21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

10 *第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P4 1. 已知关于x的一元二次方程x2-6x+7=0 的两个实数根分别为x1,x2,则x1x2-x1- x2的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 12 D. 2 2. 已知m,n是方程x2-3x-4=0的两个根, 则(m-1)(n-1)的值是 ( ) A. 8 B. -7 C. 0 D. -6 3. 已知关于x 的一元二次方程x2-2x-a=0 的两个根分别为x1,x2.若x1=-1,则a- x21-x22的值为 ( ) A. 7 B. -7 C. 6 D. -6 4. (2024·眉山)已知方程x2+x-2=0的两根 分别为x1,x2,则 1 x1+ 1 x2 的值为 . 5. 解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错 了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3; 小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1, x2=5.正确的一元二次方程为 . 6. 已知关于x的一元二次方程mx2-x+m= 0(m≠0)的两个根为x1,x2. (1) 设y= 3 x1+ 3 x2 ,用含m 的代数式表示y. (2) 当y=6时,求此时方程的根. 7. 若x1+x2=3,x21+x22=5,则以x1,x2 为根 的一元二次方程是 ( ) A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 8. 设a,b是方程x2+x-2023=0的两个实数 根,则a2+2a+b的值为 ( ) A. 2024 B. 2021 C. 2023 D. 2022 9. 已知2m2-5m-1=0,1n2+ 5 n-2= 0,且m≠n,则1m+ 1 n 的值为 ( ) A. 5 4 B. -54 C. 5 D. -5 10. 若关于x 的一元二次方程x2-4x+m=0 的两个实数根分别为x1,x2,且x1+3x2= 5,则m 的值为 . 11. 已知a,b满足a2+2a-1=0,b2+2b-1= 0,且a≠b,则ab+ b a= . 12. 若关于x 的方程m2x2+(2m+3)x+1=0 有两个乘积为1的实数根,方程x2+(2a+ m)x+1-m2=0有一个大于0且小于4的 实数根,则a的整数值是 . 13. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+m- 2=0. (1) 求证:无论m 取任何实数,此方程总有 两个不等的实数根. (2) 设该方程的两个实数根为x1,x2.若 x21+x22+m(x1+x2)=m2+1,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 11 14. (1) 若p=-4,q=3,求方程x2+px+q= 0的两根. (2) 已知实数a,b满足a2-15a-5=0, b2-15b-5=0,求ab+ b a 的值. (3) 已知关于x 的方程x2+mx+n=0 (n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两 个根分别是已知方程两根的倒数. 15. 若x1,x2 是关于x 的一元二次方程x2- 2(m+1)x+m2+2=0的两个实数根,且 (x1+1)(x2+1)=8,则m= . 16. 阅读材料: 材料1:为了解方程(x2)2-13x2+ 36=0,若把x2 看成一个整体,设 y=x2,则原方程可化为y2-13y+36=0, 经过运算,原方程的解为x1=2,x2=-2, x3=3,x4=-3.我们把以上这种解决问题 的方法叫做换元法. 材料2:已知实数m,n满足m2-m-1=0, n2-n-1=0,且m≠n,显然m,n 是方程 x2-x-1=0的两个不等的实数根,由一元 二次方程根与系数的关系,可知m+n=1, mn=-1. 根据材料,解答下列问题: (1) 直接应用:方程x4-5x2+6=0的解为 . (2) 间接应用:已知实数a,b 满足2a4- 7a2+1=0,2b4-7b2+1=0,且a≠b,求 a4+b4的值. (3) 拓展应用:已知实数m,n 满足 1m4+ 1 m2=7 ,n2-n=7,且n>0,求 1m4+n 2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 3-7. (2) 原方程两边同时除以3,得x2- 11 3 x+ 1 6=0. ∵ -b2= 11 6 , ∴ 设方程的两个根分别为 11 6 +p , 11 6 -p. ∵ 11 6 2 -p2= 1 6 , ∴ p=± 5 6. ∴ 方程的解为x1= 11+5 6 ,x2= 11-5 6 . *第4课时 一元二次方程的 根与系数的关系 1. B 2. D 3. B 4. 1 2 5. x2- 6x+6=0 6. (1) 根据根与系数的关系,得x1+ x2= 1 m ,x1x2=1, ∴ y= 3(x1+x2) x1x2 = 3×1m 1 = 3 m. (2) 当y=6时, 3 m=6. ∴ m=12 ,此时方程为1 2x 2-x+ 1 2=0. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. 7. A 8. D 9. D 解析:∵ 1 n2+ 5 n -2=0 , ∴ 2n2-5n-1=0.∵ 2m2-5m- 1=0,m≠n,∴ m,n是一元二次方程 2x2-5x-1=0的两个根.∴ m+ n= 52 ,mn=- 12.∴ 1 m + 1 n = n+m mn = 5 2 -12 =-5. 10. 7 4 解析:∵ 关于x的一元二次 方程x2-4x+m=0的两个实数根分 别为x1,x2,∴ x1+x2=4.∵ x1+ 3x2=5,∴ x1+3x2=x1+x2+ 2x2=4+2x2=5.∴ x2= 1 2. 把x2= 1 2 代入x2-4x+m=0,得 12 2 - 4×12+m=0 ,解得m=74. 11. -6 解析:∵ a,b 满足a2+ 2a-1=0,b2+2b-1=0,且a≠b, ∴ a,b是方程x2+2x-1=0的两个 根.∴ a+b=-2,ab=-1.∴ a2+ b2=(a+b)2-2ab=4+2=6. ∴ a b+ b a= a2+b2 ab = 6 -1=-6. 12. -2,-1 解析:∵ 关于x 的方 程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个 乘积为1的实数根,∴ 1 m2=1 ,解得 m=±1.∵ 方程有两个实数根, ∴ Δ=(2m+3)2-4m2≥0,即m≥ -34.∴ m=1.∴ 方程x2+(2a+ m)x+1-m2=0就是x2+(2a+ 1)x=0,即x(x+2a+1)=0,解得 x1=0,x2=-2a-1.∵ 方程x2+ (2a+m)x+1-m2=0有一个大于0 且小于4的实数根.∴ 0<-2a-1< 4,解得-52<a<- 1 2.∴ a的整数 值是-2,-1. 13. (1) ∵ Δ=m2-4(m-2)=m2- 4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 无论m 取任何实数,此方程总有 两个不等的实数根. (2) 由根与系数的关系,得 x1+ x2=-m,x1x2=m-2. ∵ x21+x22+m(x1+x2)=m2+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2+m (x1+ x2)=m2+1. ∴ m2-2(m-2)-m2=m2+1. 整理,得m2+2m-3=0,解得m= -3或m=1. 14. (1) ∵ p=-4,q=3, ∴ 方程为x2-4x+3=0,解得x1= 3,x2=1. (2) ∵ a,b 满足a2-15a-5=0, b2-15b-5=0, ∴ a,b是方程x2-15x-5=0的解. 当a≠b时,a+b=15,ab=-5. ∴ a b+ b a= a2+b2 ab = (a+b)2-2ab ab = 152-2×(-5) -5 =-47. 当a=b时,原式=2. ∴ a b+ b a 的值为-47或2. (3) 设方程x2+mx+n=0(n≠0)的 两个根分别是x1,x2. ∴ 1 x1+ 1 x2= x1+x2 x1x2 =- m n ,1 x1 · 1 x2= 1 x1x2= 1 n. ∴ 方程x2+mnx+ 1 n=0 的两个根 分别是已知方程两根的倒数(方程不 唯一). 15. 1 解析:∵ x1,x2 是关于x 的 一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+ 2=0的两个实数根,∴ x1+x2= 2(m+1),x1x2=m2+2.∵ (x1+ 1)(x2+1)=8,即x1x2+x1+x2+ 1=8,∴ m2+2+2(m+1)+1=8,解 得m=1或m=-3.∵ Δ=[-2(m+ 1)]2-4(m2+2)=8m-4≥0,解得 m≥12 ,∴ m=1. 16. (1) x1=2,x2=- 2,x3= 3, x4=-3. (2) ∵ a≠b, ∴ a2≠b2或a2=b2(a=-b). ① 当a2≠b2时,令a2=m,b2=n. ∴ m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2- 7n+1=0. ∴ m,n是方程2x2-7x+1=0的两 个不等的实数根. ∴ m+n=72 ,mn=12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 ∴ a4+b4=m2+n2=(m+n)2- 2mn=454. ② 当a2=b2(a=-b)时,易得a2= b2=7± 414 ,此时a4+b4=2a4= 2(a2)2=45±7 414 . 综 上 所 述,a4 +b4 的 值 为454 或 45+7 41 4 或45-7 41 4 . (3) 令 1 m2=a ,-n=b,则a2+a- 7=0,b2+b-7=0. ∵ n>0, ∴ 1 m2 ≠-n,即a≠b. ∴ a,b是方程x2+x-7=0的两个 不等的实数根. ∴ a+b=-1,ab=-7. ∴ 1 m4+n 2=a2+b2=(a+b)2- 2ab=15. 专题特训一　根的判别式 及根与系数的关系 1. C 2. C 3. -12 4. ∵ |x2+ax|=4, ∴ x2+ax-4=0①或x2+ax+4=0②. ∵ 方程①②不可能有相同的根,而原 方程有3个不相等的实数根, ∴ 方程①②中有一个有等根,而方程 ①根的判别式Δ1=a2+16>0. ∴ 方程②根的判别式 Δ2=a2- 16=0. ∴ a=±4. 当a=4时,原方程为x2+4x-4=0 或x2+4x+4=0,原方程的根为 x=-2±22,-2; 当a=-4时,原方程为x2-4x-4= 0或x2-4x+4=0,原方程的根为 x=2±22,2. 5. 6-2 已知一元二次方程的一个根, 求另一个根的方法 方法一(利用根与系数的关 系):当方程的二次项系数、一次项 系数已知,常数项未知时,利用两 根的和求另一个根;当方程的二次 项系数、常数项已知,一次项系数 未知时,利用两根的积求另一个根. 方法二(利用方程根的定义): 先把方程的已知根代入方程求出 未知系数或常数项,再解方程求另 一个根. 6. D 7. a≤54 解析:∵ b+c=1,bc= a-1,∴ b,c为方程x2-x+(a- 1)=0的两根.∴ Δ=1-4(a-1)≥ 0.∴ a≤54. 8. 0或16 解析:设原方程的两个根 为x1,x2(x1≥x2).由根与系数的关 系,得 x1+x2=6-a, x1x2=a, 消 去 a,得 x1x2+x1+x2=6,∴ (x1+1)(x2+ 1)=7.∴ x1+1=7, x2+1=1 或 x1+1=-1, x2+1=-7. ∴ x1=6, x2=0 或 x1=-2, x2=-8. ∴ a= x1x2=0或16. 9. 3 解析:∵ m,n是一元二次方程 x2+3x-1=0的两个实数根,∴ m+ n=-3,m2+3m-1=0.∴ 3m- 1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 10. 设方程的两个根分别为t,t+2. 根据题意,得t+t+2=4m,t(t+ 2)=3m2. ∴ t=2m-1. 把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得 (2m-1)(2m+1)=3m2. 整理,得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1(不合题意,舍去). ∴ m 的值为1. 11. -2 12. (1) 由题意,知[2(m+1)]2-4× m(m-1)>0,解得m>-13. ∵ m≠0, ∴ m 的取值范围是 m>- 13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1,x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . ∵ x21 +x22 =8,即 (x1+x2)2 - 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原方程 的解. ∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 13. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2- 4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k= 1>0, ∴ 方程有两个不等的实数根. (2) ∵ △ABC 的两边AB,AC 的长 是这个方程的两个实数根, ∴ AB+AC=2k+1,AB·AC= k2+k. ∵ ∠BAC=90°,BC=5, ∴ AB2+AC2=52,即(AB+AC)2- 2AB·AC=25. ∴ (2k+1)2-2(k2+k)=25,解得 k1=-4,k2=3. 当k=-4时,AB+AC=2×(-4)+ 1=-7,不合题意,舍去;当k=3时, AB+AC=2×3+1=7. ∴ k的值为3. 14. (1) ∵ a,b为方程x2-kx+k+ 4=0的两个根, ∴ a+b=k>0,ab=k+4. ∵ a2+b2=40, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5