22.1.3 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

30 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P11 1. 对于抛物线y=-3(x-m)2,下列说法中不 正确的是 ( ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=m C. 对应函数的最大值为0 D. 与x轴不相交 2. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y= ax+k与二次函数y=kx2+a的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 3. (2024·凉山)已知抛物线y= 2 3 (x-1)2+c 经过(-2,y1),(0,y2), 5 2 ,y3 三点,则y1, y2,y3的大小关系正确的是 ( ) A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y3>y1>y2 D. y1>y3>y2 4. (2024·滨州)将抛物线y=-x2先向右平移 1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则 平移后抛物线的顶点坐标为 . 5. 已知抛物线y=-2(x+m)2-3,当x≥1 时,y随x 的增大而减小,则m 的取值范围 是 . 6. 如图,抛物线y=a(x-4)2+8与x 轴交于 点A,B,C 是抛物线的顶点,▱ABCD 的顶 点D 在y轴上. (1) 求a的值. (2) 若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经 过点D,求平移后抛物线对应的函数解析式. (第6题) 7. 已知A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物 线y=-2(x+1)2+k上的三个点,则y1, y2,y3的大小关系为 ( ) A. y1>y3>y2 B. y3>y1>y2 C. y1>y2>y3 D. y3>y2>y1 8. 如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点B 在y轴上,则ac 的值为 ( ) (第8题) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 9. 已知抛物线y=a(x-1)2-2(a≠0), 当-1≤x≤2时,函数的最大值与 最小值的差为3,则a的值为( ) A. 1 B. 3 4 C. 3 4 或-34 D. 5 4 或-34 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 31 10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= ax2+6与y轴交于点A,过点A 与x轴平 行的直线交抛物线y=2x2于B,C 两点,则 BC 的长为 . (第10题) 11. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1). 如图,直线y= 1 4x 与抛物线交于 A,B 两点,直线l 对应的函数解析式为 y=-1. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 直线l上是否存在一点P,使PA+PB 取得最小值? 若存在,求出点P 的坐标;若 不存在,请说明理由. (第11题) 12. 有下列关于二次函数y=-(x-n)2+n2+ 1(n为常数)的结论:① 该函数的图象开口 向下;② 该函数的图象一定经过坐标轴上 某个定点;③ 该函数图象的顶点在函数y= x2+1的图象上;④ 当0≤x≤1时,若该函 数有最大值2,则n=±1.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 如图,点M(x1,y1),N(x2,y2)在 二次函数y=a(x-2)2-1(a>0) 的图象上,且x2-x1=3. (1) 若二次函数的图象经过点(3,1). ① 求这个二次函数的解析式. ② 若y1=y2,求顶点到点M,N 所在直线 的距离. (2) 当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与 最小值的差为1,点M,N 在图象的对称轴 的异侧,求a的取值范围. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 -4≤y≤0. (第5题) 6. C 7. A 8. A 解析:∵ 点(m,n)在抛物线 y=ax2(a>0)上,∴ n=am2.∴ a· (x-2)2>am2.∵ a>0,∴ (x- 2)2>m2.又∵ m>0,∴ x<-m+2 或x>m+2. 9. A 10. ①②④ 11. 设直线l对应的函数解析式为 y=kx+b. 把 A (3,0),B (0,3)代 入,得 3k+b=0, b=3, 解得 k=-1 , b=3. ∴ 直线l对应的函数解析式为y= -x+3. 设P(t,-t+3)(0<t<3). ∵ △AOP 的面积为3, ∴ 1 2×3 (-t+3)=3,解得t=1. ∴ 点P 的坐标为(1,2). 把P(1,2)代入y=ax2,得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2x2. 12. (1) ∵ 点A,B 在函数y= 1 4x 2 的图象上,点A,B 的横坐标分别为 -2,4, ∴ 易得A(-2,1),B(4,4). 设直线AB 对应的函数解析式为y= kx+b. ∴ -2k+b=1, 4k+b=4, 解得 k= 1 2 , b=2. ∴ 直线AB 对应的函数解析式为y= 1 2x+2. (2) 在y= 1 2x+2 中,令x=0,则 y=2, ∴ 点C的坐标为(0,2). ∴ OC=2. ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×2× 2+12×2×4=6. (3) 4. 13. C 解析:如图.由图可知,当x≤ 0时,y 随x 的增大而减小;当x>0 时,y随x的增大而增大.当a≤b≤0 时,m=b2,n=a2,此时当n-m=1 时,a2-b2=1.∴ (a-b)(a+b)=1. ∴ b-a=- 1a+b. 当a+b的值越小 时,b-a越小,无限接近0,但不等于 0,即b-a 没有最小值.当0<a≤b 时,m=a,n=b,此时当n-m=1时, b-a=1.当a<0<b时,m=0,此时 当n-m=1时,n=1.当a=-1,b= 1时,b-a的值最大,为1-(-1)= 2.综上所述,当n-m=1时,b-a有 最大值,无最小值.∴ 选项 A,B错 误.当a≤b≤0时,m=b2,n=a2,此 时当b-a=1时,n-m=a2-b2= (a+b)(a-b)=-(a+b).∴ 当a+ b的值越小时,n-m 的值越大,即 n-m 没有最大值.当0<a≤b时, m=a,n=b,此时当b-a=1时,n- m=b-a=1.当a<0<b时,m=0,此 时当b-a=1时,x=a和x=b的函 数值相同时,n-m 的值最小.综上所 述,当b-a=1时,n-m 有最小值,无 最大值.∴ 选项C正确,选项D错误. (第13题) 14. (1) 令y=a(x+2)=0,得x=-2. ∴ 点A 的坐标为(-2,0). (2) 联立 y=a(x+2), y=ax2, ∴ x2-x-2=0. ∴ x=-1或x=2. ∵ 点B 在点C的左边, ∴ B(-1,a),C(2,4a). ∵ 点B 关于x轴的对称点为B', ∴ B'(-1,-a). ∴ AB'2=(-2+1)2+(0+a)2= a2+1,AC2=(2+2)2+(4a-0)2= 16a2+16,B'C2=(2+1)2+(4a+ a)2=25a2+9. 若∠CAB'=90°,则AB'2+AC2=B'C2, 即a2+1+16a2+16=25a2+9. ∴ a=1. 若∠AB'C=90°,则AB'2+B'C2= AC2,即a2+1+25a2+9=16a2+16, ∴ a= 155 . 若∠ACB'=90°,则 AC2+B'C2= AB'2,即16a2+16+25a2+9=a2+ 1,此方程无解. 综上所述,a=1或a= 155 . 第3课时 二次函数y=a(x- h)2+k的图象和性质 1. D 2. C 3. D 4. (1,2) 5. m≥-1 6. (1) ∵ y=a(x-4)2+8, ∴ 顶点C的坐标为(4,8). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD∥AB,CD=AB=4. ∴ 易得A(2,0),B(6,0). ∴ a×(2-4)2+8=0,解得a=-2. (2) ∵ y=-2(x-4)2+8, ∴ 设平移后抛物线对应的函数解析 式为y=-2(x-4)2+8+k. 易知D(0,8). 把D(0,8)代入,得8=-32+8+k, 解得k=32. ∴ 平移后抛物线对应的函数解析式 为y=-2(x-4)2+40,即 y= -2x2+16x+8. 7. C 8. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 9. C 解析:∵ y=a(x-1)2-2, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=1. ① 若a>0,则当x=1时,函数有最 小值,是-2;当x=-1时,函数有最 大值,是4a-2.∵ 函数的最大值与 最小值的差为3,∴ 4a-2-(-2)= 3,解得a=34.② 若a<0,则当x=1 时,函数有最大值,是-2;当x=-1 时,函数有最小值,是4a-2.∵ 函数 的最大值与最小值的差为3,∴ -2- (4a-2)=3,解得a=-34. 综上所 述,a的值为34 或-34. 10. 23 11. (1) ∵ 抛物线的顶点坐标为(2,0), ∴ 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-2)2. ∵ 该抛物线经过点(4,1), ∴ 1=a×(4-2)2,解得a=14. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 1 4 (x-2)2=14x 2-x+1. (2) 存在. 联立 y= 1 4x , y= 1 4x 2-x+1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=1, y1= 1 4 , x2=4, y2=1. ∴ 点A 的坐标为 1,14 ,点B 的坐 标为(4,1). 作点B 关于直线l的对称点B',连接 AB'交直线l于点P,此时PA+PB 取得最小值. 易知点B'的坐标为(4,-3). 设直线AB'对应的函数解析式为y= kx+b(k≠0). 将A1,14 ,B'(4,-3)代入y=kx+ b,得 k+b=14 , 4k+b=-3, 解得 k=-1312 , b=43. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线 AB'对应的函数解析式为 y=- 13 12x+ 4 3. 当y=-1时,- 13 12x+ 4 3=-1 ,解得 x=2813. ∴ 当点 P 的坐标为 2813 ,-1 时, PA+PB 取得最小值. 12. C 解析:① ∵ 二次函数y= -(x-n)2+n2+1(n 为常数)中 a=-1<0,∴ 该函数图象开口向下. 故①正确.② ∵ 在y=-(x-n)2+ n2+1中,令x=0,则y=-n2+n2+ 1=1,∴ 该函数的图象一定经过点 (0,1).故②正确.③ ∵ 函数图象开口 向下,当x=n时,y有最大值n2+1, ∴ 该函数图象的顶点在函数y= x2 +1 的 图 象 上.故 ③ 正 确. ④ ∵ y=-(x-n)2+n2+1,∴ 函 数图象的对称轴为直线x=n.若n< 0,则当0≤x≤1时,y有最大值1,不 合题意,舍去;若0≤n≤1,则当0≤ x≤1时,y 有最大值n2+1,此时 n2+1=2,解得n=1(负值舍去);若 n>1,则当0≤x≤1时,y 有最大值 2n,此时2n=2,解得n=1(不合题 意,舍去).故④错误.综上所述,正确 的有3个. 13. (1) ① ∵ 二次函数y=a(x- 2)2-1(a>0)的图象经过点(3,1), ∴ 1=a-1,解得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2(x- 2)2-1. ② ∵ y1=y2, ∴ 点 M,N 关于抛物线的对称轴 对称. ∵ 抛物线的对称轴是直线x=2,且 x2-x1=3, ∴ x1= 1 2 ,x2= 7 2. 当x= 12 时,y=2× 12-2 2 - 1=72. 易知抛物线的顶点坐标为(2,-1), ∴ 当y1=y2 时,顶点到点 M,N 所 在直线的距离=72+1= 9 2. (2) 由题意,得x1≤2,x2≥2,x2- x1=3. ∴ x2=x1+3>2. ∴ x1>-1. ① 当y1≥y2时,由题意,得 x1+x2 2 ≤2. ∴ x1≤ 1 2. ∴ -1<x1≤ 1 2. ∵ 函数的最大值为y1=a(x1- 2)2-1,最小值为-1, ∴ y1-(-1)=1. ∴ a= 1(x1-2)2 . ∵ -1<x1≤ 1 2 , ∴ -3<x1-2≤- 3 2. ∴ 9 4≤ (x1-2)2<9. ∴ 1 9<a≤ 4 9. ② 当y1≤y2时,x1<2, 由题意,得x1+x2 2 ≥2. ∵ x2-x1=3, ∴ x1≥ 1 2. ∴ 1 2≤x1<2. ∵ 函数的最大值为y2=a(x2- 2)2-1,最小值为-1, ∴ y2-(-1)=1. ∴ a= 1(x2-2)2 = 1(x1+1)2 . ∵ 1 2≤x1<2 , ∴ 3 2≤x1+1<3. ∴ 9 4≤ (x1+1)2<9. ∴ 1 9<a≤ 4 9. 综上所述,a的取值范围是19<a≤ 4 9. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21