21.2.3 因式分解法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

8 第3课时 因式分解法 ▶ “答案与解析”见P3 1. 一元二次方程x(x+1)=3(x+1)的根是 ( ) A. x1=x2=3 B. x1=x2=-1 C. x1=3,x2=-1 D. x1=3,x2=0 2. 用因式分解法解方程,下列过程中,正确的是 ( ) A. x(x-4)=0化为x-4=0 B. (x-3)(x+4)=-3×4化为x-3=-3 或x+4=4 C. (x+5)(x-1)=1化为x+5=1或x- 1=1 D. (2x-5)(3x+2)=0化为2x-5=0或 3x+2=0 3. 等腰三角形的两边长分别是方程x2-11x+ 24=0的两个根,则这个三角形的周长为 ( ) A. 19或14 B. 14或16 C. 19 D. 14 4. (1) 一元二次方程-x2+ 5x=0的根为 . (2) 一元二次方程(3x-2)2-3x+2=0的 根为 . 5. 已知x=2是关于x 的一元二次方程kx2+ (k2-2)x+2k+8=0的一个根,则k的值为 . 6. 用适当方法解下列方程: (1) x2-23x+2=0. (2) 2x2-5x-1=0. (3) (2x-1)2=3(1-2x). (4) (3x-1)2=4(2x+3)2. 7. 新考法·新定义题 对于实数a,b定义运算“※” 为a※b=a+b2,如3※2=3+22=7,则关于 x的方程x※(x+1)=5的解是 ( ) A. x1=x2=-4 B. x1=x2=-1 C. x1=-1,x2=4 D. x1=1,x2=-4 8. 若关于x 的方程x2-2mx+m2=4的两个 根x1,x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m 的值为 ( ) A. -3 B. 1 C. 3 D. 9 9. 如果 x2-x-1=(x+1)0,那 么 x= . 10. 新考法·学科内容综合 一元二次方程x2- 4x-12=0的两根分别是一次函数y= kx+b的图象与x轴交点的横坐标和与y轴 交点的纵坐标,则这个一次函数图象与两坐 标轴所围成的三角形的面积是 . 11. 新考法·新定义题 对于两个不相等的实数a, b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较 大的数,如max{-1,3}=3. (1) 方程x2+2x=max{0,-1}的解为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 9 (2) 方程 max{2x-1,x}=x2 的解为 . 12. 多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+ b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+ (a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+ 2×3=(x+2)(x+3). (1) 分解因式:x2+6x+8=(x+ )· (x+ ). (2) 请用上述方法解方程:x2-3x-4=0. 13. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另 一个根大2,那么称这样的方程为“好根方 程”.如一元二次方程x2+2x=0的两个根 是x1=0,x2=-2,则方程x2+2x=0是 “好根方程”. (1) 请通过计算判断方程4x2-45x+1= 0是否为“好根方程”. (2) 已知关于x的方程x2-mx-m-1=0 (m 是常数)是“好根方程”,求m 的值. 14. 已知直角三角形的三边长为a,b, c,且两直角边长a,b 满足等式 (a2+b2)2-3(a2+b2)-28=0,则 斜边长c的值为 . 15. 阅读下面的材料: 对于x2+bx+c=0,将等式左边 进行 因 式 分 解,得 到 以 下 形 式: x2+bx+c=(x-m)(x-n)(从这里可以 看出方程的解为x1=m,x2=n),即x2+ bx+c=x2-(m+n)x+mn.∵ m+n= -b,∴ m,n 的平均数为-b2. 不妨设m= -b2+p ,n=-b2-p ,利用x1x2=mn,得 -b2+ p -b2-p =c,∴ -b2 2 - p2=c,即可求出p 的值. 举例如下:解一元二次方程x2-2x-4=0. ∵ -b2=1 ,∴ 设方程的两个根分别为1+ p,1-p.∵ 12-p2=-4,∴ p=± 5. ∴ 方程的解为x1=1+5,x2=1-5. 请运用以上方法解方程: (1) x2-23x-4=0. (2) 3x2- 11x+12=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 m 2+ 3 4=0 ,解得m=196. 将m=196 代入原方程,得x2-196x+ 7 3=0 ,解得x1=2,x2= 7 6. ∴ 方程的另一个根为7 6. ∴ ▱ABCD的周长是2×2+76 =193. 15. x1=-1,x2= 1 4 解析:∵ 关于 x的一元二次方程x2-ax+1=0有 两个相等的实数根,∴ Δ=(-a)2- 4×1×1=0,解得a=±2.∵ 关于x 的方程(a-2)x2+bx+1=0是一元 二次方程,∴ a=-2.∴ 关于x的一 元二次方程x2-ax+1=0为x2+ 2x+1=0,解得x1=x2=-1.由题 意,得x=-1是关于x 的一元二次 方 程 -4x2 +bx +1=0 的 根. ∴ -4×(-1)2-b+1=0.∴ b= -3.∴ 关于x 的方程(a-2)x2+ bx+1=0为-4x2-3x+1=0,解得 x1=-1,x2= 1 4. 16. (1) ②. (2) ∵ ax2+2cx+b=0是“勾系一 元二次方程”, ∴ a,b,c为同一直角三角形的三边 的长,且c为斜边的长. ∴ c2=a2+b2. ∵ Δ=(2c)2-4ab=2c2-4ab= 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0, ∴ 关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) ∵ x=-1是“勾系一元二次方 程”ax2+2cx+b=0的一个根, ∴ a-2c+b=0. ∴ a+b=2c. ∵ 四边形ACDE 的周长是12, ∴ 2(a+b)+2c=12. ∴ 22c+2c=12. ∴ c=22. ∴ a+b=2×22=4. ∴ (a+b)2=16. ∴ a2+2ab+b2=16. ∵ a2+b2=c2=(22)2=8, ∴ 2ab+8=16. ∴ ab=4. ∴ S△ABC= 1 2ab= 1 2×4=2. 第3课时 因式分解法 1. C 2. D 3. C 4. (1) x1=0, x2=5 (2) x1=1,x2= 2 3 5. -1或-2 6. (1) x1=3+1,x2=3-1. (2) x1= 5+ 33 4 ,x2= 5- 33 4 . (3) x1= 1 2 ,x2=-1. (4) x1=-7,x2=- 5 7. 7. D 8. C 解析:∵ x2-2mx+m2=4, ∴ (x-m+2)(x-m-2)=0. ∴ x-m+2=0或x-m-2=0. ∵ x1>x2,∴ x1=m+2,x2=m- 2.∵ x1=2x2+3,∴ m+2=2(m- 2)+3,解得m=3. 9. 2 解析:∵ x2-x-1=(x+1)0, ∴ x+1≠0,(x+1)0=1.由x+1≠ 0,得x≠ -1.∴ x2-x-1=1. ∴ x2-x-2=0.∴ (x+1)(x- 2)=0.∴ x1=-1(不合题意,舍去), x2=2.∴ x的值为2. 10. 6 解析:解方程x2-4x-12= 0,得x1=6,x2=-2,∵ 一元二次方 程x2-4x-12=0的两根分别是一次 函数y=kx+b的图象与x轴交点的 横坐标和与y轴交点的纵坐标,∴ 这 个一次函数图象与两坐标轴所围成的 三角形的面积是1 2×6×|-2|=6. 11. (1) x1=0,x2=-2 解析:∵ x2+2x=max{0,-1}=0, ∴ x2+2x=0.∴ x(x+2)=0,解得 x1=0,x2=-2.∴ 方程x2+2x= max{0,-1}的解为x1=0,x2=-2. (2) x=0 解析:当2x-1>x,即 x>1时,max{2x-1,x}=2x-1= x2,即2x-1=x2,解得x1=x2=1, 不符合题意.当2x-1<x,即x<1 时,max{2x-1,x}=x=x2,即x= x2,解得x1=1,x2=0.∵ x<1, ∴ x=0. 12. (1) 2;4. (2) ∵ x2-3x-4=x2+(-4+ 1)x+(-4)×1=0, ∴ (x-4)(x+1)=0,则x+1=0或 x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 13. (1) ∵ Δ=(-45)2-4×4= 64>0, ∴ x=45±82×4 = 5±2 2 . ∴ x1= 5+2 2 ,x2= 5-2 2 . ∵ x1-x2=2, ∴ 方程4x2-45x+1=0是“好根 方程”. (2) ∵ [x-(m+1)](x+1)=0, ∴ x1=m+1,x2=-1. ∵ 方程x2-mx-m-1=0(m 是常 数)是“好根方程”, ∴ m+1-(-1)=2或-1-(m+ 1)=2. ∴ m=0或m=-4. 14. 7 解析:将等式(a2+b2)2- 3(a2+b2)-28=0转化为(a2+b2+ 4)(a2+b2-7)=0,解得a2+b2= -4(不合题意,舍去)或a2+b2=7. 由勾股定理,知c2=a2+b2=7,∴ 斜 边长c=7. 15. (1) ∵ -b2=3 , ∴ 设方程的两个根分别为 3+p, 3-p. ∵ (3)2-p2=-4, ∴ p=±7. ∴ 方程的解为x1= 3+ 7,x2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 3-7. (2) 原方程两边同时除以3,得x2- 11 3 x+ 1 6=0. ∵ -b2= 11 6 , ∴ 设方程的两个根分别为 11 6 +p , 11 6 -p. ∵ 11 6 2 -p2= 1 6 , ∴ p=± 5 6. ∴ 方程的解为x1= 11+5 6 ,x2= 11-5 6 . *第4课时 一元二次方程的 根与系数的关系 1. B 2. D 3. B 4. 1 2 5. x2- 6x+6=0 6. (1) 根据根与系数的关系,得x1+ x2= 1 m ,x1x2=1, ∴ y= 3(x1+x2) x1x2 = 3×1m 1 = 3 m. (2) 当y=6时, 3 m=6. ∴ m=12 ,此时方程为1 2x 2-x+ 1 2=0. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. 7. A 8. D 9. D 解析:∵ 1 n2+ 5 n -2=0 , ∴ 2n2-5n-1=0.∵ 2m2-5m- 1=0,m≠n,∴ m,n是一元二次方程 2x2-5x-1=0的两个根.∴ m+ n= 52 ,mn=- 12.∴ 1 m + 1 n = n+m mn = 5 2 -12 =-5. 10. 7 4 解析:∵ 关于x的一元二次 方程x2-4x+m=0的两个实数根分 别为x1,x2,∴ x1+x2=4.∵ x1+ 3x2=5,∴ x1+3x2=x1+x2+ 2x2=4+2x2=5.∴ x2= 1 2. 把x2= 1 2 代入x2-4x+m=0,得 12 2 - 4×12+m=0 ,解得m=74. 11. -6 解析:∵ a,b 满足a2+ 2a-1=0,b2+2b-1=0,且a≠b, ∴ a,b是方程x2+2x-1=0的两个 根.∴ a+b=-2,ab=-1.∴ a2+ b2=(a+b)2-2ab=4+2=6. ∴ a b+ b a= a2+b2 ab = 6 -1=-6. 12. -2,-1 解析:∵ 关于x 的方 程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个 乘积为1的实数根,∴ 1 m2=1 ,解得 m=±1.∵ 方程有两个实数根, ∴ Δ=(2m+3)2-4m2≥0,即m≥ -34.∴ m=1.∴ 方程x2+(2a+ m)x+1-m2=0就是x2+(2a+ 1)x=0,即x(x+2a+1)=0,解得 x1=0,x2=-2a-1.∵ 方程x2+ (2a+m)x+1-m2=0有一个大于0 且小于4的实数根.∴ 0<-2a-1< 4,解得-52<a<- 1 2.∴ a的整数 值是-2,-1. 13. (1) ∵ Δ=m2-4(m-2)=m2- 4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 无论m 取任何实数,此方程总有 两个不等的实数根. (2) 由根与系数的关系,得 x1+ x2=-m,x1x2=m-2. ∵ x21+x22+m(x1+x2)=m2+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2+m (x1+ x2)=m2+1. ∴ m2-2(m-2)-m2=m2+1. 整理,得m2+2m-3=0,解得m= -3或m=1. 14. (1) ∵ p=-4,q=3, ∴ 方程为x2-4x+3=0,解得x1= 3,x2=1. (2) ∵ a,b 满足a2-15a-5=0, b2-15b-5=0, ∴ a,b是方程x2-15x-5=0的解. 当a≠b时,a+b=15,ab=-5. ∴ a b+ b a= a2+b2 ab = (a+b)2-2ab ab = 152-2×(-5) -5 =-47. 当a=b时,原式=2. ∴ a b+ b a 的值为-47或2. (3) 设方程x2+mx+n=0(n≠0)的 两个根分别是x1,x2. ∴ 1 x1+ 1 x2= x1+x2 x1x2 =- m n ,1 x1 · 1 x2= 1 x1x2= 1 n. ∴ 方程x2+mnx+ 1 n=0 的两个根 分别是已知方程两根的倒数(方程不 唯一). 15. 1 解析:∵ x1,x2 是关于x 的 一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+ 2=0的两个实数根,∴ x1+x2= 2(m+1),x1x2=m2+2.∵ (x1+ 1)(x2+1)=8,即x1x2+x1+x2+ 1=8,∴ m2+2+2(m+1)+1=8,解 得m=1或m=-3.∵ Δ=[-2(m+ 1)]2-4(m2+2)=8m-4≥0,解得 m≥12 ,∴ m=1. 16. (1) x1=2,x2=- 2,x3= 3, x4=-3. (2) ∵ a≠b, ∴ a2≠b2或a2=b2(a=-b). ① 当a2≠b2时,令a2=m,b2=n. ∴ m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2- 7n+1=0. ∴ m,n是方程2x2-7x+1=0的两 个不等的实数根. ∴ m+n=72 ,mn=12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4