙的对 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+2． ∴抛物线的图象开口向上，故甲的说法错误； ∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故乙的说法正确； 故选：D． 5．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【答案】B 【解答】解：∵抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3）， ∴得到的抛物线解析式是y＝（x﹣2）2+3． 故选：B． 6．二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2）， 由a＝﹣1＜0知抛物线的开口向下， 故选项B正确． 故选：B． 7．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3 【答案】A 【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣2+3）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1． 故选：A． 8．二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，顶点为（3，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故A正确； B、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故B错误； C、二次函数y＝a（x﹣3）2+c的对称轴直线x＝3，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣3）2+c的顶点（3，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误； 故选：A． 9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E， ∴四边形PMEQ是矩形， ∴ME＝PQ， ∵AB＝10，BC＝5，CD＝6， ∴PQ＝ADACBD＝21（10+5）（5+6）＝8， 故选：B． 10．已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3 【答案】C 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立； 当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3， 解得：a＜3， ∴2＜a＜3； 当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立． 综上所述，a的取值范围为a＜3． 故选：C． 11．将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为　y＝﹣（x﹣1）2+2　 ． 【答案】y＝﹣（x﹣1）2+2． 【解答】解：将抛物线y＝﹣x2先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2， 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2． 12．已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　＞1　 时，y随x的增大而减小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1； 当x＞1时，y随x增大而减小． 故答案为：＞1 13．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 　﹣29＜y≤3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由条件可知：函数图象的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， ∴当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3； ∵﹣2＜x＜3， ∴当x＝﹣2时，函数值y＝1， 当x＝3时，函数值y＝﹣29， ∴当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围是：﹣29＜x≤3， 故答案为：﹣29＜x≤3． 14．若A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2+a的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　y2＜y3＜y1　 （用“＜”表示）． 【答案】y2＜y3＜y1． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝3（x+1）2+a，3＞0， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣1﹣（﹣2）＝1＜1﹣（﹣1）＝2＜（﹣1）﹣（﹣4）＝3， ∴y2＜y3＜y1， 故答案为：y2＜y3＜y1． 15．已知函数，则y＝k成立的x值恰好有两个，则k的取值范围是 　k＞3或k＝﹣1　 ． 【答案】k＞3或k＝﹣1． 【解答】解：画函数的图象： 根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x有恰好有2个， ∴k＞3或k＝﹣1． 故答案为：k＞3或k＝﹣1． 16．已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 【答案】（1）m＝2； （2）点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）， ∴3＝m（1+1）2﹣5， 解得：m＝2， ∴m的值为2； （2）当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2+1）2﹣5＝﹣3， ∵﹣3≠﹣1， ∴点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上． 17．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 描点、连线如图； （2）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4． 18．如图，抛物线y＝﹣3x2+m与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若BC＝4，求m的值． 【答案】2． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+m， ∴A（0，m），， ∴x2+2x+1﹣2m＝0， 设B（x1，m），C（x2，m）， 则x1+x2＝﹣2，x1x2＝1﹣2m， ∴， ∴m＝2． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点． （1）对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，求该抛物线的顶点坐标； （2）对于任意实数m，若m﹣2＜x1＜m﹣1，x2＞m+2，都有y1•y2＜0，求a的值． 【答案】（1）（1，﹣3）； （2）a． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）， ∴对称轴为直线x＝m，顶点为（m，﹣3）， ∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1＝﹣1，x2＝3时，y1＝y2， ∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点关于直线x＝m对称， ∴m1， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）； （1）∵抛物线的对称轴为直线x＝m， ∴B（x2，y2）关于对称轴的对称点为（2m﹣x2，y2）， ∵m﹣2＜x1＜m﹣1，x2＞m+2， ∴A（x1，y1）在对称轴的左侧，B（x2，y2）在对称轴的右侧，2m﹣x2＜m﹣2， ∵抛物线开口向上，y1•y2＜0， ∴点（2m﹣x2，y2）在x轴的上方，A（x1，y1）在x轴的下方， ∴当x＝m﹣2时，y＝0， ∴a（m﹣2﹣m）2﹣3＝0， ∴a． 20．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0），再次经过点A． （1）若a＝0时，求m的值． （2）求m与k的关系式． （3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【答案】（1）0或3； （2）k＝2m﹣3． （3）1≤k≤5． 【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+1， 得0＝﹣（1﹣m）2+m+1， 解得m＝0或m＝3， 故m的值为0或3． （2）抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（k＞0）后得到抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+k）2+m+1﹣k， ∵平移后的图象也经过点A（1，a）， ∴， 消去a，得k＝2m﹣3． （3）对称轴为直线x＝m． ①当m＜2时， 当x＝2时，y取最大值﹣（2﹣m）2+m+1＝﹣m2+5m﹣3， 当x＝m+2时，y取最小值m﹣3， 所以﹣m2+5m﹣3﹣（m﹣3）＝4，解得m1＝m2＝2（舍去）． ②当m≥2时， i．当2≤m≤4时， 当 x＝m 时，y取到最大值m+1， 当 x＝m+2时，y取到最小值m﹣3， 所以 m+1﹣（m﹣3）＝4，符合题意． ⅱi．当m＞4时， 当x＝m时，y取到最大值m+1， 当 x＝2 时，y取到最小值﹣m2+5m﹣3 所以m+1﹣（﹣m2+5m﹣3）＝4解得m1＝0，m2＝4（均舍去）． 综上所述，2≤m≤4． 由2m﹣3＝k，得1≤k≤5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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