21.2.2 根的判别式与公式法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

∴ xy的值为- 1 4. (2) ∵ a2+b2=10a+8b-41, ∴ a2-10a+25+b2-8b+16=0. ∴ (a-5)2+(b-4)2=0. ∴ a-5=0,b-4=0. ∴ a=5,b=4. ∵ △ABC是等腰三角形, ∴ c=5或c=4. 分两种情况讨论:当c=5时,△ABC 的周长为5+5+4=14;当c=4时, △ABC的周长为5+4+4=13. ∴ △ABC的周长为13或14. 15. D 解析:∵ x2-2bx+4c2=0, ∴ x2-2bx=-4c2,则x2-2bx+ b2=b2-4c2.∴ (x-b)2=b2-4c2. ∴ x-b=± b2-4c2.∴ x1=b+ b2-4c2,x2=b- b2-4c2.在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2c, AB=b,∴ BC= AB2-AC2 = b2-4c2.∴ BD=BC= b2-4c2. ∴ b- b2-4c2=AB-BD=AD. ∴ 方程较小的实数根为AD 的长度. 16. 等边三角形 解析:∵ a2+b+ | c-1-2|=10a+2 b-4-22, ∴ a2-10a+25+b-4-2 b-4+ 1+| c-1-2|= (a-5)2 + (b-4-1)2+| c-1-2|=0. ∴ a-5=0,b-4-1=0,c-1- 2=0,解得a=5,b=5,c=5.∴ a= b=c.∴ △ABC为等边三角形. 17. (1) 1 2m 2+2m+3=12 (m+ 2)2+1. ∵ 1 2 (m+2)2≥0, ∴ 1 2 (m+2)2+1≥1. ∴ 代数式1 2m 2+2m+3的最小值是1. (2) -m2+3m+34=- m- 3 2 2 +3. ∵ - m-32 2 ≤0, ∴ - m-32 2 +3≤3,则代数式 -m2+3m+34 的最大值为3. (3) 由题意,得花园的面积是y(20- 2y)=(-2y2+20y)m2. ∵ -2y2+20y=-2(y-5)2+50, 而-2(y-5)2≤0, ∴ -2(y-5)2+50≤50. ∴ -2y2+20y 的最大值是50,则 -2y2+20y=50,解得y1=y2=5. ∴ 20-2y=10<15,符合题意. ∴ 当y=5时,花园的面积最大,最大 面积是50m2. 第2课时 根的判别式与公式法 1. C 2. B 3. B 4. -1或25 5. 24或25 6. (1) x1=2,x2=-22. (2) x1=3+3,x2=-2+3. 7. B 8. A 9. D 解析:∵ 一元二次方程(a+ 1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的 实数根,∴ Δ=(2b)2-4(a+1)2=0, 且a+1≠0,则b2=(a+1)2,即b= a+1或b=-a-1.∵ a+1≠0, ∴ a+1≠-a-1.∴ a-b+1=0或 a+b+1=0,则1和-1不都是方程 x2+bx+a=0的根. 10. 有两个相等的实数根 解析:在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得c2= a2+b2.∴ Δ=(-2b)2-4(a+c)· (c-a)=4(a2+b2-c2)=0.∴ 方程 有两个相等的实数根. 11. -2 解析:∵ 关于x 的一元二 次方程kx2+3x-4k+6=0有两个 相等的实数根,∴ k≠0,Δ=32- 4k(6-4k)=0.∴ k1=k2= 3 4.∴ 原 方程化为x2+4x+4=0,即(x+ 2)2=0,解得x1=x2=-2. 12. 0 解析:根 据 题 意,得 Δ= (-2k)2-4(k-1)(k+3)=-8k+ 12>0,且k-1≠0,解得k<32 ,且 k≠1.∴ k的最大整数值为0. 13. (1) ∵ a b c d =ad-bc, ∴ -1 -2 2 0.5 = -1×0.5- (-2)×2=-0.5+4=3.5. (2) 由题意,得2x2-1×(0.5- x)=0. 整理,得4x2+2x-1=0,解得x= -1±5 4 . ∴ 当x=-1+54 或x=-1-54 时, x 1 0.5-x 2x 的值为0. (3) 由 题 意,得 0.5x-1 8 y 3 = 3(0.5x-1)-8y, x 0.5 -y -1 = -x+0.5y, ∴ 3(0.5x-1)-8y=-7, -x+0.5y=-7, 解 得 x=8, y=2. 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=AD. ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程 x2-mx+m2+ 3 4=0 的两个实数根, ∴ Δ=(-m)2-4× m2+ 3 4 = (m-1)2-4=0. ∴ m=-1或m=3. 当m=-1时,原方程为x2+x+ 1 4=0 ,解得x1=x2=- 1 2 ,不合题 意,舍去. 当m=3时,原方程为x2-3x+94= 0,解得x1=x2= 3 2. ∴ 当m=3时,四边形ABCD 是菱 形,边长是3 2. (2) 把x=2代入原方程,得4-2m+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 m 2+ 3 4=0 ,解得m=196. 将m=196 代入原方程,得x2-196x+ 7 3=0 ,解得x1=2,x2= 7 6. ∴ 方程的另一个根为7 6. ∴ ▱ABCD的周长是2×2+76 =193. 15. x1=-1,x2= 1 4 解析:∵ 关于 x的一元二次方程x2-ax+1=0有 两个相等的实数根,∴ Δ=(-a)2- 4×1×1=0,解得a=±2.∵ 关于x 的方程(a-2)x2+bx+1=0是一元 二次方程,∴ a=-2.∴ 关于x的一 元二次方程x2-ax+1=0为x2+ 2x+1=0,解得x1=x2=-1.由题 意,得x=-1是关于x 的一元二次 方 程 -4x2 +bx +1=0 的 根. ∴ -4×(-1)2-b+1=0.∴ b= -3.∴ 关于x 的方程(a-2)x2+ bx+1=0为-4x2-3x+1=0,解得 x1=-1,x2= 1 4. 16. (1) ②. (2) ∵ ax2+2cx+b=0是“勾系一 元二次方程”, ∴ a,b,c为同一直角三角形的三边 的长,且c为斜边的长. ∴ c2=a2+b2. ∵ Δ=(2c)2-4ab=2c2-4ab= 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0, ∴ 关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) ∵ x=-1是“勾系一元二次方 程”ax2+2cx+b=0的一个根, ∴ a-2c+b=0. ∴ a+b=2c. ∵ 四边形ACDE 的周长是12, ∴ 2(a+b)+2c=12. ∴ 22c+2c=12. ∴ c=22. ∴ a+b=2×22=4. ∴ (a+b)2=16. ∴ a2+2ab+b2=16. ∵ a2+b2=c2=(22)2=8, ∴ 2ab+8=16. ∴ ab=4. ∴ S△ABC= 1 2ab= 1 2×4=2. 第3课时 因式分解法 1. C 2. D 3. C 4. (1) x1=0, x2=5 (2) x1=1,x2= 2 3 5. -1或-2 6. (1) x1=3+1,x2=3-1. (2) x1= 5+ 33 4 ,x2= 5- 33 4 . (3) x1= 1 2 ,x2=-1. (4) x1=-7,x2=- 5 7. 7. D 8. C 解析:∵ x2-2mx+m2=4, ∴ (x-m+2)(x-m-2)=0. ∴ x-m+2=0或x-m-2=0. ∵ x1>x2,∴ x1=m+2,x2=m- 2.∵ x1=2x2+3,∴ m+2=2(m- 2)+3,解得m=3. 9. 2 解析:∵ x2-x-1=(x+1)0, ∴ x+1≠0,(x+1)0=1.由x+1≠ 0,得x≠ -1.∴ x2-x-1=1. ∴ x2-x-2=0.∴ (x+1)(x- 2)=0.∴ x1=-1(不合题意,舍去), x2=2.∴ x的值为2. 10. 6 解析:解方程x2-4x-12= 0,得x1=6,x2=-2,∵ 一元二次方 程x2-4x-12=0的两根分别是一次 函数y=kx+b的图象与x轴交点的 横坐标和与y轴交点的纵坐标,∴ 这 个一次函数图象与两坐标轴所围成的 三角形的面积是1 2×6×|-2|=6. 11. (1) x1=0,x2=-2 解析:∵ x2+2x=max{0,-1}=0, ∴ x2+2x=0.∴ x(x+2)=0,解得 x1=0,x2=-2.∴ 方程x2+2x= max{0,-1}的解为x1=0,x2=-2. (2) x=0 解析:当2x-1>x,即 x>1时,max{2x-1,x}=2x-1= x2,即2x-1=x2,解得x1=x2=1, 不符合题意.当2x-1<x,即x<1 时,max{2x-1,x}=x=x2,即x= x2,解得x1=1,x2=0.∵ x<1, ∴ x=0. 12. (1) 2;4. (2) ∵ x2-3x-4=x2+(-4+ 1)x+(-4)×1=0, ∴ (x-4)(x+1)=0,则x+1=0或 x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 13. (1) ∵ Δ=(-45)2-4×4= 64>0, ∴ x=45±82×4 = 5±2 2 . ∴ x1= 5+2 2 ,x2= 5-2 2 . ∵ x1-x2=2, ∴ 方程4x2-45x+1=0是“好根 方程”. (2) ∵ [x-(m+1)](x+1)=0, ∴ x1=m+1,x2=-1. ∵ 方程x2-mx-m-1=0(m 是常 数)是“好根方程”, ∴ m+1-(-1)=2或-1-(m+ 1)=2. ∴ m=0或m=-4. 14. 7 解析:将等式(a2+b2)2- 3(a2+b2)-28=0转化为(a2+b2+ 4)(a2+b2-7)=0,解得a2+b2= -4(不合题意,舍去)或a2+b2=7. 由勾股定理,知c2=a2+b2=7,∴ 斜 边长c=7. 15. (1) ∵ -b2=3 , ∴ 设方程的两个根分别为 3+p, 3-p. ∵ (3)2-p2=-4, ∴ p=±7. ∴ 方程的解为x1= 3+ 7,x2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 6 第2课时 根的判别式与公式法 ▶ “答案与解析”见P2 1. 一元二次方程x2-2x-c=0能用公式法求 解的前提是 ( ) A. c=1 B. c≥1 C. c≥-1D. c≤-1 2. 下 列 一 元 二 次 方 程 中,根 为 x = 3± (-3)2-4×2×1 2×2 的是 ( ) A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2-3x+1=0 C. 2x2+3x-1=0 D. 2x2-3x-1=0 3. (2024·泰安)已知关于x 的一元二次方程 2x2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值 范围是 ( ) A. k<98 B. k≤98 C. k≥98 D. k<-98 4. 当x= 时,代数式5x2-x 的值与 4x-2的值互为相反数. 5. 在等腰三角形ABC 中,BC=6,AB,AC 的 长是关于x 的方程x2-10x+m=0的两个 根,则m 的值为 . 6. 用公式法解方程: (1) x2+2x-4=0. (2) x2-(1+23)x-3+3=0. 7. 若x=3是关于x 的一元二次方程x2- 5 3ax-a 2=0(a>0)的一个根,则下列有关a 的估值,正确的是 ( ) A. 1 2<a<1 B. 1<a<32 C. 3 2<a<2 D. 2<a<52 8. 若一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图象 经过第一、第二、第四象限,则关于x 的一元 二次方程x2-4kx+kb+4k2=0的根的情 况是 ( ) A. 有两个不等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 9. 已知一元二次方程(a+1)x2+2bx+a+1= 0有两个相等的实数根,则下列说法中,正确 的是 ( ) A. 1一定不是方程x2+bx+a=0的根 B. 0一定不是方程x2+bx+a=0的根 C. 1和-1都是方程x2+bx+a=0的根 D. 1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根 10. 已知a,b为Rt△ABC 的直角边长,c是斜 边长,则关于x 的方程(a+c)x2-2bx+ (c-a)=0的根的情况是 . 11. 已知关于x 的一元二次方程kx2+3x- 4k+6=0有两个相等的实数根,则该实数 根是 . 12. 若关于x 的一元二次方程(k-1)x2- 2kx+k+3=0有两个不等的实数根,则k 的最大整数值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 7 13. 先阅读下面的材料,再按要求解答问题. 我们规定一种运算:a b c d =ad-bc ,例 如:2 4 3 5 =2×5-4×3=10-12=-2. (1) 直接写出 -1 -2 2 0.5 的计算结果. (2) 当x取何值时,x 1 0.5-x 2x 的值为0? (3) 若 0.5x-1 8 y 3 = x 0.5 -y -1 =-7, 直接写出x和y的值. 14. 已知▱ABCD 的两边AB,AD 的 长是关于x的方程x2-mx+m2+ 3 4=0 的两个实数根. (1) 当m 为何值时,四边形ABCD 是菱形? 求出这时菱形的边长. (2) 若AB 的长为2,则▱ABCD 的周长是 多少? 15. 若关于x 的一元二次方程x2-ax+1=0 有两个相等的实数根,该实数也是关于x的 一元二次方程(a-2)x2+bx+1=0的根, 则关于x 的方程(a-2)x2+bx+1=0的 根为 . 16. 如图,四边形ACDE 是证明勾股定 理时用到的一个图形,a,b,c分别 是Rt△ABC 和Rt△BED 三边的 长,易知AE=2c,这时我们把关于x的形 如ax2+ 2cx+b=0的一元二次方程称为 “勾系一元二次方程”.请解答下列问题: (1) 有下列方程:① 2x2+ 5x+1=0; ② 3x2+52x+4=0.其中,是“勾系一元 二次方程”的为 (填序号). (2) 求证:关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) 若x=-1是“勾系一元二次方程” ax2+ 2cx+b=0的一个根,且四边形 ACDE 的周长是12,求△ABC 的面积. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程