2.7 弧长及扇形的面积-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

62 2.7　弧长及扇形的面积 ▶ “答案与解析”见P36 1. 已知一个扇形的面积是24π,弧长是2π,则这 个扇形的半径为 ( ) A. 24 B. 22 C. 12 D. 6 2. (2024·北京海淀期末)如图,以点O 为圆心 的两个同心圆中,点A、B 在大圆上,点C、D 在小圆上,AB ︵、CD ︵ 的长度分别是l1、l2.若扇 形OAB 与扇形OCD 的面积相等,则l1与l2 的大小关系为 ( ) A. l1>l2 B. l1<l2 C. l1=l2 D. 不能确定 (第2题) (第3题) (第4题) 3. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, AD 为☉O 的直径,且满足∠ABC=120°, AD=6,则CD ︵ 的长为 . 4. 如图,CD 是以AB 为直径的半圆O 的一条 弦,CD∥AB,∠CAD=45°.若半圆O 的半径 为4cm,则涂色部分的面积为 cm2. 5. 如图,在Rt△ABD 中,∠A=90°,将斜边BD 绕点B 按顺时针方向旋转至BC 的位置,使 BC∥AD,过点C 作CE⊥BD 于点E. (1) 求证:△ABD≌△ECB. (2) 若∠ABD=30°,BE=3,求旋转过程中 点D 经过的路径长. (第5题) 6. (2024·广安)如图,在等腰三角形ABC 中, AB=AC=10,∠C=70°,以AB 为直径作半 圆O,与AC、BC 分别相交于点D、E,则DE ︵ 的长度为 ( ) A. π 9 B. 5π 9 C. 10π 9 D. 25π 9 (第6题) (第7题) 7. 如图,在扇形OAB 中,∠AOB=90°,半径 OA=6,将扇形OAB 沿过点A 的直线折叠, 点O 恰好落在AB ︵ 上的点O'处,折痕交OB 于点C,则O'B ︵ 的长是 ( ) A. 1 2π B. π C. 2π D. 3π 8. 如图,某玩具品牌的标志由半径为 1cm的三个等圆构成,且三个等圆 ☉O1、☉O2、☉O3相互经过彼此的圆 心,则图中三个涂色部分的面积之和为 ( ) A. 1 4πcm 2 B. 1 3πcm 2 C. 1 2πcm 2 D. πcm2 (第8题) (第9题) 9. 如图,正方形ABCD 的边长为2,对角线AC、 BD 相交于点O,以点B 为圆心、对角线BD 的长为半径画弧,交BC 的延长线于点E,则 图中涂色部分的面积为 . 10. 如图,E 为正方形ABCD 内一点,AD=5, AE=4,将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 63 转90°得到△ABE',则边DE 所扫过的区域 (图中涂色部分)的面积为 . (第10题) 11. 如图,在直线l上有一个边长为 8cm的正方形ABCD 和一个直径 为4cm的☉O,☉O 紧贴着正方形 的边AB. (1) 如图①,正方形保持不动,☉O 沿直线l 以2cm/s的速度向右匀速滚动,从初始位 置到☉O 恰好离开正方形时停止滚动(即到 达☉O'的位置).在这个过程中☉O 扫过的 面积是多少? 这个过程共用了几秒? (2) 如图②,☉O 沿着正方形外侧按照A→ B→C→D 匀速滚动,碰到直线l则停止滚 动(即到达☉O″的位置).在整个过程中,圆 心O 经过的路径长是多少? (第11题) 12. 如图,AB 为☉O 的直径,CD 是☉O 的切 线,C 为切点,连接BC.ED 垂直平分OB, 垂足为E,且交BC ︵ 于点F,交BC 于点P, 连接BF、CF. (1) 求证:∠DCP=∠DPC. (2) 当BC 平分∠ABF 时,求证:CF∥AB. (3) 在(2)的条件下,OB=2,求涂色部分的 面积. (第12题) 13. 如图①,BC 是☉O 的直径,A 是 ☉O 上一动点,AD⊥BC,垂足为 D.AD 上有一点E,且AE=BE. 延长BE 交AC 于点F,交☉O 于点G. (1) 请用无刻度的直尺和圆规在图①的AD 上作出点E(直尺与圆规各限用一次),并说 明理由. (2) 如图②,若AG∥BC,☉O 的半径为6, 求涂色部分的面积. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ 四边形BCEF 是平行四边形. ∴ ∠CEF=∠FBC. ∵ 四边形BCEF 内接于☉O, ∴ ∠CEF+∠FBC=180°. ∴ ∠CEF=∠FBC=90°. ∴ 四边形BCEF 是矩形. (第4题) 5. C 解析:如图,连接OM.∵ 在正 六边形OABCDE 中,∠FOG=120°, M 为FG︵ 的中点,∴ ∠FOM=60°. ∵ OM=OF,∴ △OFM 是等边三角 形.∴ OM=OF=FM=22.∴ ☉O 的半径为22. (第5题) 6. 54 解析:在正五边形ABCDE 中, ∠AED=∠CDE= (5-2)×180° 5 = 108°.∵ DE =CD,∴ ∠DCE = ∠CED=12× (180°-108°)=36°. ∴ ∠AEF =108°- 36°= 72°. ∵ AE=EF,∴ ∠EAF=∠AFE= 1 2× (180°-72°)=54°. 7. 52 解析:如图,连接AO、BO、 EO.∵ 正方形ABCD 内接于☉O, ∴ OA =OB =OE.∵ ∠AOB = 360° 4 =90° ,AB=BC,∠ABC=90°, ∴ ∠OAB=∠OBA= 12 (180°- ∠AOB)=45°.∴ ∠OBC=∠ABC- ∠OBA =45°.∵ ∠CBE =15°, ∴ ∠OBE=∠OBC+∠CBE=60°. ∴ △OBE 是等边三角形.∴ OB= BE=5.∴ OA=OB=5.∴ AB= OA2+OB2 =52.∴ 正 方 形 ABCD 的边长为52. (第7题) 8. (1) 90;108;120. (2) (n-2)·180° n . (3) ∵ αn= (n-2)·180° n , ∴ αn=150°= (n-2)·180° n ,解得 n=12. 2.7　弧长及扇形的面积 1. A 2. B 3. π 4. 4π 5. (1) ∵ ∠A=90°,CE⊥BD, ∴ ∠A=∠BEC=90°. ∵ BC∥AD, ∴ ∠D=∠EBC. ∵ 将斜边BD 绕点B 按顺时针方向 旋转至BC的位置, ∴ BD=CB. 在△ABD 和△ECB 中, ∠A=∠BEC, ∠D=∠EBC, BD=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ECB. (2) ∵ △ABD≌△ECB, ∴ DA=BE=3. ∵ ∠A=90°,∠ABD=30°, ∴ 易得BD=2AD=6. ∵ BC∥AD, ∴ ∠A+∠ABC=180°. ∴ ∠ABC=90°. ∴ ∠DBC=60°. ∴ 旋转过程中点D 经过的路径长为 60π×6 180 =2π. 6. C 解析:连接OD、OE.∵ AB= AC,∴ ∠ABC=∠C=70°.∵ OE= OB,∴ ∠OEB = ∠ABC =70°. ∴ ∠OEB=∠C=70°.∴ OE∥AC. 在△ABC 中,∠A+∠ABC+∠C= 180°,∴ ∠A =180°- ∠ABC - ∠C=180°-70°-70°=40°,OA= OD=12AB=5.∵ OE∥AC,OA= OD,∴ ∠A = ∠ADO =40°= ∠DOE.∴ DE︵ 的长度为40π×5180 = 10π 9 . 7. B 解析:连接OO',则OO'=OA. 由 折 叠 的 性 质,得 OA =O'A. ∴ OA=O'A=OO'=6.∴ △AOO' 是等 边 三 角 形.∴ ∠AOO'=60°. ∵ ∠AOB=90°,∴ ∠BOO'=30°. ∴ O'B︵ 的长是30π×6180 =π. 8. C 解析:如图,连接O1A、O2A、 O1B、O3B、O2C、O3C、O1O2、 O1O3、O2O3,则 易 得 △O1AO2、 △O1BO3、△O2CO3、△O1O2O3 都 是边长为1的正三角形.∴ 易得 S涂色部分=3S扇形O1O2A=3× 60π×12 360 = π 2 (cm2). (第8题) 9. π 解析:∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ AO=CO,DO=BO,AD= CB,∠DBE =45°.∴ △AOD ≌ △COB.∵ 正方形ABCD 的边长为 2,∴ BD= 22+22=22.∴ 涂色 部分的面积为扇形BED 的面积,即 S涂色部分=45π× (22)2 360 =π. 10. 9 4π 解 析:易 得 S涂色部分 = S扇形ADB + S△ABE' - (S△ADE + S扇形AEE')=S扇形ADB -S扇形AEE' = 90π×52 360 - 90π×42 360 = 9 4π. 11. (1) ☉O 扫过的部分如图①涂色 部分所示,涂色部分的面积为π× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 4 2 2 +4×(8+4)=(48+4π)cm2, ∴ 在这个过程中☉O 扫过的面积是 (48+4π)cm2,这个过程共用了(4+ 8)÷2=6(s). (2) ☉O 在滚动过程中,圆心O 经过 的路径如图②所示,则圆心O 经过的 路径长是 8-42 ×2+8+2×14× π×4=(20+2π)cm. (第11题) 12. (1) 如图,连接OC. ∵ CD 是☉O 的切线,C为切点, ∴ ∠DCO = 90°,即 ∠OCB + ∠DCP=90°. ∵ DE⊥OB, ∴ ∠DEB=90°. ∴ ∠OBC+∠BPE=90°. ∵ OC=OB, ∴ ∠OCB=∠OBC. ∴ ∠DCP=∠BPE. ∵ ∠BPE=∠DPC, ∴ ∠DCP=∠DPC. (2) 如图,连接OF. ∵ ED 垂直平分OB, ∴ OF=BF. ∵ OF=OB, ∴ BF=OF=OB. ∴ △BOF 是等边三角形. ∴ ∠FOB=∠ABF=60°. ∴ ∠FCB=12∠FOB=30°. ∵ BC平分∠ABF, ∴ ∠ABC=12∠ABF=30°. ∴ ∠FCB=∠ABC. ∴ CF∥AB. (3) 由(2),可知∠ABC= ∠CBF=30°. ∴ ∠COF=2∠CBF=60°. ∵ OC=OF, ∴ △COF 是等边三角形. ∴ CF=OF=OB=2. ∴ S扇形OCF= 60π×22 360 = 2π 3. ∵ ED 垂直平分OB, ∴ OE=12OB=1 ,∠FEO=90°. 在Rt△FEO 中,EF= OF2-OE2=3. ∵ 易得S△COF=S△BOF, ∴ S△COF= 1 2OB ·EF=3. ∴ S涂色部分 =S扇形OCF -S△COF = 2π 3-3. (第12题) 13. (1) 如图①,以点A 为圆心、AB 长为半径,用圆规画弧交☉O 于点G, 用直尺连接BG 交AD 于点E. 理由:如图①,连接AG,延长AD 交 ☉O 于点H,连接BH. ∵ 以点A 为圆心、AB 长为半径,用 圆规画弧交☉O 于点G, ∴ AB=AG,∠ABG=∠AGB. ∵ BC是☉O 的直径,AD⊥BC, ∴ AD=DH,∠BDA=∠BDH=90°, BA︵=BH︵. ∴ ∠BAD=∠BHD. ∵ AB︵=AB︵, ∴ ∠AGB=∠AHB. ∴ ∠EAB=∠EBA. ∴ AE=BE. ∴ 点E 即为所求作. (2) 如图②,连接OA 交BG 于点K, 连接OG. 由(1),可得∠EAB=∠EBA,AB= AG,∠AGB=∠ABG. ∵ AG∥BC, ∴ ∠AGB=∠OBG. ∴ ∠ABG=∠OBG. ∵ OB=OG, ∴ ∠OBG=∠OGB. ∴ ∠OGB=∠ABG. ∴ AB∥OG. ∴ 四边形ABOG 是平行四边形. 又∵ AB=AG, ∴ 四边形ABOG 是菱形. ∵ 对角线AO、BG 交于点K, ∴ KA=KO,KB=KG. 在△KAB 和△KOG 中, KA=KO, ∠AKB=∠OKG, KB=KG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △KAB≌△KOG. ∴ S△KAB=S△KOG. ∴ S涂色部分=S扇形AOG. ∵ 四边形ABOG 是菱形, ∴ AB=BO,∠ABO=∠AGO. ∵ BO=AO, ∴ AB=BO=OA. ∴ △ABO 是等边三角形. ∴ ∠ABO=∠AOB=60°=∠AGO. ∵ AG∥BC, ∴ ∠AGO=∠COG=60°. ∴ ∠AOG=180°-∠AOB- ∠COG=180°-60°-60°=60°. ∴ S扇形AOG= 60×π×62 360 =6π. ∴ 涂色部分的面积为6π. (第13题) 2.8　圆锥的侧面积 1. B 2. A 3. 4 4. 1∶4 5. (1) 如图,连接BC. ∵ ∠BAC=90°, ∴ BC为☉O 的直径. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73