21.2.1 配方法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

4 21.2　解一元二次方程 第1课时 配 方 法 ▶ “答案与解析”见P1 1. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方 法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤 (如图),老师看后,发现最后结果是错误的, 并说:“错误是从某同学负责的步骤开始出现 的.”该同学是 ( ) (第1题) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 将一元二次方程x2-6x+7=0用配方法化为 (x-h)2=k的形式,则h-k的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. -5 D. 5 3. 若x+4与x-4互为倒数,则x= . 4. 完成下列配方过程: (1) x2-3x+ =(x- )2. (2) 3x2+24x+ =3(x+ )2. 5. 已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根为 a,b,且a>b,则2a+b的值为 . 6. 用指定方法解下列方程: (1) x2-12x+36=9(x-1)2(直接开平 方法). (2) 易错题 2x2-4x=15(配方法). 7. 若关于x 的一元二次方程 a(x-b)2=7的 两个根为1 2± 1 27 ,则a+b的值为 ( ) A. 5 2 B. 9 2 C. 3 D. 5 8. 用配方法解一元二次方程-3x2+12x-2= 0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则b的 值为 ( ) A. 14 3 B. 10 3 C. 2 D. 4 3 9. 若关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是 x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则 方程a(x+m+3)2+b=0的解是 ( ) A. -1或-4 B. -2或1 C. 1或3 D. -5或-2 10. 已知m=a2+b2-1,n=2a-4b- 6,则m 与n之间的大小关系是 ( ) A. m≥n B. m>n C. m≤n D. m<n 11. 若(x2+y2-2)2=9,则x2+y2 的值为 . 12. 定义新运算:对于任意实数m,n都有m􀱋 n=m2n+n,等式的右边是通常的加法、乘 法及乘方运算.例如:-3􀱋2=(-3)2×2+ 2=20.根据定义,解决问题:若x􀱋4=20, 则x的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 5 13. 已知a是不等式5(m-2)+8<6(m-1)+ 7的最小整数解,请用配方法解关于x 的方 程x2+2ax+a+1=0. 14. 先阅读下面的材料,再解答问题. 例题:若 m2+2mn+2n2-6n+ 9=0,求m 和n的值. 解:∵ m2+2mn+2n2-6n+9=0,∴ m2+ 2mn+n2+n2-6n+9=0.∴ (m+n)2+ (n-3)2=0.∴ m+n=0,n-3=0. ∴ m=-3,n=3. (1) 若x2+2xy+5y2+4y+1=0,求xy 的值. (2) 已知a,b,c是等腰三角形ABC 的三边 的长,且a,b满足a2+b2=10a+8b-41, 求△ABC 的周长. 15. 新考向·数学文化 欧几里得的《几何 原本》中记载了形如x2-2bx+ 4c2=0(b>2c>0)的方程根的图 形解法:如图,画 Rt△ABC,使∠ACB= 90°,AC=2c,AB=b,以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,交射线AB 于点D,E,则这 个方程较小的实数根是 ( ) (第15题) A. CE 的长度 B. AE 的长度 C. BE 的长度 D. AD 的长度 16. 若△ABC 的三边的长a,b,c满足a2+b+ |c-1-2|=10a +2b-4 -22,则 △ABC 的形状为 . 17. 先阅读下面的材料,再按要求解答问题. 例题:求代数式2x2+4x+8的最小值. 解:∵ 2x2+4x+8=2(x2+2x+1)+6= 2(x+1)2+6≥6,∴ 代数式2x2+4x+8的 最小值是6. (1) 仿照例题求代数式1 2m 2+2m+3的最 小值. (2) 拓展:求代数式-m2+3m+34 的最 大值. (3) 应用:某居民小区要在一块一边靠墙(墙 长15m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花 园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏 围成.如图,设AB=ym.当y取何值时,花 园的面积最大? 最大面积是多少? (第17题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 第二十一章　一元二次 方程 21.1　一元二次方程 1. D 2. B 3. B 4. 1 5. -22 6. 5y2+6y-15=0,二次项系数为 5,一次项系数为6,常数项为-15. 7. C 解析:∵ 关于x的一元二次方 程(3a+6)x2+3(a2-4)x=2没有 一次项,∴ 3(a2-4)=0,3a+6≠0. ∴ a=2. 忽略一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方 程中待定字母的值时,要保证二次 项的系数不为0. 8. B 解析:∵ a是方程x2-x-1= 0的一个根,∴ a2-a-1=0.∴ a2- a=1.∴ 原 式=-(a3-2a)+ 2025=-(a3-a2+a2-a-a)+ 2025=-[a(a2-a)+1-a]+ 2025=-(a+1-a)+2025=-1+ 2025=2024. 9. D 解析:∵ 关于x的一元二次方 程x2+bx+a=0有一个根是-a, ∴ (-a)2-ab+a=0,即a2-ab+ a=0.∵ a≠0,∴ a-b=-1.∴ a- b的值恒为常数. 10. C 解析:根据题意,得a+b+ c=0,a-b+c=0.两式相加,得 2(a+c)=0.∴ a=-c.两式相减,得 2b=0.∴ b=0. 11. m≥0且m≠1 解析:由题意,得 m≥0且m-1≠0,解得m≥0且m≠1. 12. 8 13. x=-1 14. 6 解析:∵ m 是方程x2-2x- 1=0的根,∴ m2-2m-1=0,即 m2-1=2m.∴ m2+ 1m2= m- 1 m 2 +2= m 2-1 m 2 +2=22+ 2=6. 15. (1) ∵ 实数a是方程x2+4x+ 1=0的根, ∴ a2+4a+1=0. ∴ 2a2+8a+2=0,即 2a2+8a= -2. ∴ 2a2+8a+101=99. (2) 1-a-1a=1- a2+1 a . ∵ a2+4a+1=0, ∴ a2+1=-4a. ∴ 1-a-1a=1- -4a a =5. 16. (1) ∵ 关于x 的方程(k+1)· xk 2+1+(k-3)x-1=0是一元一次 方程, ∴ k+1=0, k-3≠0 或 k 2+1=1, k+1+k-3≠0, 解 得k=-1或k=0. ∴ 当k=-1或k=0时,关于x的方 程(k+1)xk 2+1+(k-3)x-1=0是 一元一次方程. (2) ∵ 关于x的方程(k+1)xk 2+1+ (k-3)x-1=0是一元二次方程, ∴ k2+1=2, k+1≠0, 解得k=1. ∴ 当k=1时,关于x 的方程(k+ 1)xk 2+1+(k-3)x-1=0是一元二 次方程. 17. (1) 设所求方程的根为y,则 y=-x. ∴ x=-y. 把x=-y 代入已知方程,得y2- 3y-2=0. ∴ 所求方程为y2-3y-2=0. (2) 设所求方程的根为y,则y= 1 x (x≠0). ∴ x=1y (y≠0). 把x=1y 代入已知方程,得a 1 y 2 + b·1y+c=0. 去分母,得a+by+cy2=0. 若c=0,则ax2+bx=0,即x(ax+ b)=0,可得有一个根为x=0,不符合 题意. ∵ 方程ax2+bx+c=0有两个不为 0的实数根, ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cy2+by+a=0(c≠ 0,a≠0). 21.2　解一元二次方程 第1课时 配 方 法 1. B 2. A 3. ± 17 4. (1) 9 4 3 2 (2) 48 4 5. 6+3 6. (1) x1=- 3 2 ,x2= 9 4. (2) x1= 2+ 34 2 ,x2= 2- 34 2 . 配方时易出现的错误 (1) 移项时忘记变号. (2) 系数化为1时漏项. (3) 方程两边没有同时加上一 次项系数一半的平方. 7. B 8. B 9. D 10. A 11. 5 12. ±2 解析:∵ x􀱋4=20, ∴ 4x2+4=20.∴ 4x2=16.∴ x2= 4,解得x=±2. 13. 解不等式5(m-2)+8<6(m- 1)+7,得m>-3, ∴ m 的最小整数解为-2,即a=-2. 将a=-2代入方程x2+2ax+a+ 1=0,得x2-4x-1=0. 配方,得(x-2)2=5. 直接开平方,得x-2=± 5,解得 x1=2+5,x2=2-5. 14. (1) ∵ x2+2xy+5y2+4y+1=0, ∴ x2+2xy+y2+4y2+4y+1=0. ∴ (x+y)2+(2y+1)2=0. ∴ x+y=0,2y+1=0. ∴ x=12 ,y=- 1 2. ∴ xy= 1 2× - 1 2 =-14. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 ∴ xy的值为- 1 4. (2) ∵ a2+b2=10a+8b-41, ∴ a2-10a+25+b2-8b+16=0. ∴ (a-5)2+(b-4)2=0. ∴ a-5=0,b-4=0. ∴ a=5,b=4. ∵ △ABC是等腰三角形, ∴ c=5或c=4. 分两种情况讨论:当c=5时,△ABC 的周长为5+5+4=14;当c=4时, △ABC的周长为5+4+4=13. ∴ △ABC的周长为13或14. 15. D 解析:∵ x2-2bx+4c2=0, ∴ x2-2bx=-4c2,则x2-2bx+ b2=b2-4c2.∴ (x-b)2=b2-4c2. ∴ x-b=± b2-4c2.∴ x1=b+ b2-4c2,x2=b- b2-4c2.在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2c, AB=b,∴ BC= AB2-AC2 = b2-4c2.∴ BD=BC= b2-4c2. ∴ b- b2-4c2=AB-BD=AD. ∴ 方程较小的实数根为AD 的长度. 16. 等边三角形 解析:∵ a2+b+ | c-1-2|=10a+2 b-4-22, ∴ a2-10a+25+b-4-2 b-4+ 1+| c-1-2|= (a-5)2 + (b-4-1)2+| c-1-2|=0. ∴ a-5=0,b-4-1=0,c-1- 2=0,解得a=5,b=5,c=5.∴ a= b=c.∴ △ABC为等边三角形. 17. (1) 1 2m 2+2m+3=12 (m+ 2)2+1. ∵ 1 2 (m+2)2≥0, ∴ 1 2 (m+2)2+1≥1. ∴ 代数式1 2m 2+2m+3的最小值是1. (2) -m2+3m+34=- m- 3 2 2 +3. ∵ - m-32 2 ≤0, ∴ - m-32 2 +3≤3,则代数式 -m2+3m+34 的最大值为3. (3) 由题意,得花园的面积是y(20- 2y)=(-2y2+20y)m2. ∵ -2y2+20y=-2(y-5)2+50, 而-2(y-5)2≤0, ∴ -2(y-5)2+50≤50. ∴ -2y2+20y 的最大值是50,则 -2y2+20y=50,解得y1=y2=5. ∴ 20-2y=10<15,符合题意. ∴ 当y=5时,花园的面积最大,最大 面积是50m2. 第2课时 根的判别式与公式法 1. C 2. B 3. B 4. -1或25 5. 24或25 6. (1) x1=2,x2=-22. (2) x1=3+3,x2=-2+3. 7. B 8. A 9. D 解析:∵ 一元二次方程(a+ 1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的 实数根,∴ Δ=(2b)2-4(a+1)2=0, 且a+1≠0,则b2=(a+1)2,即b= a+1或b=-a-1.∵ a+1≠0, ∴ a+1≠-a-1.∴ a-b+1=0或 a+b+1=0,则1和-1不都是方程 x2+bx+a=0的根. 10. 有两个相等的实数根 解析:在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得c2= a2+b2.∴ Δ=(-2b)2-4(a+c)· (c-a)=4(a2+b2-c2)=0.∴ 方程 有两个相等的实数根. 11. -2 解析:∵ 关于x 的一元二 次方程kx2+3x-4k+6=0有两个 相等的实数根,∴ k≠0,Δ=32- 4k(6-4k)=0.∴ k1=k2= 3 4.∴ 原 方程化为x2+4x+4=0,即(x+ 2)2=0,解得x1=x2=-2. 12. 0 解析:根 据 题 意,得 Δ= (-2k)2-4(k-1)(k+3)=-8k+ 12>0,且k-1≠0,解得k<32 ,且 k≠1.∴ k的最大整数值为0. 13. (1) ∵ a b c d =ad-bc, ∴ -1 -2 2 0.5 = -1×0.5- (-2)×2=-0.5+4=3.5. (2) 由题意,得2x2-1×(0.5- x)=0. 整理,得4x2+2x-1=0,解得x= -1±5 4 . ∴ 当x=-1+54 或x=-1-54 时, x 1 0.5-x 2x 的值为0. (3) 由 题 意,得 0.5x-1 8 y 3 = 3(0.5x-1)-8y, x 0.5 -y -1 = -x+0.5y, ∴ 3(0.5x-1)-8y=-7, -x+0.5y=-7, 解 得 x=8, y=2. 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=AD. ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程 x2-mx+m2+ 3 4=0 的两个实数根, ∴ Δ=(-m)2-4× m2+ 3 4 = (m-1)2-4=0. ∴ m=-1或m=3. 当m=-1时,原方程为x2+x+ 1 4=0 ,解得x1=x2=- 1 2 ,不合题 意,舍去. 当m=3时,原方程为x2-3x+94= 0,解得x1=x2= 3 2. ∴ 当m=3时,四边形ABCD 是菱 形,边长是3 2. (2) 把x=2代入原方程,得4-2m+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2