第1章 一元二次方程 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

数学(苏科版)九年级上 1 第1章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. 若方程(m+3)x|m+1|-4x+1=0是关于x的一元二次方程,则m 的值为 ( ) A. -3或1 B. 1 C. ±1 D. -3 2. 若关于x的方程4x2+(a2-3a-10)x+4a=0的两个根互为相反数,则a的值是 ( ) A. 5或-2 B. 5 C. -2 D. -5或2 3. 关于x的一元二次方程x2-x=m2的根的情况,下列说法中正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 ( ) A. k>-1 B. k<1 C. k>-1且k≠0 D. k<1且k≠0 5. 若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两根为x1、x2,且 1 x1+ 1 x2=3 ,则p的值为 ( ) A. -23 B. 2 3 C. -6 D. 6 (第6题) 6. 如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭 舍,其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一扇1m宽的门(由其他材料制成),则BC 的长为 ( ) A. 5m或6m B. 2.5m或3m C. 5m D. 3m 7. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的两倍,那么称这 样的方程为“2倍根方程”.下列说法中,不正确的是 ( ) A. 方程x2-3x+2=0是“2倍根方程” B. 若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0(m≠0)是“2倍根方程”,则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0,则关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程” D. 若2m+n=0且m≠0,则关于x的方程x2+(m-n)x-mn=0 是“2倍根方程” 8. 某商店以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的 关系如下:如果每件的售价为a元,那么可卖出(320-10a)件,但物价部门规定每件商品的加价不能超 过进货价的25%.若商店计划获利400元,则每件商品的售价应定为 ( ) A. 22元 B. 24元 C. 26元 D. 28元 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0,则m 的值为 . 10. 已知m 是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 . 11. 已知方程x2+2x-1=0的两根分别为a和b,则4a2+8ab+4b2的值为 . 12. 如果恰好只有一个实数a是关于x的方程(k2-9)x2-2(k+1)x+1=0的根,那么k的值为 . 13. 已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1、x2满 足x21+x22-x1x2=16,则a的值为 . (第15题) 14. 如果关于x的方程(x-1) x2-2x+k4 =0的三个根可以作为一个三角形的三 边长,那么实数k的取值范围是 . 15. 如图,某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周 小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为 m. 16. 已知4是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 三角形ABC 的两条边的长,则等腰三角形ABC 的周长为 . 三、 解答题(共52分) 17. (6分)解方程: (1) x2-4x-5=0. (2) x(x-2)=x-2. 18. (7分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0. (1) 求证:无论m 为何值,方程总有实数根. (2) 若x1、x2是方程的两个实数根,且 x2 x1+ x1 x2=- 5 2 ,求m 的值. 19. (8分)已知关于x的一元二次方程-x2+(2a-2)x-a2+2a=0. (1) 求证:方程有两个不相等的实数根. (2) 若方程只有一个实数根小于1,求a的取值范围. 2 20. (10分)若一个正整数m 是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积,即m=n(n+2),其中n为正整数,则 称m 为“进步数”,n为m 的“进步起点”.例如,35=5×7,则35是“进步数”,5为35的“进步起点”. (1) a是“进步数”,它的“进步起点”为1,则a= ;b是8的“进步起点”,则b= . (2) 把“进步数”x与“进步数”y的差记为E(x,y),其中x>y,E(x,y)>0,例如,24=4×6,15=3× 5,则E(24,15)=24-15=9.若“进步数”x 的“进步起点”为s,“进步数”y 的“进步起点”为t,当 E(x,y)=16时,求 t s 的值. (3) 若m=k2(k为整数),试探究m 是否是“进步数”,并说明理由. 21. (10分)2022年北京冬奥会期间,某特许专卖店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售 价如下表(注:利润=销售价-进货价): 钥匙扣 A款 B款 进货价/(元/件) 30 25 销售价/(元/件) 45 37 (1) 该店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,则购进的这两款钥匙扣分别有多少件? (2) 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和 销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润? 最大 销售利润是多少? (3) 冬奥会临近结束时,该店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售出4件.经 调查发现,每件每降价1元,平均每天可多售出2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙 扣平均每天的销售利润为90元? 22. (11分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P 从点A 出发,沿边AC 向点C 以 1cm/s的速度运动,点Q 从点B 出发,沿边BC 向点C 以2cm/s的速度运动,连接PQ. (1) 如果点P、Q 同时出发,当某个点先到达终点时,另一个点也停止运动,那么几秒后,△PCQ 的面积 为8cm2? (2) 如果点P、Q 同时出发,且点Q 到达点C 后立即返回,速度保持不变,直到点P 到达点C 时,两点 同时停止运动,那么在整个运动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积为1cm2? 若存 在,请求出运动时间;若不存在,请说明理由. (第22题) 拔尖测评 第1章拔尖测评 一、 1. B 2. C 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 解析:选项A:解方程,得x1= 1,x2=2.∴ 选项A的说法正确.选 项B:解方程,得x1=2,x2=- n m. 当 -nm=2×2 或-nm= 1 2×2 时,该方 程为“2倍根方程”.∴ 4m+n=0或 m+n=0.∴ 选项B的说法错误.选 项C:解方程,得x1=2,x2=- n m. ∵ m+n=0,∴ x2=1.∴ 选项C的 说法正确.选项D:解方程,得x1= -m,x2=n.∵ 2m+n=0,∴ n= -2m.∴ x2=2x1.∴ 选项D的说法 正确. 8. A 解析:依题意,得(a-18)· (320-10a)=400.整 理,得a2- 50a+616=0,解得a1=22,a2=28. 又∵ 物价部门规定每件商品加价不 能超过进货价的25%,∴ 每件的售价 不能超过18×(1+25%)=22.5(元). ∴ a=22. 二、 9. 2 10. -4 11. 16 12. ±3 或-5 13. -1 解析:∵ 关于x的一元二次 方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有 两个不相等的实数根,∴ [-2(a- 1)]2-4×1×(a2-a-2)>0.∴ a< 3.∵ x1、x2 是关于x 的一元二次方 程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0的 两个实数根,∴ x1+x2=2(a-1), x1x2=a2-a-2.∴ x21+x22- x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=16,即 [2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,整 理,得a2-5a-6=0,解得a1=-1, a2=6(不合题意,舍去).∴ a=-1. 14. 3<k≤4 解析:由题意,得x- 1=0,x2-2x+k4=0.∴ (-2)2- 4×k4≥0 ,解得k≤4.设x2-2x+ k 4=0 的两根分别是m、n(m≥n),则 m+n=2,mn=k4.∴ m-n= (m+n)2-4mn= 4-k.根据三 角形三边关系定理,得m-n<1< m+n,即 4-k<1<2.∴ 3<k≤4. 15. 2 解析:设小路的宽为xm.根 据题意,得(16-2x)(12-2x)=12× 12×16,解得x=2或x=12(不合题 意,舍去).∴ 小路的宽为2m. 16. 10或11 解析:将x=4代入原 方程,得42-4(m+1)+2m=0,解得 m=6.∴ 原方程为x2-7x+12=0, 即(x-3)(x-4)=0,解得x1=3, x2=4.∵ 这个方程的两个实数根恰 好是等腰三角形ABC 的两条边的 长,∴ 等腰三角形ABC 的三边长分 别为3、3、4或3、4、4.∴ 等腰三角形 ABC的周长为3+3+4=10或3+ 4+4=11. 三、 17. (1) x1=5,x2=-1. (2) x1=1,x2=2. 18. (1) ∵ [- (2m -1)]2 - 4(-3m2+m)=4m2-4m +1+ 12m2-4m=16m2-8m+1=(4m- 1)2≥0, ∴ 无论m 为何值,方程总有实数根. (2) 根据题意,得x1+x2=2m-1, x1x2=-3m2+m. ∵ x2 x1 + x1 x2 = x21+x22 x1x2 = (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 = (x1+x2)2 x1x2 - 2=-52 , ∴ (2m-1)2 -3m2+m-2=- 5 2. 整理,得5m2-7m+2=0,解得m1= 1,m2= 2 5. 经检验,m1=1,m2= 2 5 是该分式方 程的解. ∴ m 的值为1或25. 19. (1) ∵ (2a-2)2-4×(-1)× (-a2+2a)=4>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) 由(1),得x=- (2a-2)±2 -2 . ∴ x1=a,x2=a-2. ∵ 方程只有一个实数根小于1,a- 2<a, ∴ a-2<1,a≥1. ∴ 1≤a<3. 20. (1) 3;2. (2) ∵ E(x,y)=16, ∴ x-y=s(s+2)-t(t+2)=16. ∴ s2+2s-t2-2t=s2-t2+2s- 2t=(s+t)(s-t)+2(s-t)=(s-t)· (s+t+2)=16. ∵ s、t均为正整数, ∴ s-t、s+t+2均为正整数,且s+ t+2>s-t. ∵ 16=1×16=2×8, ∴ s+t+2=16, s-t=1 或 s+t+2=8 , s-t=2, 解 得 s=7.5, t=6.5 (不 合 题 意,舍 去)或 s=4, t=2. ∴ t s= 1 2. (3) m 不是“进步数”. 理由:设n(n+2)=k2,即n2+2n- k2=0. ∴ b2-4ac=4+4k2=4(1+k2). ∵ k为整数,m 为正整数, ∴ 易知1+k2不是完全平方数. ∴ n2+2n-k2=0没有整数解. ∴ m 不是“进步数”. 21. (1) 设购进的 A 款钥匙扣有 x件,B款钥匙扣有y件. 依 题 意,得 x+y=30, 30x+25y=850, 解 得 x=20, y=10. ∴ 购进的A款钥匙扣有20件,B款 钥匙扣有10件. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16