22.2 二次函数与一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

38 22.2　二次函数与一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P17 1. 已知关于x 的一元二次方程x2=bx-c的 解为x1=-1,x2=3,则二次函数y=x2- bx+c图象的对称轴是 ( ) A. 直线x=-1 B. 直线x=0 C. 直线x=1 D. 直线x=2 2. 若二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴有 两个不同的交点,则b的值不可能是 ( ) A. 4 B. -3 C. 5 D. -6 3. (2024·达州)抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于 1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论 中,正确的是 ( ) A. b+c>1 B. b=2 C. b2+4c<0 D. c<0 4. 若二次函数y=ax2-(2m+1)x 的图象经 过点(4,0),则关于x的一元二次方程ax2- (2m+1)x=0的两个根为 . 5. (2024·长春)若抛物线y=x2-x+c(c是 常数)与x 轴没有交点,则c的取值范围是 . 6. 已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m 为常 数,且m>0)的图象过点P(2,4). (1) 求m 的值. (2) 试判断二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数,并说明理由. 7. 已知m>n>0,关于x的方程x2+2x-3- m=0的解为x1,x2(x1<x2),关于x 的方 程x2+2x-3-n=0的解为x3,x4(x3< x4),则下列结论中,正确的是 ( ) A. x3<x1<x2<x4 B. x1<x3<x4<x2 C. x1<x2<x3<x4 D. x3<x4<x1<x2 8. 分类讨论思想 已知二次函数y= x2+2(m-2)x-m+2的图象与 x轴最多有一个公共点,y=m2- 2tm-3的最小值为3,则t的值为 ( ) A. -12 B. 3 2 或-32 C. -52 或-32 D. -52 9. 已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与 坐标轴恰有两个公共点,则实数m 的值为 . 10. 分类讨论思想 抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)过点(0,2),且方程 ax2+bx+c=0的两个根是x1= m,x2=m+6.若当0<x< 1 2m+2 时,总 有y>2,则m 的取值范围是 . 11. 数形结合思想 在平面直角坐标系 中,抛物线y=ax2+2ax-3a(a≠ 0)与y轴交于点A. (1) 求点A 的坐标(用含a的代数式表示). (2) 求抛物线与x轴的交点坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 39 (3) 已知点P(0,-2a),Q(-2,2).若抛物 线与线段PQ 恰有一个公共点,求a的取值 范围. 12. 如图,将二次函数y=-x2+6x-5在x轴 下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,图象的 其余部分不变,得到一个新的图象.若直线 y=x+b(b为常数)与这个图象恰好有3个 公共点,则b的值为 . (第12题) 13. 已知二次函数的解析式为y= -x2+2mx-m2+4. (1) 求证:该二次函数的图象与x轴 一定有2个交点. (2) 若m=2,点M(n,y1),N(n+2,y2)都 在该二次函数的图象上,且y1y2<0,求n 的取值范围. (3) 当m-3≤x≤5时,函数的最大值与最 小值的差为8,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 1)2-1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (1) ∵ 点(1,-1)关于x轴对称的对 应点的坐标为(1,1), ∴ 原抛物线关于x 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x- 1)2+1. (2) ∵ 点(1,-1)关于y轴对称的对 应点的坐标为(-1,-1), ∴ 原抛物线关于y 轴对称的抛物线 对应的函数解析式为y=2(x+ 1)2-1. (3) ∵ 点(1,-1)关于原点对称的对 应点的坐标为(-1,1), ∴ 原抛物线关于原点对称的抛物线 对应的函数解析式为y=-2(x+ 1)2+1. 22.2　二次函数与一元 二次方程 1. C 2. B 3. A 4. x1=0,x2=4 5. c>14 6. (1) 将P(2,4)代入y=x2+mx+ m2-3,得4=4+2m+m2-3,解得 m1=1,m2=-3. ∵ m>0, ∴ m=1. (2) 二次函数y=x2+mx+m2-3 的图象与x轴交点的个数为2. 理由:∵ m=1, ∴ y=x2+x-2. ∵ 在方程x2+x-2=0中,Δ=12+ 8=9>0, ∴ 二次函数y=x2+mx+m2-3的 图象与x轴交点的个数为2. 7. B 8. D 解析:在x2+2(m-2)x- m+2=0中,Δ=[2(m-2)]2-4(2- m)≤0,易得1≤m≤2.对于y=m2- 2tm-3=(m-t)2-t2-3,若t≥2, 则当m=2时,y取得最小值.∴ 4- 4t-3=3,解得t=-12 (舍去).若 t≤1,则当m=1时,y 取得最小值. ∴ 1-2t-3=3,解得t=-52. 若 1<t<2,则当m=t时,y 取得最小 值,即t2-2t2-3=3,方程无解.综上 所述,t=-52. 9. 1或-45 解析:当 m=0时, y=-1,函数图象与坐标轴只有一个 交点,不合题意,舍去.当m≠0时,分 情况讨论:① 函数图象过坐标原点, m-1=0,解得m=1.② 函数图象与 x 轴、y轴 各 有 一 个 交 点,∴ 在 mx2+3mx+m -1=0 中,Δ= (3m)2-4m(m-1)=0,解得m=0 (不合题意,舍去)或m=-45. 综上 所述,m 的值为1或-45. 10. -4<m<-3或-83≤m<0 解析:易得抛物线过点(m,0),(m+ 6,0),∴ 抛物线的对称轴为直线x= m+3.∵ 抛物线过点(0,2),∴ 当 y=2时,另一个解为x=2m+6. ∵ 当0<x<12m+2 时,总有y>2, ∴ 1 2m+2>0.∴ m>-4.∴ 2m+ 6>-2.当2m+6>0,即m>-3时, 要使y>2恒成立,需要抛物线开口 向下,∴ 1 2m+2≤2m+6 ,m<0. ∴ -83≤m<0. 当2m+6=0时,(0, 2)是抛物线的顶点,此时需要抛物线 开口向上,但与抛物线与x 轴有交点 矛盾;当2m+6<0,即-4<m<-3 时,要使y>2恒成立,需要抛物线开 口向上,此时抛物线的对称轴在y 轴 左侧,符合题意.综上所述,m 的取值 范围是-4<m<-3或-83≤m<0. 11. (1) ∵ 当x=0时,y=-3a, ∴ 点A 的坐标为(0,-3a). (2) 当y=0时,有ax2+2ax-3a= 0,即a(x+3)(x-1)=0. ∵ a≠0, ∴ x=-3或x=1. ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(-3, 0),(1,0). (3) ① 如图①,当a>0时,点A(0, -3a)在y轴负半轴上,此时,点P,Q 位于抛物线内部. ∴ 抛物线与线段PQ 无交点. ② 如图②,当a<0时,点A(0,-3a) 在y轴正半轴上,当点Q 在抛物线上 时,有2=4a-4a-3a,解得a=-23. ∴ 易得当-23≤a<0 时,抛物线与 线段PQ 有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是-23≤ a<0. (第11题) 12. 5 4 或-1 解析:① 当直线y= x+b与抛物线y=-x2+6x-5只 有一个交点时,满足题意.令-x2+ 6x-5=x+b,整理,得-x2+5x- 5-b=0.∴ Δ=52-4×(-1)× (-5-b)=0,解得b=54. 令-x2+ 6x-5=0,解得x1=1,x2=5,∴ 原 抛物线与x轴的交点坐标为(1,0), 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 (5,0).② 当直线y=x+b经过点(1, 0)时,满足题意.将(1,0)代入y=x+ b,得0=1+b,解得b=-1.综上所 述,b的值为54 或-1. 13. (1) 在y=-x2+2mx-m2+4 中,令y=0,则-x2+2mx-m2+ 4=0. ∵ a=-1,b=2m,c=4-m2, ∴ Δ=b2-4ac=4m2-4×(-1)× (4-m2)=4m2+16-4m2=16>0. ∴ 该二次函数图象与x 轴一定有 2个交点. (2) ∵ m=2, ∴ y=-x2+4x. 令y=0,则-x2+4x=0,解得x1= 0,x2=4. ∴ 抛物线与x 轴的交点坐标为(0, 0),(4,0). ∵ 点M(n,y1),N(n+2,y2)都在该 二次函数的图象上,且y1y2<0, ∴ ① n<0, n+2>0, 即 -2<n<0; ② n<4, n+2>4, 即2<n<4. 综上所述,n的取值范围是-2<n<0 或2<n<4. (3) ∵ y=-x2+2mx-m2+4= -(x-m)2+4, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=m. ① 若m<m-3+52 ,即m<2,则当 x=m 时,y最大 =4;当 x=5时, y最小=-(5-m)2+4. ∴ 4-[-(5-m)2+4]=8. ∴ m1=5+22,m2=5-22,都不 合题意,舍去. ② 若2≤m≤5,则当 x=m 时, y最大=4;当x=m-3时,y最小=-5. ∴ 4-(-5)=9≠8,不合题意,舍去. ③ 若5<m≤8,则当x=5时,y最大= -(5-m)2+4;当x=m-3时, y最小=-5. ∴ -(5-m)2+4-(-5)=8. ∴ m3=6,m4=4(不合题意,舍去). 综上所述,m=6. 专题特训四　二次函数 在自变量取值范围中的 最值问题 1. A 2.A 3. ∵ 二次函数y=ax2-4ax+ 3a2-6=a(x-2)2+3a2-4a-6, ∴ 易得函数图象的顶点坐标为(2, 3a2-4a-6),对称轴为直线x=2. ∵ 当x<0时,y随x的增大而减小, ∴ 图象开口向上,即a>0. ∵ 当-1≤x≤3时,y的最小值为1, ∴ 顶点坐标为(2,1). ∴ 3a2-4a-6=1,解得a=73 或 a=-1. ∵ a>0, ∴ a的值为73. 4. 二次函数y=x2-2x+2=(x- 1)2+1,则其图象的顶点坐标为(1,1). 分情况讨论: ① 若函数图象的顶点在直线x=t+ 1的右侧,有t+1<1,即t<0, 则在该范围内y随x的增大而减小. ∴ 当x=t+1时,函数取得最小值. ∴ y最小=(t+1)2-2(t+1)+2=t, 化简得t2-t+1=0,该方程无解. ② 若函数图象的顶点在直线x=t和 直线x=t+1内(包含这两条直线), 有t≤1≤t+1,解得0≤t≤1, 则当 x=1 时,函 数 有 最 小 值, y最小=1. ∴ t=1. ③ 若函数图象的顶点在直线x=t的 左侧,有t>1, 则当t>1时,y随x的增大而增大. ∴ 当x=t 时,函数取得最小值, y最小=t2-2t+2=t,解得t=2或t= 1(不合题意,舍去). 综上所述,t的值为1或2. 5. (1) 由题意,得 -b2=- 1 2 , (-2)2-2b+c=5, 解得 b=1, c=3. ∴ 二次函数的解析式为y=x2+ x+3. (2) 点B(1,7)向上平移2个单位长 度,向左平移m(m>0)个单位长度后 得到点(1-m,9). 由题意,可知点(1-m,9)在二次函数 y=x2+x+3的图象上. ∴ 9=(1-m)2+(1-m)+3,解得 m=4或m=-1(舍去). ∴ m=4. (3) y=x2+x+3= x+12 2 +114. 当n<-12 时,最大值为当x=-2 时的值,为4-2+3=5,最小值为当 x=n时的值,为n2+n+3. ∴ 最大值与最小值的差为5-(n2+ n+3)=94 ,解得n1=n2=- 1 2 ,不 符合题意,舍去. 当-12≤n≤1 时,最大值为当x=-2 时的值,为5,最小值为当x=-12 时 的值,为1 4- 1 2+3= 11 4. ∴ 最大值与最小值的差为5-114= 9 4 ,符合题意. 当n>1时,最大值为当x=n 时的 值,为n2+n+3,最小值为当x= -12 时的值,为11 4. ∴ 最大值与最小值的差为(n2+n+ 3)-114= 9 4 ,解得 n=1 或 n=-2, 不符合题意,舍去. 综上所述,n 的取值范围是-12≤ n≤1. 6. D 7. B 8. (1) a≤5 (2) a≥9 9. 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= - m2×(-1)= m 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81