2.8 圆锥的侧面积-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

64 2.8　圆锥的侧面积 ▶ “答案与解析”见P37 1. 若某圆锥的底面圆直径是8,母线长是9,则 该圆锥的全面积为 ( ) A. 36π B. 52π C. 100π D. 136π 2. 如图,在矩形ABCD 中,以点A 为圆心、AD 长为半径画弧交BC 于点E,将扇形ADE 剪 下来做成圆锥.若AB=BE=22,则该圆锥 的底面圆半径为 ( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 D. 2 (第2题) (第4题) 3. 已知圆锥的母线长为5,侧面展开图扇形的圆 心角是216°,则圆锥的高是 . 4. 如图,在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇 形,恰好能围成一个圆锥.如果圆的半径为 r,扇形的半径为R,那么r∶R= . 5. 如图,圆形铁皮☉O 的半径为22,从中剪出 一个圆心角为90°的扇形ABC,点A、B、C 都 在☉O 上. (1) 求扇形ABC 的面积. (2) 将这个扇形围成一个圆锥,求该圆锥的 底面圆的半径和高. (第5题) 6. 如图,C 为扇形OAB 的半径OB 上 的一点,将△OAC 沿AC 折叠,点O 恰好落在AB ︵ 上的点D 处,且lBD︵∶ lAD︵=1∶3(lBD︵、lAD︵ 表示BD ︵、AD ︵ 的长).若 将此扇形OAB 围成一个圆锥,则该圆锥的底 面圆的半径与母线长之比为 ( ) A. 1∶3 B. 1∶π C. 1∶4 D. 2∶9 (第6题) (第8题) 7. 已知两个圆锥的母线长相等,且它们的侧面展 开图恰好能拼成一个圆.若它们的全面积之比 为1∶6,则它们的底面圆的半径之比为 ( ) A. 2∶3 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶3 8. 如图,要用一张扇形纸片围成一个无底盖的 圆锥(接缝处忽略不计).若该圆锥的底面圆 的周长为20πcm,侧面积为240πcm2,则这 个扇形的圆心角的度数为 . 9. 新情境·游戏活动 如图,AB 为圆锥 轴截面△ABC 的一边,一只蚂蚁从 点B 出发,沿着圆锥侧面爬向边 AC 的中点D,其中AB=6,OB=3,则蚂蚁 爬行的路程最短为 . (第9题) (第10题) 10. 如图,从一块半径是 13cm的圆形铁皮上 剪下一个圆心角为60°的扇形,将剪下的扇 形围成一个圆锥.若OA=2cm,则圆锥的高 是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 65 11. 一个圆锥的高为3cm,侧面展开图是半 圆,求: (1) 圆锥的母线长与底面圆的半径之比. (2) 圆锥的全面积. 12. 新情境·日常生活 如图所示为一纸 杯ACFE,以它为基础,伸展它的 侧面,形成圆锥,该圆锥的侧面展 开图是扇形OAB,经测量,纸杯上底面圆的 直径是6cm,下底面圆的直径为4cm,母线 长EF=8cm.求扇形OAB 的圆心角的度 数及这个纸杯的表面积. (第12题) 13. 王铁匠要制作一个圆锥模型,操作方式如 下:在一张边长为16cm 的正方形纸片 ABCD 上剪出一个扇形和一个圆,使得扇 形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底 面.他首先设计了如图①所示的方案一,发 现这种方案不可行,于是他调整了扇形和圆 的半径,设计了如图②所示的方案二(两个 方案中,圆与正方形纸片ABCD 的相邻两 边及扇形的弧均相切,方案一中扇形的弧与 正方形纸片ABCD 的两边相切). (1) 请说明方案一不可行的理由. (2) 方案二是否可行? 若可行,请确定圆锥 的母线长及其底面圆的半径;若不可行,请 说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 4 2 2 +4×(8+4)=(48+4π)cm2, ∴ 在这个过程中☉O 扫过的面积是 (48+4π)cm2,这个过程共用了(4+ 8)÷2=6(s). (2) ☉O 在滚动过程中,圆心O 经过 的路径如图②所示,则圆心O 经过的 路径长是 8-42 ×2+8+2×14× π×4=(20+2π)cm. (第11题) 12. (1) 如图,连接OC. ∵ CD 是☉O 的切线,C为切点, ∴ ∠DCO = 90°,即 ∠OCB + ∠DCP=90°. ∵ DE⊥OB, ∴ ∠DEB=90°. ∴ ∠OBC+∠BPE=90°. ∵ OC=OB, ∴ ∠OCB=∠OBC. ∴ ∠DCP=∠BPE. ∵ ∠BPE=∠DPC, ∴ ∠DCP=∠DPC. (2) 如图,连接OF. ∵ ED 垂直平分OB, ∴ OF=BF. ∵ OF=OB, ∴ BF=OF=OB. ∴ △BOF 是等边三角形. ∴ ∠FOB=∠ABF=60°. ∴ ∠FCB=12∠FOB=30°. ∵ BC平分∠ABF, ∴ ∠ABC=12∠ABF=30°. ∴ ∠FCB=∠ABC. ∴ CF∥AB. (3) 由(2),可知∠ABC= ∠CBF=30°. ∴ ∠COF=2∠CBF=60°. ∵ OC=OF, ∴ △COF 是等边三角形. ∴ CF=OF=OB=2. ∴ S扇形OCF= 60π×22 360 = 2π 3. ∵ ED 垂直平分OB, ∴ OE=12OB=1 ,∠FEO=90°. 在Rt△FEO 中,EF= OF2-OE2=3. ∵ 易得S△COF=S△BOF, ∴ S△COF= 1 2OB ·EF=3. ∴ S涂色部分 =S扇形OCF -S△COF = 2π 3-3. (第12题) 13. (1) 如图①,以点A 为圆心、AB 长为半径,用圆规画弧交☉O 于点G, 用直尺连接BG 交AD 于点E. 理由:如图①,连接AG,延长AD 交 ☉O 于点H,连接BH. ∵ 以点A 为圆心、AB 长为半径,用 圆规画弧交☉O 于点G, ∴ AB=AG,∠ABG=∠AGB. ∵ BC是☉O 的直径,AD⊥BC, ∴ AD=DH,∠BDA=∠BDH=90°, BA︵=BH︵. ∴ ∠BAD=∠BHD. ∵ AB︵=AB︵, ∴ ∠AGB=∠AHB. ∴ ∠EAB=∠EBA. ∴ AE=BE. ∴ 点E 即为所求作. (2) 如图②,连接OA 交BG 于点K, 连接OG. 由(1),可得∠EAB=∠EBA,AB= AG,∠AGB=∠ABG. ∵ AG∥BC, ∴ ∠AGB=∠OBG. ∴ ∠ABG=∠OBG. ∵ OB=OG, ∴ ∠OBG=∠OGB. ∴ ∠OGB=∠ABG. ∴ AB∥OG. ∴ 四边形ABOG 是平行四边形. 又∵ AB=AG, ∴ 四边形ABOG 是菱形. ∵ 对角线AO、BG 交于点K, ∴ KA=KO,KB=KG. 在△KAB 和△KOG 中, KA=KO, ∠AKB=∠OKG, KB=KG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △KAB≌△KOG. ∴ S△KAB=S△KOG. ∴ S涂色部分=S扇形AOG. ∵ 四边形ABOG 是菱形, ∴ AB=BO,∠ABO=∠AGO. ∵ BO=AO, ∴ AB=BO=OA. ∴ △ABO 是等边三角形. ∴ ∠ABO=∠AOB=60°=∠AGO. ∵ AG∥BC, ∴ ∠AGO=∠COG=60°. ∴ ∠AOG=180°-∠AOB- ∠COG=180°-60°-60°=60°. ∴ S扇形AOG= 60×π×62 360 =6π. ∴ 涂色部分的面积为6π. (第13题) 2.8　圆锥的侧面积 1. B 2. A 3. 4 4. 1∶4 5. (1) 如图,连接BC. ∵ ∠BAC=90°, ∴ BC为☉O 的直径. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 ∵ 易得AB=AC, ∴ △ABC为等腰直角三角形. ∴ 易得AB= 22BC=4. ∴ 扇形ABC的面积= 90×π×42 360 =4π. (2) 设圆锥的底面圆的半径为r. 由题意,得2πr=90×π×4180 ,解得r=1. ∴ 圆锥的底面圆的半径为1. ∴ 圆锥的高为 42-12= 15. (第5题) 6. D 解析:如图,连接OD,交AC于 点M.由折叠的性质,得OA=DA.又 ∵ OD=OA,∴ OA=DA=OD. ∴ △AOD 为 等 边 三 角 形. ∴ ∠AOD=60°.∵ lBD︵∶lAD︵=1∶3, ∴ 易得∠AOB=80°.设该圆锥的底 面 圆 的 半 径 为 r,母 线 长 为 l. ∴ 80πl 180=2πr.∴ r∶l=2∶9,即该 圆锥的底面圆的半径与母线长之比为 2∶9. (第6题) 7. C 解析:设两个圆锥的母线长为 x,则侧面展开图拼成的圆的周长为 2πx.设全面积较大的圆锥的底面圆 的半径为R,则它的底面圆的周长= 2πR,它的侧面积为πRx,底面积为 πR2.∴ 它的全面积=πRx+πR2.设 全面积较小的圆锥的底面圆的半径为 r,则它的底面圆的周长=2πx- 2πR=2π(x-R)=2πr,即r=x-R. ∴ 它的侧面积为π(x-R)x,底面积 为π(x-R)2.∴ 它的全面积为π(x- R)x+π(x-R)2.由题意,得[πRx+ πR2]∶[π(x-R)x+π(x-R)2]= 6∶1,解得R1= 4 5x ,R2=3x(不合 题意,舍去).∴ r=x-R=15x. ∴ r∶R=1∶4,即它们的底面圆的 半径之比为1∶4. 8. 150° 解析:设圆锥的母线长为 lcm,则12×20π×l=240π ,解得l= 24.设这个扇形的圆心角的度数是 n°.由题意,得20π=nπ×24180 ,解得 n=150.∴ 这个扇形的圆心角的度数 为150°. 9. 35 解析:如图,圆锥的侧面展开 图为扇形ACC',则点B 在扇形ACC' 上的 点B'处,连 接 AB'、B'D,则 AB'=AB=6.根据题意,蚂蚁爬行的 路程最短为B'D 的长.设圆锥的侧面 展开图的圆心角的度数为n°.根据题 意,得2π×3=nπ×6180 ,解得n=180. ∴ ∠CAB'=90°.∵ D 为AC 的中 点,∴ AD =3.在 Rt△ADB'中, B'D= AD2+AB'2=35.∴ 蚂蚁 爬行的路程最短为35. (第9题) 10. 105 2 cm 解析:如 图,连 接 OB,过点O 作OH⊥AB 于点H.由 对称 性,可 知 ∠OAH = ∠OAC= 1 2∠BAC=30°.∵ ∠AHO=90°, OA=2cm,∴ 易得OH=12OA= 1cm.∴ AH = OA2-OH2 = 3cm.∵ 在 Rt△OBH 中,OB= 13cm,∴ BH= OB2-OH2= 23cm.∴ AB =AH +BH = 33cm.∴ BC︵ 的长=60π×33180 = 3π(cm).设圆锥的底面圆的半径 为Rcm,则2πR= 3π.∴ R= 32. ∴ 圆锥的高= (33)2- 3 2 2 = 105 2 (cm). (第10题) 11. 如图,设圆锥的轴截面为△ABC, 过点A 作AO⊥BC于点O,则易得点 O 是圆锥底面圆的圆心. 设母线长AB=lcm,底面圆的半径 为rcm,高AO=hcm. (1) ∵ 圆锥的侧面展开图是半圆, ∴ 2πr=πl. ∴ l r=2. ∴ 圆锥的母线长与底面圆的半径之 比为2∶1. (2) 在Rt△ABO 中, ∵ l2=r2+h2,l=2r,h=3, ∴ (2r)2=r2+32,解得r= 3或 r=-3(不合题意,舍去). ∴ l=2r=23. ∴ 圆 锥 的 全 面 积 为 S侧 +S底 = 1 2πl 2+πr2=12π× (23)2+π× (3)2=9π(cm2). (第11题) 12. 由题意,可知BA︵ 的长为6πcm, CD︵ 的长为4πcm. 设∠AOB=n°,AO=Rcm,则CO= (R-8)cm. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 由题意,得nπR 180=6π ,nπ(R-8) 180 =4π , ∴ nR=1080, nR-8n=720, 解得 n=45 , R=24. ∴ 扇形OAB 的圆心角的度数是45°. ∵ R=24, ∴ R-8=16. ∴ S扇形OCD= 1 2×4π×16=32π (cm2), S扇形OAB= 1 2×6π×24=72π (cm2). ∴ 纸 杯 的 侧 面 积 =S扇形OAB - S扇形OCD=72π-32π=40π(cm2),纸杯 的底面积=π·22=4π(cm2). ∴ 纸 杯 的 表 面 积 =40π+4π= 44π(cm2). 13. (1) 理由:如图,连接AC,易得 AC=162cm. 设E 为☉O1 与扇形ABD 的BD︵ 相 切的切点,CD 与☉O1 相切于点F, 连接O1F. 易知点A、E、O1、C在同一条直线上. 设O1F=r1cm. ∵ BD︵ 的长=90π×16180 =8π(cm),圆 锥的底面圆的周长=2πr1cm, ∴ 2πr1=8π,解得r1=4. ∵ 易得△CO1F 为等腰直角三角形, ∴ O1C=42cm. 又∵ AE=AB=16cm, ∴ 制作这样的圆锥实际需要的正方 形纸片的对角线长为AE+O1E+ O1C=16+4+42=(20+42)cm. ∵ 20+42≠162, ∴ 方案一不可行. (2) 方案二可行. 设圆锥的底面圆的半径为r2cm,圆 锥的母线长为Rcm. ∵ 在一张边长为16cm的正方形纸 片上, ∴ 易得正方形的对角线长为162cm. ∴ 同(1),易 得r2+ 2r2+R= 162①,2πr2= 90πR 180②. 由①②,可得R=3202-12823 ,r2= 802-32 23 . ∴ 圆锥的母线长为3202-128 23 cm , 底面圆的半径为802-32 23 cm. (第13题) 专题特训八　阴影（涂色） 部分面积的计算 1. 4π 9 2. A 解析:∵ △ABC 为等边三角 形,∴ ∠BAC=60°,AB =AC= BC=6.∵ AD 是边BC 上的中线, ∴ AD⊥BC,BD=CD=3.∴ 在 Rt△ABD 中,AD= AB2-BD2= 33.∵ AE =AF =AD =3 3, ∠BAC=60°,∴ △AEF 是等边三角 形.∵ EG⊥AC 于点G,∴ ∠EGA= 90°.又∵ ∠BAC=60°,∴ ∠AEG= 30°.∴ 易 得 AG = 12AE= 33 2 . ∴ 由 勾 股 定 理,得 EG = AE2-AG2 = 92. ∴ S△AEF= 1 2AF ·EG=12×33× 9 2= 273 4 . ∵ 易得S△AHE+S△AHF= 2 3S△AEF , ∴ 阴 影 部 分 的 面 积 = 60π×(33)2 360 - 2 3 × 273 4 = 9π 2 - 93 2 . 3. D 解析:连接AC.∵ 矩形ABCD 内 接 于 ☉O,AB =4,BC =5, ∴ AC2=AB2+BC2.∴ 涂色部分的 面积=S矩形ABCD+π× AB 2 2 +π× BC 2 2 -π× AC2 2 =S矩形ABCD+π× 1 4 (AB2+BC2-AC2)=S矩形ABCD= 4×5=20. 4. 10 3-83π 解析:由题意,得 AE=AD=4,则BE=AB-AE=2. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD.∵ DF⊥AB,∠A=60°, DF=2 3,∴ S涂色部分 =S▱ABCD - S扇形ADE -S△CBE =AB · DF - 60π·AD2 360 - 1 2BE ·DF=6×23- 60π×42 360 - 1 2×2×23=103- 8 3π. 5. (1) 如图,连接BD. ∵ BD︵ 的度数为60°, ∴ ∠BOD=60°. ∵ OB=OD, ∴ △OBD 是等边三角形. ∵ OD⊥BC, ∴ OE=DE. (2) 如图,连接OC. ∵ OD⊥BC,OC=OB, ∴ ∠COE=∠BOE=60°. ∴ ∠AOC=60°,∠OCE=30°. ∴ 易得OC=2OE=2. ∴ 在Rt△OCE 中,由勾股定理,得 CE= OC2-OE2= 22-12=3. ∴ S涂色部分 =S扇形OAC +S△COE = 60π×22 360 + 1 2×3×1= 2π 3+ 3 2. (第5题) 6. (1) ∵ 把△APB 旋转到△CEB 的位置, ∴ △APB ≌ △CEB,∠PBE = ∠ABC=90°. ∴ S△APB=S△CEB. ∴ S涂色部分 =S扇形BAC +S△BCE - S△ABP - S扇形PBE = S扇形BAC - S扇形PBE= 90×π×82 360 - 90×π×42 360 = 12π. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93