第2章 专题特训八 阴影(涂色)部分面积的计算-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

66 　　　专题特训八　阴影（涂色）部分面积的计算 ▶ “答案与解析”见P39 类型一 直接公式法 1. 如图,在▱ABCD 中,E 为BC 的中点,以点 E 为圆心、BE 长为半径画弧,交对角线AC 于点F.若∠BAC=60°,∠ABC=100°, BC=4,则涂色部分的面积为 . (第1题) 类型二 整体和差法 2. 如图,△ABC 是等边三角形,AD 是边BC 上 的中线,以点A 为圆心、AD 长为半径画弧, 分别交AB、AC 于点E、F,过点E 作EG⊥ AC于点G,交AD 于点H,连接FH、EF.若 AB=6,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 9π 2- 93 2 B. 9π 4- 93 4 C. 9π-932 D. 9π 2- 93 4 (第2题) (第3题) 3. 如图,矩形ABCD 内接于☉O,分别以AB、 BC、CD、AD 为直径向外作半圆.若AB=4, BC=5,则涂色部分的面积是 ( ) A. 41 4π-20 B. 41 2π-20 C. 20π D. 20 (第4题) 4. 如图,在▱ABCD 中,DF⊥ AB,AD=4,AB=6,DF= 23,∠A=60°,以点A 为圆 心、AD 长为半径画弧,交 AB 于点E,连接CE,则涂色部分的面积为 . 类型三 构造和差法 5. 如图,AB 是☉O 的直径,半径OD⊥BC 于点 E,BD ︵ 的度数为60°. (1) 求证:OE=DE. (2) 若OE=1,求图中涂色部分的面积. (第5题) 6. 如图,在正方形 ABCD 中有一点P,连接 AP、BP、CP,旋转△APB到△CEB的位置. (1) 若正方形ABCD 的边长是8,PB=4,求 涂色部分的面积. (2) 若PB=4,PA=7,∠APB=135°,求 PC 的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 67 类型四 等积转换法 7. 如图,正方形ABCD 的边长为2,O 为对角线 的交点,E、F 分别为BC、AD 的中点,以点C 为圆心、2为半径作圆弧BD,再分别以点E、 F 为圆心、1为半径作圆弧BO、OD,则图中 涂色部分的面积为 ( ) (第7题) A. π-1 B. π-3 C. π-2 D. 4-π 8. 如图,扇形AOB 中,∠AOB=90°, OB= 3,C 为AO 上一点,将扇形 AOB 沿着BC 折叠,A'B ︵ 恰好经过 点O,则涂色部分的面积为 ( ) (第8题) A. 3 2π-3 B. 3 4π- 3 2 C. 3 4π-3 D. 3 2π- 3 2 9. 将半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折 叠.若AB ︵ 和BC ︵ 都经过圆心O,则图中涂色 部分的面积是 . (第9题) 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AD 平分 ∠BAC,交BC 于点D,点E 在AC 上,以 AE 为直径的☉O 经过点D,交边AB 于 点F. (1) 求证:BC 是☉O 的切线. (2) 若F 是AD ︵ 的中点,且CE=4,求涂色 部分的面积. (第10题) 类型五 利用容斥原理 把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出 来,然后把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计 算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容 斥原理. 11. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6, BC=4,以点A 为圆心、AD 长为 半径画弧,交AB 于点E,以点C 为圆心、CD 长为半径画弧,交CB 的延长线 于点F,求图中涂色部分的面积. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 由题意,得nπR 180=6π ,nπ(R-8) 180 =4π , ∴ nR=1080, nR-8n=720, 解得 n=45 , R=24. ∴ 扇形OAB 的圆心角的度数是45°. ∵ R=24, ∴ R-8=16. ∴ S扇形OCD= 1 2×4π×16=32π (cm2), S扇形OAB= 1 2×6π×24=72π (cm2). ∴ 纸 杯 的 侧 面 积 =S扇形OAB - S扇形OCD=72π-32π=40π(cm2),纸杯 的底面积=π·22=4π(cm2). ∴ 纸 杯 的 表 面 积 =40π+4π= 44π(cm2). 13. (1) 理由:如图,连接AC,易得 AC=162cm. 设E 为☉O1 与扇形ABD 的BD︵ 相 切的切点,CD 与☉O1 相切于点F, 连接O1F. 易知点A、E、O1、C在同一条直线上. 设O1F=r1cm. ∵ BD︵ 的长=90π×16180 =8π(cm),圆 锥的底面圆的周长=2πr1cm, ∴ 2πr1=8π,解得r1=4. ∵ 易得△CO1F 为等腰直角三角形, ∴ O1C=42cm. 又∵ AE=AB=16cm, ∴ 制作这样的圆锥实际需要的正方 形纸片的对角线长为AE+O1E+ O1C=16+4+42=(20+42)cm. ∵ 20+42≠162, ∴ 方案一不可行. (2) 方案二可行. 设圆锥的底面圆的半径为r2cm,圆 锥的母线长为Rcm. ∵ 在一张边长为16cm的正方形纸 片上, ∴ 易得正方形的对角线长为162cm. ∴ 同(1),易 得r2+ 2r2+R= 162①,2πr2= 90πR 180②. 由①②,可得R=3202-12823 ,r2= 802-32 23 . ∴ 圆锥的母线长为3202-128 23 cm , 底面圆的半径为802-32 23 cm. (第13题) 专题特训八　阴影（涂色） 部分面积的计算 1. 4π 9 2. A 解析:∵ △ABC 为等边三角 形,∴ ∠BAC=60°,AB =AC= BC=6.∵ AD 是边BC 上的中线, ∴ AD⊥BC,BD=CD=3.∴ 在 Rt△ABD 中,AD= AB2-BD2= 33.∵ AE =AF =AD =3 3, ∠BAC=60°,∴ △AEF 是等边三角 形.∵ EG⊥AC 于点G,∴ ∠EGA= 90°.又∵ ∠BAC=60°,∴ ∠AEG= 30°.∴ 易 得 AG = 12AE= 33 2 . ∴ 由 勾 股 定 理,得 EG = AE2-AG2 = 92. ∴ S△AEF= 1 2AF ·EG=12×33× 9 2= 273 4 . ∵ 易得S△AHE+S△AHF= 2 3S△AEF , ∴ 阴 影 部 分 的 面 积 = 60π×(33)2 360 - 2 3 × 273 4 = 9π 2 - 93 2 . 3. D 解析:连接AC.∵ 矩形ABCD 内 接 于 ☉O,AB =4,BC =5, ∴ AC2=AB2+BC2.∴ 涂色部分的 面积=S矩形ABCD+π× AB 2 2 +π× BC 2 2 -π× AC2 2 =S矩形ABCD+π× 1 4 (AB2+BC2-AC2)=S矩形ABCD= 4×5=20. 4. 10 3-83π 解析:由题意,得 AE=AD=4,则BE=AB-AE=2. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD.∵ DF⊥AB,∠A=60°, DF=2 3,∴ S涂色部分 =S▱ABCD - S扇形ADE -S△CBE =AB · DF - 60π·AD2 360 - 1 2BE ·DF=6×23- 60π×42 360 - 1 2×2×23=103- 8 3π. 5. (1) 如图,连接BD. ∵ BD︵ 的度数为60°, ∴ ∠BOD=60°. ∵ OB=OD, ∴ △OBD 是等边三角形. ∵ OD⊥BC, ∴ OE=DE. (2) 如图,连接OC. ∵ OD⊥BC,OC=OB, ∴ ∠COE=∠BOE=60°. ∴ ∠AOC=60°,∠OCE=30°. ∴ 易得OC=2OE=2. ∴ 在Rt△OCE 中,由勾股定理,得 CE= OC2-OE2= 22-12=3. ∴ S涂色部分 =S扇形OAC +S△COE = 60π×22 360 + 1 2×3×1= 2π 3+ 3 2. (第5题) 6. (1) ∵ 把△APB 旋转到△CEB 的位置, ∴ △APB ≌ △CEB,∠PBE = ∠ABC=90°. ∴ S△APB=S△CEB. ∴ S涂色部分 =S扇形BAC +S△BCE - S△ABP - S扇形PBE = S扇形BAC - S扇形PBE= 90×π×82 360 - 90×π×42 360 = 12π. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 (2) 连接PE. ∵ △APB≌△CEB, ∴ BP=BE=4,∠ABP=∠CBE, PA=EC=7,∠APB=∠CEB= 135°. ∵ ∠PBE=90°, ∴ △PBE 为等腰直角三角形. ∴ 易得∠BEP=45°,PE=42. ∴ ∠PEC=135°-45°=90°. ∴ PC= PE2+EC2= 32+49=9. 7. C 解析:如图,连接 BD、EF. ∵ 正方形ABCD 的边长为2,O 为对 角线的交点,∴ 易得EF、BD 经过点 O,且EF⊥AD,EF⊥CB.∵ E、F 分 别为BC、AD 的中点,∴ FD=FO= EO=EB=1.∴ OB︵=OD︵,OB= OD.∴ 弓形OB=弓形OD.∴ 涂色 部分的面积等于弓形BD 的面积. ∴ S涂色部分 =S扇形BCD -S△BCD = 90π×22 360 - 1 2×2×2=π-2. (第7题) 8. C 解析:如图,作点O 关于BC 的 对称点O',连接CO'、BO'、OO',BC 与OO'交于点D,易得A'、C、O'三点 共线.∴ OD =O'D = 12OO'= 1 2OB.∴ 易得∠OBC=30°.∴ 易得 OC= 33OB=1.∴ 易得涂色部分的 面积=S扇形A'O'B-S△BOC-S△CO'B= S扇形AOB-2S△COB= 90π×(3)2 360 -2× 1 2×3×1= 3 4π-3. (第8题) 9. 4π 3 解析:如图,过点O 作OD⊥ AB 于点D,连接AO、BO、CO.由题 意,易知OD=12×2=1 ,OA=2, ∴ OD=12AO.∴ 易得∠OAD= 30°.∴ ∠AOD = 60°.∴ 易 得 ∠AOB=2∠AOD=120°.同理,可得 ∠BOC=120°.∴ ∠AOC=120°. ∴ 易 得 S涂色部分 = S扇形OAC = 120π×22 360 = 4π 3. (第9题) 10. (1) 如图,连接DO. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠EAD. ∵ AO=DO, ∴ ∠EAD=∠ADO. ∴ ∠BAD=∠ADO. ∴ BA∥DO. ∵ ∠B=90°, ∴ ∠CDO=90°. ∴ OD⊥BC. 又∵ OD 是☉O 的半径, ∴ BC是☉O 的切线. (2) 如图,连接FO、DF、DE. ∵ F 是AD︵ 的中点, ∴ DF︵=AF︵. ∴ ∠DOF = ∠AOF,∠BAD = ∠ADF. ∵ ∠BAD=∠EAD, ∴ ∠EAD=∠ADF. ∴ DF∥AC. ∴ ∠AOF=∠DFO. ∴ ∠DOF=∠DFO. 又∵ OF=OD, ∴ ∠DFO=∠FDO. ∴ ∠DFO = ∠FDO = ∠DOF = ∠AOF=60°. ∴ ∠DOE=60°. 又∵ OD=OE, ∴ △DEO 是等边三角形. ∴ DE=DO,∠EDO=∠DEO=60°. 又∵ ∠ODC=90°, ∴ ∠CDE=30°=∠C. ∴ CE=DE=DO=4. 又∵ DF∥AC, ∴ S△DFA=S△DFO. ∴ S涂色部分=S扇形ODF= 1 6π×4 2=83π. (第10题) 11. ∵ 在矩形 ABCD 中,AB=6, BC=4,∠A=∠C=90°, ∴ CD=AB=6,AD=BC=4. ∴ 涂 色 部 分 的 面 积 =S扇形CFD - (S矩形ABCD -S扇形ADE)= 90π×62 360 - 6×4-90π×4 2 360 =13π-24. 专题特训九　圆的综合 应用 1. C 解析:如图,在 AB 上截取 AD=BC,连接AM、CM、DM、BM. ∵ M 是AC︵ 的中点,∴ AM︵=CM︵. ∴ AM = CM.又 ∵ ∠MAD = ∠MCB,∴ △MAD ≌ △MCB. ∴ MD=MB.∵ MF⊥AB,∴ DF= FB.∴ AF=DF+AD=FB+BC. ∴ 选项C一定成立. (第1题) 2. (1) ∵ D 是BC︵ 的中点, ∴ CD︵=BD︵. ∴ CD=BD. 在△CED 和△BFD 中, ∵ CD =BD,∠CDE = ∠BDF, DE=DF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04