22.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

34 第5课时 用待定系数法求二次函数的解析式 ▶ “答案与解析”见P14 1. 抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(3, 0),且与y轴交于点(0,-5),则当x=2时, y的值为 ( ) A. -5 B. -3 C. -1 D. 5 2. 已知抛物线y=ax2+bx 经过点A(-3, -3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛 物线对应的函数解析式为 ( ) A. y= 1 3x 2+2x B. y=- 1 3x 2+2x C. y= 1 3x 2-2x D. y=- 1 3x 2-2x 3. 分类讨论思想 已知抛物线的顶点坐标为 (4,-2),且形状与抛物线y=x2+2相同, 则它对应的函数解析式为 . 4. ★如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,抛物 线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(0,2), C(4,0). (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 若P 为该抛物线第一象限上一点,当 △BCP 的面积最大时,求点P 的坐标. (第4题) 5. 一个二次函数的图象如图所示,则这个二次 函数的解析式为 ( ) (第5题) A. y=x2-2x+3 B. y=x2-2x-3 C. y=x2+2x-3 D. y=x2+2x+3 6. 已知平面直角坐标系中有点A(-4,-4),B(a, 0),二次函数y=x2+(k-3)x-2k的图象 必过一定点C,则AB+BC 的最小值是 ( ) A. 413 B. 213 C. 62 D. 32 7. 如图,在平面直角坐标系中放置Rt△ABC, ∠ABC=90°,点 A(3,4).现将△ABC 沿 x轴 的 正 方 向 无 滑 动 翻 转,依 次 得 到 △A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3,….连续 翻转14次,则经过△A14B14C14 三个顶点的 抛物线对应的函数解析式为 ( ) (第7题) A. y=- 3 5 (x-51)(x-55) B. y=- 5 12 (x-51)(x-55) C. y=- 3 5 (x-55)(x-60) D. y=- 5 12 (x-55)(x-60) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 35 8. (2024·辽宁)如图,在平面直角坐标系中,抛 物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B, 点B 的坐标为(3,0).若点C(2,3)在该抛物 线上,则AB 的长为 . (第8题) (第10题) 9. 设抛物线l:y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为 D,与y 轴的交点是C,我们称以C 为顶点, 且过点D 的抛物线为抛物线l的“伴随抛物 线”.抛物线y=x2-4x+1的“伴随抛物线” 对应的函数解析式为 . 10. 如图,在▱ABCD 中,AB=4,点D 的坐标 为(0,-4),以C 为顶点的抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)经过x轴上的点A,B,则抛物 线对应的函数解析式为 . 11. 数形结合思想 如图,抛物线y= ax2+2x+c经过点A(-3,0), B(1,0),与y轴交于点C,点P 在 直线AC 下方的抛物线上,过点P 作PQ∥ y轴,交AC 于点Q,连接PA,PC,设点P 的横坐标为m.求: (1) 抛物线对应的函数解析式及点C 的 坐标. (2) 线段PQ 长的最大值. (第11题) 12. 已知P(m,n)为抛物线y=ax2-4ax+b (a≠0)上一动点.当1≤m≤4时,n的取值 范围是1≤n≤4,则抛物线对应的函数解析 式为 . 13. 如图,在平面直角坐标系中,抛物 线y=-x2+2x+c经过点A(0, 1),点P,Q 在此抛物线上,其横坐 标分别为m,2m(m>0),连接AP,AQ. (1) 求此抛物线对应的函数解析式. (2) 当点Q 与此抛物线的顶点重合时,求m 的值. (3) 当∠PAQ 的边与x 轴平行时,求点P 与点Q 的纵坐标的差. (4) 设此抛物线在点A 与点P 之间部分 (包括点A 和点P)的最高点与最低点的纵 坐标的差为h1,在点A 与点Q 之间部分(包 括点A 和点Q)的最高点与最低点的纵坐 标的差为h2.当h2-h1=m 时,直接写出m 的值. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 (xD-xA)= 1 2 (-x1+3)(x1+2)= 1 2 (-x21+x1+6). ∴ S△PDQ S△ADC=3 ,为定值. (3) 由题意可知,P(x1,-x21+9), Q(-2x1,-4x21+9). ∴ 易得直线PQ 对应的函数解析式 为y=xx1-2x21+9. ∴ MN=yM =(x1-1)x1-2x21+ 9=-x21-x1+9=- x1+ 1 2 2 + 37 4≤ 37 4. ∴ 线段MN 长的最大值为374. 第5课时 用待定系数法求 二次函数的解析式 1. A 2. A 3. y=(x-4)2-2或 y=-(x-4)2-2 4. (1) 将A(-1,0),B(0,2),C(4,0)代 入y=ax2+bx+c,得 a-b+c=0, c=2, 16a+4b+c=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=32 , c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= -12x 2+32x+2. (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=kx+2. 将C(4,0)代入,得4k+2=0,解得 k=-12. ∴ 直线 BC 对应的函数解析式为 y=- 1 2x+2. 过点P 作PQ∥y轴,交BC于点Q. 设P t,-12t2+32t+2 ,则Q t, -12t+2 (0<t<4). ∴ PQ=-12t 2+32t+2+ 1 2t- 2=-12t 2+2t. ∴ S△BCP= 1 2×4× - 1 2t 2+2t = -t2+4t=-(t-2)2+4. ∴ 当t=2时,△BCP 的面积最大,此 时点P 的坐标为(2,3). 根据所给点的坐标,设二次 函数解析式的方法 (1) 已知任意三点,设一般式. (2) 已知点中有两点的纵坐标 都为0,设交点式. (3) 已 知 顶 点 的 坐 标,设 顶 点式. 5. B 6. C 解析:y=x2+(k-3)x-2k= x2+kx-3x-2k=x2+k(x-2)- 3x,∵ 二次函数图象必经过点C,即 点C的坐标与k的取值无关,∴ x- 2=0,解得x=2.把x=2代入y= x2+k(x-2)-3x,得y=-2.∴ 点 C的坐标为(2,-2).如图,作点C 关 于x轴的对称点C'(2,2),连接AC', 交x 轴于点B,此时,AB+BC= AB+BC'=AC',即AB+BC 的最小 值为AC'的长.∵ A(-4,-4), ∴ AC'= (-4-2)2+(-4-2)2= 62.∴ AB+BC的最小值是62. (第6题) 7. D 解析:过点B2 作B2D⊥x轴, 垂足为D.∵ ∠ABC=90°,A(3,4), ∴ OB =3,AB =4.∴ OA = OB2+AB2= 32+42=5.∵ 三 角形有三条边,连续翻转3次是一个 循环,14÷3=4……2,∴ △A14B14C14 与△A2B2C2 的摆放方向相同,每翻 转3次,顶点的横坐标就增加3+4+ 5=12.∵ △A2B2C2 是直角三角形, ∴ △A2B2C2 的面积= 1 2A2C2 · B2D= 1 2A2B2 ·B2C2.∴ 5B2D= 4×3.∴ B2D = 12 5.∴ A2D = A2B22-B2D2 = 42- 12 5 2 = 16 5.∴ OD=OB+A1B1+A2D= 51 5.∴ A2(7,0),B2 51 5 ,12 5 ,C2(12, 0).设过点A2,B2,C2 的抛物线对应 的函数解析式为y=a(x-7)(x- 12).把B2 51 5 ,12 5 代入y=a(x- 7)(x-12),得125 =a 51 5-7 × 51 5-12 ,解得a=-512.∴ 过点 A2,B2,C2的抛物线对应的函数解析 式为y=- 5 12 (x-7)(x-12).将抛 物线向右平移4×12=48(个)单位长 度,得抛物线对应的函数解析式为 y=- 5 12 (x-55)(x-60). 8. 4 9. y=-x2+1 10. y=(x- 4)2-4 11. (1) 根据题意,得 9a-6+c=0, a+2+c=0, 解得 a=1, c=-3. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2+2x-3. 当x=0时,y=-3. ∴ C(0,-3). (2) 设直线AC 对应的函数解析式为 y=kx-3. 将A(-3,0)代入,得-3k-3=0,解 得k=-1. ∴ 直线 AC 对应的函数解析式为 y=-x-3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 ∵ PQ∥y轴,点P 的横坐标为m, ∴ P(m,m2+2m-3),Q(m,-m-3). ∴ PQ=(-m-3)-(m2+2m- 3)=-m2-3m=- m+32 2 +94. ∵ -1<0,-3<m<0, ∴ 当m=-32 时,PQ 的长取得最大 值,最大值为9 4. ∴ PQ 长的最大值是94. 12. y= 3 4x 2-3x+4或y=- 3 4x 2+ 3x+1 解析:① 若a<0,则当x= --4a2a =2 时,函数有最大值4;当 x = 4 时,函 数 有 最 小 值 1. ∴ 4a-8a+b=4, 16a-16a+b=1, 解得 a=- 3 4 , b=1. 此时抛物线对应的函数解析式为 y=- 3 4x 2+3x+1.② 若a>0,则 当x=--4a2a =2 时,函数有最小值 1;当 x=4时,函 数 有 最 大 值4. ∴ 4a-8a+b=1, 16a-16a+b=4, 解得 a= 3 4 , b=4. 此时抛物线对应的函数解析式为y= 3 4x 2-3x+4.综上所述,抛物线对应 的函数解析式为y= 3 4x 2-3x+4或 y=- 3 4x 2+3x+1. 13. (1) ∵ 抛物线y=-x2+2x+c 经过点A(0,1), ∴ c=1. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-x2+2x+1. (2) ∵ y=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,2). ∵ 点Q 与此抛物线的顶点重合,点Q 的横坐标为2m, ∴ 2m=1,解得m=12. (3) ① 当AQ∥x 轴时,点A,Q 关于 抛物线的对称轴直线x=1对称,则 xQ=2m=2. ∴ Q(2,1),m=1. 当x=1时,y=-12+2×1+1=2. ∴ P(1,2). ∴ 点P 与点Q 的纵坐标的差为2- 1=1. ② 当AP∥x轴时,点A,P 关于抛物 线的对称轴直线x=1对称,则xP= m=2. ∴ P(2,1),xQ=2m=4. 当x=4时,y=-42+2×4+1=-7. ∴ Q(4,-7). ∴ 点P 与点Q 的纵坐标的差为1- (-7)=8. 综上所述,点P 与点Q 的纵坐标的差 为1或8. (4) m=13 或m=54. 解析:① 如 图①,当点P,Q 都在抛物线的对称轴 直线x=1的左侧时,0<2m<1, ∴ 0<m<12.∵ P(m,-m2+2m+ 1),∴ Q(2m,-4m2 +4m +1). ∴ h1=yP-yA=-m2+2m+1- 1= -m2 +2m,h2 =yQ -yA = -4m2+4m+1-1=-4m2+4m. ∴ h2-h1=-4m2+4m+m2- 2m=m,解得m=13 或m=0(不合题 意,舍去).② 如图②,当点P,Q 在抛 物线的对称轴直线x=1的两侧或其 中一点在对称轴上时,2m≥1,m≤1, 即1 2≤m≤1.∴ h1=-m2+2m, h2=2-1=1.∴ h2-h1=1+m2- 2m=m,解得m=3-52 或m=3+52 , 都不合题意,舍去.③ 如图③,当点P 在抛物线的对称轴直线x=1的右侧 且在直线y=1的上方时,1<m<2, ∴ h1=2-1=1,h2=2-(-4m2+ 4m+1)=4m2-4m+1.∴ h2-h1= 4m2-4m+1-1=m,解得m=54 或 m=0(不合题意,舍去).④ 如图④, 当点P 在直线y=1上或下方时, m≥2,∴ h1=2-(-m2+2m+1)= m2-2m+1,h2=2-(-4m2+4m+ 1)=4m2-4m+1.∴ h2-h1= 4m2-4m+1-(m2-2m+1)=m,解 得m=1或m=0,都不合题意,舍去. 综上所述,m=13 或m=54. (第13题) 专题特训三　二次函数 解析式的确定 1. (1) 把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分 别 代 入 y =ax2 +bx +c,得 c=6, 9a+3b+c=3, 16a+4b+c=6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=-4, c=6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 此二次函数的解析式为y=x2- 4x+6. (2) 当y>6时,x的取值范围是x<0 或x>4. 2. ∵ 点A,B,D 的坐标分别为(-2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51