22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

32 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P13 1. (2024·南通)将抛物线y=x2+2x-1向右 平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点 坐标为 ( ) A. (-4,-1) B. (-4,2) C. (2,1) D. (2,-2) 2. (2024·泸州)已知二次函数y=ax2+(2a- 3)x+a-1(x 是自变量)的图象经过第一、 二、四象限,则实数a的取值范围是 ( ) A. 1≤a<98 B. 0<a<32 C. 0<a<98 D. 1≤a<32 3. 将函数y=x2-4x-5的图象向左平移3个 单位长度,再向上平移7个单位长度,所得新 图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c,则 b= . 4. 如图,二次函数y=-x2+ax+1的图象经 过点P(2,1). (1) 求a的值和图象的顶点坐标. (2) 点Q(m,n)在该二次函数的图象上. ① 当m=3时,求n的值. ② 若点Q 到y轴的距离小于2,求n的取值 范围. (第4题) 5. 已知点(-1,y1),(2,y2),(4,y3)都在二次函 数y=ax2-2ax+3a(a≠0)的图象上,当 x>2时,y随着x 的增大而增大,则y1,y2, y3的大小关系正确的是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y2<y1<y3 D. y2<y3<y1 6. 函数y=kx+k和函数y=-kx2+4x+4(k 是常数,且k≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 抛物线y=x2+kx+4k在直线y=16下方 恰好有五个横坐标为整数的点,则k的值不 可能是 ( ) A. 2 B. 5 C. 13 D. 4π+1 8. 在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3)是二次函数y=-x2+4x-1图象 上的三点.若0<x1<1,x2>4,则y1 y2(填“>”或“<”);若对于m<x1<m+1, m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在 y1<y3<y2,则m 的取值范围是 . 9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的 对称轴是直线x=t,点P(1,m),Q(3,n)在 这个二次函数的图象上.若n<c<m,则t的 取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 33 10. 在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2- 2(k-1)x+k2-52k (k为常数). (1) 若抛物线经过点(1,k2),求k的值. (2) 若抛物线经过点(2k,y1),(2,y2),且 y1>y2,求k的取值范围. (3) 若将抛物线向右平移1个单位长度得 到新抛物线,当1≤x≤2时,新抛物线对应 的函数有最小值-32 ,求k的值. 11. (2024·湖南)已知二次函数y= -x2+c的图象经过点A(-2,5), 且P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次 函数的图象上的两个动点. (1) 求此二次函数的解析式. (2) 如图①,此二次函数的图象与x轴的正 半轴交于点B,点P 在直线AB 的上方,过 点P 作PC⊥x轴于点C,交AB 于点D,连 接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求证: S△PDQ S△ADC 的值为定值. (3) 如图②,点P 在第二象限,x2=-2x1, 点M 在直线PQ 上,且横坐标为x1-1,过 点M 作MN⊥x轴于点N,求线段MN 长 的最大值. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 第4课时 二次函数y=ax2+ bx+c的图象和性质 1. D 2. A 3. 2 4. (1) 把(2,1)代入y=-x2+ax+ 1,得1=-4+2a+1,解得a=2. ∴ y=-x2+2x+1=-(x- 1)2+2. ∴ 图象的顶点坐标为(1,2). (2) ① 把x=3代入y=-x2+2x+ 1,得y=-9+6+1=-2. ∴ n=-2. ② ∵ m 为点Q 的横坐标,点Q 到 y轴的距离小于2, ∴ |m|<2. ∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,顶 点坐标为(1,2), ∴ y的最大值为2. ∵ 2-1<1-(-2),当x=-2时, y=-4-4+1=-7, ∴ -7<n≤2. 5. C 解析:∵ y=ax2-2ax+3a (a≠0),∴ 该函数图象的对称轴是直 线x=--2a2a =1.∵ 当x>2时,y 随着x的增大而增大,∴ a>0.∴ 点 (-1,y1)关于直线 x=1的对称点是 (3,y1).∵ 2<3<4,∴ y2<y1<y3. 6. A 7. C 解析:将y=x2+kx+4k 和 y=16联立,得x2+kx+4k=16,即 x2+kx+4k-16=0,∴ x = -k± k2-4×1×(4k-16) 2×1 .∴ x1= -4,x2=-k+4.当-k+4>-4,即 k<8时,∵ 抛物线y=x2+kx+4k 在直线y=16下方恰好有五个横坐标 为整数的点,∴ 这五个点的横坐标 为-3,-2,-1,0,1.∴ -k+4>1, -k+4≤2, 解得2≤k<3.∴ k的值可以是2,5. ∴ 选项A,B不符合题意.当-k+ 4<-4,即k>8时,∵ 抛物线y= x2+kx+4k在直线y=16下方恰好 有五个横坐标为整数的点,∴ 这五个 点的横坐标为-5,-6,-7,-8,-9. ∴ -k+4<-9, -k+4≥-10, 解得13<k≤14. ∴ k的值不可以是13,可以是4π+1. ∴ 选项C符合题意,选项D不符合 题意. 8. > -12<m<1 解析:∵ y= -x2+4x-1=-(x-2)2+3,∴ 二 次函数y=-x2+4x-1图象的对称 轴为直线x=2,开口向下.∵ 0< x1<1,x2>4,∴ 2-x1<x2-2. ∴ y1>y2.∵ m<x1<m+1,m+ 1<x2<m+2,m+2<x3<m+3, ∴ x1<x2<x3.∵ 存在y1<y3< y2,∴ x1<2,x3>2,且点A(x1,y1) 离对称轴最远,点B(x2,y2)离对称 轴最近.∴ 2-x1>x3-2>|x2- 2|.∴ x1+x3<4,且 x2+x3>4. ∵ 2m+2<x1+x3<2m+4,2m+ 3<x2+x3<2m+5,∴ 2m+2<4, 且2m+5>4,解得-12<m<1. 9. 1 2<t< 3 2 10. (1) 把(1,k2)代入y=x2-2(k- 1)x+k2-52k ,得k2=12-2(k- 1)+k2-52k ,解得k=23. (2) 把(2k,y1)代入y=x2-2(k- 1)x+k2- 52k ,得y1=(2k)2- 2(k-1)×2k+k2-52k=k 2+32k. 把(2,y2)代入y=x2-2(k-1)x+ k2-52k ,得y2=22-2(k-1)×2+ k2-52k=k 2-132k+8. ∵ y1>y2, ∴ k2+32k>k 2-132k+8 ,解得 k>1. (3) ∵ y=x2-2(k-1)x+k2- 5 2k= (x-k+1)2+ -12k-1 , ∴ 将抛物线向右平移1个单位长度 得到新抛物线对应的函数解析式为 y=(x-k)2+ -12k-1 . 当k<1时,1≤x≤2对应的抛物线部 分位于对称轴右侧,y 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=1时,y最小 =(1-k)2- 1 2k-1=k 2-52k. ∴ k2-52k=- 3 2 ,解得k1=1,k2= 3 2 ,都不合题意,舍去. 当1≤k≤2时,y最小=- 1 2k-1. ∴ -12k-1=- 3 2 ,解得k=1. 当k>2时,1≤x≤2对应的抛物线部 分位于对称轴左侧,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=2时,y最小 =(2-k)2- 1 2k-1=k 2-92k+3. ∴ k2-92k+3=- 3 2 ,解得k1=3, k2= 3 2 (不合题意,舍去). 综上所述,k=1或k=3. 11. (1) 将A(-2,5)代入y=-x2+ c,得5=-4+c,解得c=9. ∴ 此 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y= -x2+9. (2) 在y=-x2+9中,令y=0,得 x=±3, ∴ B(3,0). 由A(-2,5),B(3,0),易得直线AB 对应的函数解析式为y=-x+3. 由题意可知,P(x1,-x21+9),Q(x2, -x22+9),则D(x1,-x1+3),其中 x2=x1+3. ∴ S△PDQ = 1 2PD ·(xQ -xP)= 1 2 (-x21+9+x1-3)(x2-x1)= 3 2 (-x21+x1+6),S△ADC= 1 2CD · 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 (xD-xA)= 1 2 (-x1+3)(x1+2)= 1 2 (-x21+x1+6). ∴ S△PDQ S△ADC=3 ,为定值. (3) 由题意可知,P(x1,-x21+9), Q(-2x1,-4x21+9). ∴ 易得直线PQ 对应的函数解析式 为y=xx1-2x21+9. ∴ MN=yM =(x1-1)x1-2x21+ 9=-x21-x1+9=- x1+ 1 2 2 + 37 4≤ 37 4. ∴ 线段MN 长的最大值为374. 第5课时 用待定系数法求 二次函数的解析式 1. A 2. A 3. y=(x-4)2-2或 y=-(x-4)2-2 4. (1) 将A(-1,0),B(0,2),C(4,0)代 入y=ax2+bx+c,得 a-b+c=0, c=2, 16a+4b+c=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-12 , b=32 , c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= -12x 2+32x+2. (2) 设直线BC 对应的函数解析式为 y=kx+2. 将C(4,0)代入,得4k+2=0,解得 k=-12. ∴ 直线 BC 对应的函数解析式为 y=- 1 2x+2. 过点P 作PQ∥y轴,交BC于点Q. 设P t,-12t2+32t+2 ,则Q t, -12t+2 (0<t<4). ∴ PQ=-12t 2+32t+2+ 1 2t- 2=-12t 2+2t. ∴ S△BCP= 1 2×4× - 1 2t 2+2t = -t2+4t=-(t-2)2+4. ∴ 当t=2时,△BCP 的面积最大,此 时点P 的坐标为(2,3). 根据所给点的坐标,设二次 函数解析式的方法 (1) 已知任意三点,设一般式. (2) 已知点中有两点的纵坐标 都为0,设交点式. (3) 已 知 顶 点 的 坐 标,设 顶 点式. 5. B 6. C 解析:y=x2+(k-3)x-2k= x2+kx-3x-2k=x2+k(x-2)- 3x,∵ 二次函数图象必经过点C,即 点C的坐标与k的取值无关,∴ x- 2=0,解得x=2.把x=2代入y= x2+k(x-2)-3x,得y=-2.∴ 点 C的坐标为(2,-2).如图,作点C 关 于x轴的对称点C'(2,2),连接AC', 交x 轴于点B,此时,AB+BC= AB+BC'=AC',即AB+BC 的最小 值为AC'的长.∵ A(-4,-4), ∴ AC'= (-4-2)2+(-4-2)2= 62.∴ AB+BC的最小值是62. (第6题) 7. D 解析:过点B2 作B2D⊥x轴, 垂足为D.∵ ∠ABC=90°,A(3,4), ∴ OB =3,AB =4.∴ OA = OB2+AB2= 32+42=5.∵ 三 角形有三条边,连续翻转3次是一个 循环,14÷3=4……2,∴ △A14B14C14 与△A2B2C2 的摆放方向相同,每翻 转3次,顶点的横坐标就增加3+4+ 5=12.∵ △A2B2C2 是直角三角形, ∴ △A2B2C2 的面积= 1 2A2C2 · B2D= 1 2A2B2 ·B2C2.∴ 5B2D= 4×3.∴ B2D = 12 5.∴ A2D = A2B22-B2D2 = 42- 12 5 2 = 16 5.∴ OD=OB+A1B1+A2D= 51 5.∴ A2(7,0),B2 51 5 ,12 5 ,C2(12, 0).设过点A2,B2,C2 的抛物线对应 的函数解析式为y=a(x-7)(x- 12).把B2 51 5 ,12 5 代入y=a(x- 7)(x-12),得125 =a 51 5-7 × 51 5-12 ,解得a=-512.∴ 过点 A2,B2,C2的抛物线对应的函数解析 式为y=- 5 12 (x-7)(x-12).将抛 物线向右平移4×12=48(个)单位长 度,得抛物线对应的函数解析式为 y=- 5 12 (x-55)(x-60). 8. 4 9. y=-x2+1 10. y=(x- 4)2-4 11. (1) 根据题意,得 9a-6+c=0, a+2+c=0, 解得 a=1, c=-3. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2+2x-3. 当x=0时,y=-3. ∴ C(0,-3). (2) 设直线AC 对应的函数解析式为 y=kx-3. 将A(-3,0)代入,得-3k-3=0,解 得k=-1. ∴ 直线 AC 对应的函数解析式为 y=-x-3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41