第二十一章 专题特训一 根的判别式及根与系数的关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

12 　　　 专题特训一　根的判别式及根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P5 类型一 巧借方程的特殊根,判断代数式的 取值范围 1. 实数a,b,c满足a-b+c=0,则下 列结论中,正确的是 ( ) A. b2-4ac>0 B. b2-4ac<0 C. b2-4ac≥0 D. b2-4ac≤0 类型二 利用根的判别式求待定字母的值 或取值范围 2. 若实数a,b满足12a-ab+b 2+2=0,则a的 取值范围是 ( ) A. a≤-2 B. a≥4 C. a≤-2或a≥4 D. -2≤a≤4 3. 若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+ 2=0有实数根,则ba= . 4. 已知关于x的方程|x2+ax|=4只 有3个不相等的实数根,求a 的值 和相应的3个根. 类型三 利用根与系数的关系求方程另一个根 5. ★已知方程x2+mx+4=0的一个根为6+ 2,则方程的另一个根为 . 类型四 利用根与系数的关系求字母的值 或取值范围 6. 已知a,b是方程x2-3x-5=0的 两个根,则代数式2a3-6a2+b2+ 7b+1的值是 ( ) A. -25 B. -24 C. 35 D. 36 7. 若实数a,b,c满足b+c-1=0,a-bc-1= 0,则a的取值范围是 . 8. 已知关于x的方程x2+(a-6)x+a=0的 两个根都是整数,则a的值为 . 9. 若m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两 个实数根,则m 3+m2n 3m-1 的值为 . 10. 已知关于x 的一元二次方程x2-4mx+ 3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2, 求m 的值. 类型五 根的判别式及根与系数的关系的 综合应用 11. 若关于x 的一元二次方程x2-(a2-3a- 10)x+a=0的两根互为相反数,则两根之 积是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 13 12. 已知关于x 的一元二次方程mx2+2(m+ 1)x+m-1=0有两个不等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个实数根分别为x1,x2, 且x21+x22=8,求m 的值. 13. 已知关于x 的一元二次方程x2-(2k+ 1)x+k2+k=0. (1) 求证:方程有两个不等的实数根. (2) 若△ABC 的两边AB,AC 的长是这个 方程的两个实数根,且∠BAC=90°,BC= 5,求k的值. 类型六 利用根的判别式求几何图形的存在性 14. 如图,在矩形ABCD 中,设AB= a,AD=b,且a>b. (1) 若a,b为方程x2-kx+k+ 4=0的两个根,且a,b满足a2+b2=40,求 k的值. (2) 在(1)的条件下,P 为CD 上一点(与C, D 两点不重合),当点P 在什么位置时, △APB 为直角三角形? (3) P 为CD 上一动点(与C,D 两点不重 合),当a,b满足什么条件时,使△APB 为 直角三角形的点P 有且只有一个? (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 ∴ a4+b4=m2+n2=(m+n)2- 2mn=454. ② 当a2=b2(a=-b)时,易得a2= b2=7± 414 ,此时a4+b4=2a4= 2(a2)2=45±7 414 . 综 上 所 述,a4 +b4 的 值 为454 或 45+7 41 4 或45-7 41 4 . (3) 令 1 m2=a ,-n=b,则a2+a- 7=0,b2+b-7=0. ∵ n>0, ∴ 1 m2 ≠-n,即a≠b. ∴ a,b是方程x2+x-7=0的两个 不等的实数根. ∴ a+b=-1,ab=-7. ∴ 1 m4+n 2=a2+b2=(a+b)2- 2ab=15. 专题特训一　根的判别式 及根与系数的关系 1. C 2. C 3. -12 4. ∵ |x2+ax|=4, ∴ x2+ax-4=0①或x2+ax+4=0②. ∵ 方程①②不可能有相同的根,而原 方程有3个不相等的实数根, ∴ 方程①②中有一个有等根,而方程 ①根的判别式Δ1=a2+16>0. ∴ 方程②根的判别式 Δ2=a2- 16=0. ∴ a=±4. 当a=4时,原方程为x2+4x-4=0 或x2+4x+4=0,原方程的根为 x=-2±22,-2; 当a=-4时,原方程为x2-4x-4= 0或x2-4x+4=0,原方程的根为 x=2±22,2. 5. 6-2 已知一元二次方程的一个根, 求另一个根的方法 方法一(利用根与系数的关 系):当方程的二次项系数、一次项 系数已知,常数项未知时,利用两 根的和求另一个根;当方程的二次 项系数、常数项已知,一次项系数 未知时,利用两根的积求另一个根. 方法二(利用方程根的定义): 先把方程的已知根代入方程求出 未知系数或常数项,再解方程求另 一个根. 6. D 7. a≤54 解析:∵ b+c=1,bc= a-1,∴ b,c为方程x2-x+(a- 1)=0的两根.∴ Δ=1-4(a-1)≥ 0.∴ a≤54. 8. 0或16 解析:设原方程的两个根 为x1,x2(x1≥x2).由根与系数的关 系,得 x1+x2=6-a, x1x2=a, 消 去 a,得 x1x2+x1+x2=6,∴ (x1+1)(x2+ 1)=7.∴ x1+1=7, x2+1=1 或 x1+1=-1, x2+1=-7. ∴ x1=6, x2=0 或 x1=-2, x2=-8. ∴ a= x1x2=0或16. 9. 3 解析:∵ m,n是一元二次方程 x2+3x-1=0的两个实数根,∴ m+ n=-3,m2+3m-1=0.∴ 3m- 1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 10. 设方程的两个根分别为t,t+2. 根据题意,得t+t+2=4m,t(t+ 2)=3m2. ∴ t=2m-1. 把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得 (2m-1)(2m+1)=3m2. 整理,得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1(不合题意,舍去). ∴ m 的值为1. 11. -2 12. (1) 由题意,知[2(m+1)]2-4× m(m-1)>0,解得m>-13. ∵ m≠0, ∴ m 的取值范围是 m>- 13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1,x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . ∵ x21 +x22 =8,即 (x1+x2)2 - 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原方程 的解. ∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 13. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2- 4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k= 1>0, ∴ 方程有两个不等的实数根. (2) ∵ △ABC 的两边AB,AC 的长 是这个方程的两个实数根, ∴ AB+AC=2k+1,AB·AC= k2+k. ∵ ∠BAC=90°,BC=5, ∴ AB2+AC2=52,即(AB+AC)2- 2AB·AC=25. ∴ (2k+1)2-2(k2+k)=25,解得 k1=-4,k2=3. 当k=-4时,AB+AC=2×(-4)+ 1=-7,不合题意,舍去;当k=3时, AB+AC=2×3+1=7. ∴ k的值为3. 14. (1) ∵ a,b为方程x2-kx+k+ 4=0的两个根, ∴ a+b=k>0,ab=k+4. ∵ a2+b2=40, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 ∴ (a+b)2-2ab=40,即k2-2(k+ 4)=40,解得k=8或k=-6(不合题 意,舍去). ∴ k=8. (2) 当k=8时,x2-8x+12=0,解得 x1=2,x2=6. ∵ a>b, ∴ a=6,b=2. ∵ 易知∠APB=90°, ∴ AP2+BP2=AB2. 设DP=m. ∴ 4+m2+4+(6-m)2=36,解得 m1=3+5,m2=3-5. ∴ DP=3±5. ∴ 当点P 与点D 相距3+ 5或3- 5时,△APB 为直角三角形. (3) 同(2),可列方程为b2+m2+ (a-m)2+b2=a2,即 m2-am+ b2=0. 当Δ=(-a)2-4b2=0时,点P 有且 只有一个,此时a2=4b2. ∵ a>b>0, ∴ a=2b. ∴ 当a=2b时,使△APB 为直角三 角形的点P 有且只有一个. 21.3　实际问题 与一元二次方程 第1课时 传播与握手等问题 1. B 2. D 3. C 4. 51 5. 12 6. (1) 设每轮传染中平均1人传染了 x人. 根据题意,得1+x+x(x+1)=81, 整理,得x2+2x-80=0,解得x1= 8,x2=-10(不合题意,舍去). ∴ 每轮传染中平均1人传染了8人. (2) 81+81×8=729(人). ∴ 经过三轮传染后共有729人会患 流感. 7. D 8. 13 9. 5 10. 12 11. 设周瑜去世时的年龄的个位上的 数字为x,则十位上的数字为x-3. 依题意,得10(x-3)+x=x2,解得 x1=5,x2=6. 当x=5时,25<30,不合题意,舍去; 当x=6时,36>30,符合题意. ∴ 周瑜去世时的年龄为36岁. 12. (1) n+8. (2) 设这个最小的数为n,则最大的 数为n+8. 根据题意,得n(n+8)=153. 整理,得n2+8n-153=0,解得n1= 9,n2=-17(不合题意,舍去). ∴ 这个最小的数为9. 13. (1) 15;n (n-1) 2 . (2) ① 28. ② 11. (3) ① 10. ② (m+2)(m+1) 2 . (4) 30. (5) 题图中AD 上有6个点,可得AD 上有6×5 2 =15 (条)线段; AB上有5个点,可得AB 上有5×42 = 10(条)线段. ∵ AD 上任意一条线段与AB 上任意 一条线段“握手”,都会构成一个矩形, ∴ 题图中共有15×10=150(个)矩形. AD 上的线段与AB 上的线段“握手” 时,要构成正方形,就要求“握手”的两 条线段必须相等.列表如下: 线段 长度 AD 上的 条数 AB上的 条数 “握手” 次数 1 5 4 5×4=20 2 4 3 4×3=12 3 3 2 3×2=6 4 2 1 2×1=2 由表可得,共“握手”20+12+6+2= 40(次),即题图中共有40个正方形. ∴ 共有150个矩形、40个正方形. 第2课时 平均增长率 与市场营销问题 1. B 增长率(或降低率)问题的规律 设某数为a,平均增长率(或降 低率)为x,则一次增长或降低后的 值为a(1±x),两次增长或降低后 的值为a(1±x)2,以此类推,n 次 增长或降低后的值为a(1±x)n. 2. A 3. D 4. 20% 5. (1) 设该公司投递快件总数的月 增长率为x. 根据题意,得5(1+x)2=6.05,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意,舍去). ∴ 该公司投递快件总数的月增长率 为10%. (2) ∵ 六月份快件总数为6.05× (1+10%)=6.655(万件),16名快 件投递员每月投递快件0.4×16= 6.4(万件), 又∵ 6.4<6.655, ∴ 该公司现有的16名快件投递员不 能完成当年六月份的快件投递任务. 6. C 7. 600+600(1+x)+600(1+ x)2=2850 8. (1) 设十、十一这两个月的平均增 长率为x. 根据题意,得256(1+x)2=400,解得 x1= 1 4=25% ,x2=- 9 4 (不合题意, 舍去). ∴ 十、十一这两个月的平均增长率 为25%. (2) 设当每袋降价m 元时,该网店十 二月份获利4250元. 根据题意,得(40-25-m)(400+ 5m)=4250,解得m1=5,m2=-70 (不合题意,舍去). ∴ 当每袋降价5元时,该网店十二月 份获利4250元. 9. (1) 设y 与x 之间的函数解析式 为y=kx+b(k≠0). 由题意,得 45k+b=55, 55k+b=45, 解得 k=-1 , b=100. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6